一、清代私塾数学教育的文化传承
清代私塾中儿童的入学年龄通常在八岁至十六岁之间，以“看、读、写、作”为纲，初入私塾以“读、写”功课为要。启蒙教育课程多为“千字文、百家姓、三字经”，后续教育以“四书五经”为主，通常在入私塾三年左右开始教授珠算，部分私塾设有独立的“算学”“、算术”课程。清代私塾教育中，学童通常在入私塾半年后开始接受“写”教育，而最初的“写”教育与数学即关系十分紧密，学童学习写字多由写仿影开始，由私塾先生写好字帖后，学童进行仿影抄写，此后进行写空影练习。最初的字贴内容大多以数字类简单汉字为主，多为“一二三四五”之类“，大讲书小画道”是清代私塾的教育特点之一，学童的“画道”内容往往是先易后难，学童最初的临帖内容以元代徐再思所作的五绝（也有认为是北宋理学家邵雍所作）最为多见“，一望二三里，烟村四五家，门前六七树，八九十枝花。”短短二十个字中巧妙地将十个自然数完美地融合在田园美景之中，动静完美结合，时间和空间交映，至今仍被作为小学启蒙教育的重要诗作。清代王相曾以“天地之间，阴阳二气，化生五行。而天下之理皆由此出，天下之数皆由此推”对“一二三四五，金木水火土，天地分上下，日月明今古”另一首儿童启蒙性诗作给出了清晰的注脚。《千家诗》、《千字文》、《百家姓》、《三字经》中同样包含着大量数字内容，很多诗中均包含有数学文化，在学习诗歌的过程中也潜移默化地学习了部分数学知识。《论语》20篇514章中，涉及数字占全文的1.5%，数学中基数、分数、约数、虚数等都有不同程度的体现。《论语》作为儒家经典，其中包含的数学文化因素十分丰富，私塾先生向学童讲述论语时也必将同步传授相应数学知识。在文化传承方面，清代私塾数学教育是一脉相承的。
二、“西学东渐”对清代私塾数学教育的影响
大航海时代开启了中西文化的大规模交流，学界多称之为“西学东渐”，东西文化的冲击和融汇对私塾教育也产生了重要影响。由于文化间隔阂巨大，最初西方基督教在中国传教的努力收效甚微，清代西方传教士开始尝试以知识传授的方式扩大福音受众，通过介绍科学知识、撰写科学著作等吸引士大夫阶层，从而传播基督教教义。这种方式一方面赢得了大量基督教信徒，同时也使西方科学知识传入中国，在数学领域表明尤为明显。清代私塾中已经出现了比较系统的数学专著。在算术知识方面，比例规、笔算、算筹计算工具在私塾中开始出现，由利玛窦和李之藻合著的《同文算指》在沿海地区私塾中使用已经比较广泛。《同文算指》中对计数方法、四则运算法则、开平方、等差数列、等比数列等笔算方式均给出了比较详细的介绍。由汤若望和罗雅谷合著的《筹算》和《筹算指》对纳皮尔算筹用法进行了详细介绍。罗雅谷翻译的《比例规解》对比例规用法进行了详细论述。通过私塾的教育和推广，筹算和比例工具开始被更多国人掌握和运用。在几何学知识方面，由利玛窦和徐光启合译的《几何原本》十分系统的介绍了西方几何学内容，由罗雅谷和汤若望译撰的《测量全义》收录了几何体积计算公式及变换模式。在圆周率计算方面，我国传统数学研究比较深入，并在数学教育中具有十分重要的地位。《数理精蕴》及《测量全义》中分别以内切正多边形和屡求勾股的方法求得精确率不同的圆周率值，《赤水遗珍》中关于“求周径密率捷法对圆周率、正割、正弦等三个无穷数公式进行了较为深入的探索，对清代对数发展影响巨大”。这些著作最初虽均为官学范畴，但经过传播后，也逐步进入到私塾当中。
三、康熙时期清代私塾数学教育的鼎盛兴起
清代统治在康熙年间已经趋于巩固。康熙帝作为开创空前盛世的一代名君，在吸收外来文化方面也做出了十分卓越的贡献。康熙帝本人对西学十分推崇，并积极向南怀仁求教，依《鞑靼旅行记》记载，在康熙帝东巡过程中，南怀仁一路随行，并经常向其询问数学知识。1685年，六位法国基督教博士以“国王数学家”的身份动身前往中国，除塔夏尔在耶罗留住外，其他五位均来到中国，并于1688年五位博士抵达北京，康熙帝对几位博士十分宠信，待以师礼，以《几何原本》为教材，深入学习了西方数学知识，已经能够熟练掌握比例规操作和多种算术应用法。为了给康熙帝学习西方数学知识提供便利条件，为康熙授课的西方数学家大量编译了西方数学著作，清代康熙时期西学数学知识传播达到高潮，在《数理精蕴》编撰过程中，更多的中国数学家对西方数学知识有了更多的理解和掌握，在清代数学教育和传播中，帝王的好恶具有十分重要的作用。顺治帝和多尔衮对西方博学家汤若望十分宠信，而康熙帝对西方数学知识尤为偏爱，并常常将西学知识作为贬抑汉臣的工具，从多次批评汉人算法不够精准，而自己的算学水平十分高超，曾诏谕群臣“朕于算法律吕等书，探究本源，今已明晰”，为了迎合康熙的个人喜好，很多学者增加了钻研数学知识的精力，传教士们编撰的数学知识书籍大多藏于宫廷，大部分学者都无法一窥究竟，未能引起中国传统数学教育的体系改变，但也有部分西方数学著作进入私塾数学教育中，成为少部分私塾的秘传之学。虽然清代已经有部分私塾将西方数学知识融入到教育体系当中，但在数量上还十分稀少，对西方数字知识的理解和接纳程度不足以及在中西算学评估方面的误解，使大部分私塾依然比较推崇传统中算而忽视了西方数学知识的优点，使该时期未出现私塾数学教育爆炸式发展的局面。
四、清代私塾教育中走出的数学家
清代数学家中，梅文鼎的学术成就无疑是最为耀眼的，而这位耀眼的数学大师正是私塾教育的成果。梅文鼎先生少年私塾教师为罗王宾，后随竹冠道士倪观湖深入学习数学知识，其数学研究几乎涵盖了所有初等数学知识，是中国传统数学与西方数学融合的完美代表，在历算发展史上具有十分重要的意义，被誉为“历算第一人”。梅文鼎所处的时代，正是中国传统历算发展走向低潮，西方历算刚刚输入的时代。清康熙皇帝在1692年（康熙三十一年）的一次谈论中国历算时说“：吾国历学、算学，经宋元二代极盛之后，至明代而大衰，高者谈性天、撰语录，卑者疲精死禅于举业间。一切实学均鲜研究，治历算学者尤所罕见。”可见当时研究历算的人之少，然梅文鼎在儿时就经常跟父亲和老师仰观天象，从青年时代起，就把全部精力投入对数学、天文和历法的研究，27岁师从竹冠道长倪观湖学习天文历法，并将学习心得写成《历学骈技》二卷，以后又广搜天文、数学方面的各种中、西算书“，值天学书之难读者，必求其说，至废寝忘食”。梅文鼎既学中国古算，又学西方新学。他认为应该将两者结合起来，互相取长补短，为己所用。他写的《古今历法通考》是我国第一部历学史；他的数学巨著《中西数学通》，几乎总括了当时世界数学的全部知识，达到当时我国数学研究的最高水平；在《句（勾）股举隅》中提出了勾股定理的三种新证法；他独立发现“理分中末线（即黄金分割法）；著《平三角举要》、《弧三角举要》等我国最早的三角学和球面三角学专著；又著《环中黍尺》五卷，论述球面三角形解法，并将此法应用于天文学，解答有关天球赤道、黄道的问题。著《少广拾遗》，阐发“杨辉三角形”。著《仰观仪式》，将我国固有星图与西方传入的星图相互比较，把我国星图有名而外国无名、我国无名而外国有名的星，都一一注明，并列出我国古代28宿与近代星座对照表。著《交食管见》、《交食蒙求》等，提出了更加准确的交食预报方法。而在《筹算》、《度算》、《比例数解》等书中，解释和介绍了西洋的对数、伽利略的比例规等方法。梅文鼎以勾股理论为核心，并试图以此为基础完成对西方几何学的“中算化”的建构，但由于传统中算以算法为核心，与西方构架风格迥异，最终未能构架起可完全容纳几何演绎体系的中算新构架，只将部分西算知识用中算方法加以了推导和证明，但通过他的努力，从根本上缓解了中国和西方在数学体系方面的对立态势，梅文鼎搭建的中国传统算学和西方数学的融合之路，使更多的国人开始对西方数学理解和接受。私学是在周代的“塾”的基础上逐步构建并完善的，从周代开始，私塾伴随了我国几乎所有朝代的文明传承过程，直到新中国成立，私塾才逐步退出历史舞台。清代作为私塾高度发达的一个历史时期，以私塾为代表的民间私家数学教育发挥着不逊于官学的重要作用，1906年私塾完成改良后“，算术”已经成为全国所有私塾的必修课，可见清代私塾中的数学观是比较清晰的，清代私塾教育中并不缺乏数字文化因素。
作者：李翔宇 李伟杰 单位：太原理工大学