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解析几何融入线性代数教学研究

2013-07-30 15:55 来源:教育研究 人参与在线咨询

1.将解析几何融入线性代数教学中的重要意义

1.1有助于对代数概念的理解和认识

线性代数中出现很多抽象的、学生以往没有接触过的概念,充分理解和掌握这些概念的含义对学好后继课起着至关重要的作用。在课堂教学中,教师可以用几何概念引出抽象的代数概念或以几何概念为例阐述代数概念。这样,学生不会认为所学概念空洞、无味。事实上,线性代数中的很多概念是从空间解析几何中推广过来的,例如:n维向量,n维向量的夹角、距离,正交变换等。因此,线性代数的概念大多可以二维和三维空间为例来讲解,这样有助于学生了解概念存在的必要性,加深对概念的理解。

1.2有助于对代数知识的接受和掌握

在工科数学中,强调的是计算和应用,往往忽略严格的数学证明。对于没有给出证明的代数结论,学生往往怀疑它的正确性,进而,影响他们对代数理论的应用。为了避免此种情况的出现,以解析几何为例来简单地阐述代数结论的正确性。例如:线性方程组解的个数有三种情况,即无解,有无穷多解和有唯一解。课堂上教师很少严格去证明这个性质。但是,可以通过平面上一些直线的公共点及空间中一些平面的公共点的个数,自然地引出一般线性方程组解的个数。这样,学生不仅在一定程度上可以接受这个结论,而且对该结论有进一步的认识,便于他们对结论的掌握和应用。

1.3有助于将复杂的代数证明简单化

线性代数理论的论证往往是符号的一个严格的逻辑推理过程,这对于初学者来说有一定的难度。但有时可以用简单的几何图解论述抽象、复杂的代数理论,例如:三个向量共面的充要条件用几何图解即可证明。用几何方法证明代数问题,既能规避代数推理的逻辑性要求,又能使证明更加形象化和立体化,从而在增强学生学习兴趣的同时,让学生了解解析几何在线性代数中的作用,感知代数的数与几何的形的完美结合。

1.4有助于培养学生用代数方法处理几何问题的能力

线性代数的抽象性使学生在学习线性代数的过程中,经常问这样的问题:学这门课有什么用。对学过这门课的人来说,这已经不是个问题了。但是,对于初学者来说,特别是大一的学生,这是需要解决的问题。因此,在讲解完一个抽象的定理、命题后,尽可能多地介绍一些应用,特别是在解析几何方面的应用是必要的。以解析几何作为线性代数的应用实例,既可以帮助学生巩固已学的解析几何知识,理解新学的线性代数知识,又可以在应用中建立两门课知识间的联系,完善知识体系,将知识融会贯通。线性代数理论能够解决很多几何问题,如应用线性方程组的解的结构理论可研究平面的位置关系,直线和平面的位置关系;应用二次型理论可以解决二次曲面的分类问题。教师可以提供给学生这些实例,让学生学会用代数方法解决几何问题。

2.将解析几何融入线性代数教学中应注意的几个问题

2.1不能通过没学的或难于理解的知识讲解新知识

将解析几何融入到线性代数的教学中是目前普遍提倡的教学方法。但是,微积分和线性代数都是大学一年级的课,教师在使用解析几何知识的时候,一定要考虑学生在微积分中是否已经学到该知识点。如果通过学生还不了解的几何知识去讲解代数问题,那么不仅不利于学生对代数知识的理解和掌握,而且会影响学生对几何知识学习的兴趣。因此,教师授课前一定要了解学生当前的知识水平,根据学生实际情况,采用恰当的教学方法。

2.2教师对解析几何与线性代数的内在联系要有深入地理解

将解析几何融入到线性代数教学中需要一个重要的前提,就是要求教师对解析几何与线性代数的内在联系有深入地理解。在高等院校,大部分教师都有自己的专业,讲授线性代数课的教师不一定熟悉解析几何知识,因而不一定能准确地了解解析几何与线性代数的内在联系。在这种情况下,无法保障这种教学模式的有效实现,可以通过开放式课堂解决这个问题。在开放式课堂上,教师既可以通过学习解析几何知识,理解解析几何与线性代数的内在联系,又可以通过与有经验的教师交流实现教学效果的提升。

2.3教师要与时俱进,掌握新技术、新方法

解析几何是图形的科学,因此有直观性和形象性。为了更好地将解析几何的这种特性渗透到线性代数教学中,需要教师绘制图形以此阐述线性代数中定义、定理所要表达的含义。但是,一些立体几何的模型,在普通条件下难以实现,而利用多媒体技术可以形象、直观地将一些现象和性质显现出来。例如:二次曲面的命名是根据截面的形状给出的,如果让一个教师在课堂上手绘马鞍面,讲述截面形状,难度很大,而利用多媒体技术,可以很轻松地完成这个教学。这说明将解析几何融入到线性代数的教学中单靠传统教学方式是不够的,教师要与时俱进,掌握新技术、新方法,更有效地提高教学质量。

2.4有效地将解析几何与线性代数两门课程合并

解析几何与线性代数的内在关系,促使一些高校将两门课程融为一门新课——线性代数与解析几何。两门课程合并成一门课,会带来很多问题。例如:如何安排知识点的先后顺序;由于课时的限制,需要削减一部分教学内容,那么削减哪些内容;新课程是以线性代数为主还是以解析几何为主;新课程与后继课如何衔接等,这些问题都有待于教师在教学实践中积累经验并加以解决。

本文从解析几何的特点及其与线性代数的内在联系出发,提出了将解析几何融入到线性代数教学中的教学模式,并论证了这种教学模式对线性代数教学的重要作用。而线性代数有着广泛的应用,因此在教学中,不要把目光仅仅放在解析几何上,要多角度地展现线性代数,以使教学生动而丰富多彩。

本文作者:王颖 单位:大连理工大学 数学科学学院

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