极限思想在经济学中的应用范文1
关键词：极限；变量与常量；无穷小；微积分
庞加莱说过：能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人。
一切数学概念都来自于社会实践，来源于生活现实的思想的火花，被数学家们捕捉到以后，经过千锤百炼，被提炼成概念。再经过使用，推敲、充实、拓展，不断完善形成经典的理论。数学中的概念、定理等无一例外都会经历这个过程。毫无疑问极限也是社会实践的产物。
一、中国古代极限思想
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这是战国时期庄子在他的《天下篇》记载的惠施的一段话。也就是说一尺长的木棒，第一天取去一半，还剩二分之一尺，第二天再在这二分之一尺中取去一半，还剩下四分之一尺……。按照这样的分法分下去，长度越来越小，但无论多小，永远分不完。也就是说随着分割的次数增加，棰会越来越短 ，长度接近于零，但又永远不会等于零。墨家观点与惠施不同，提出一个“非半”的命题，墨子说“非半弗，则不动，说在端” 。意思是说将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。墨家有无限分割最后会达到一个“不可分”的思想，名家则有“无限分割”的思想。名家的命题论述了有限长度“无限可分”性，墨家的命题指出了无限分割的变化和结果。显然名家和墨家的讨论，对数学理论的发展具有巨大推动作用。现在看来，先秦诸子中的名、墨两家，对宇宙的无限性与连续性认识已相当深刻，在那时这些认识是片断的、零散的，更多地属于哲学范畴，但已反映出极限思想的萌芽，这无疑成为极限概念产生的丰厚的沃土。
公元3世纪，我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”. 他创造性地将极限思想应用到数学领域。所谓割圆术，具体的方法是把圆周分割得越细，内接多边形的边数越多，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，当到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周几乎“吻合”，进而完全一致了。刘徽将正多边形的面积算到了3072边形，由此求出的圆周率为3.1416，是当时世界上最早也是最准确的数据。并且刘徽把这种思想方法推广到圆的有关计算。刘徽的 “割圆术”在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章。后来祖冲之用这个方法把圆周率的值计算到小数点后七位。这种对于某个值无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础．
在中国数学的发展史上曾出现了刘徽、墨子、惠施等天才的数学家，但他们的数学研究和成就远远不及西方同时期的阿基米得、欧几里德等数学家。主要原因是我国古代数学理论研究没有受到相应的重视。农业经济使人们终日疲于劳作，经济的困顿使得没有多少人来学文化，学数学的人自然更少，有限的经济状况不允许人们的思想向实用以外的地方拓展；隋朝开始的科举制度为“学而优则仕”而奋斗的人们提供了搏杀的战场，也扼杀了大批在数学研究上具有不凡才华的人；农业社会的经济特点限制了人们对自然的探险和对理论的求索，从而阻止了数学向理性的发展可能。
二、极限概念的发展
数学的发展与其社会背景紧密相关，社会的发展一方面为数学的发展提供了条件，另一方面又提出了大量的需要解决的问题。数学这个科学之母自然被推动向前发展。16世纪西方社会处于资本主义起步时期，也是思想与科学技术的爆发时期。科学、生产、技术中出现许多问题。对此只研究常量的初等数学已面临困境。大量的问题涌出，象怎样求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积这种无限、运动等问题困扰数学家。正是在这样的时代背景下，极限概念被发展完善，微积分也形成系统的理论体系。
极限思想在经济学中的应用范文2
摘要：在中学数学进行大幅度的改革，在社会取得巨大进步之后，高等数学如何适应中学数学改革与社会进步的要求，进一步进行高等数学教材与教学改革，是高职大学数学教育必须面对的问题。文章探讨了数学课改的背景，分析了目前高等数学教育与社会进步不相适应的现状，提出了高等数学重点、难点及课程教育改革的解决办法。
关键词：高中课改；高等数学；教学改革
一、教学改革的背景与现状
高等数学又称高等应用数学，即工程技术、经济研究中能用得上的数学，它是工程技术与数学相互交叉的一个新的跨学课领域，通常包括：微积分、概率、统计、线性代数等，在工程技术与经济中的应用十分广泛，是学好专业课、剖析工程与经济现象的基本工具。在中学数学进行大幅度的改革，在社会取得巨大进步之后，高等数学要适应中学数学改革与社会进步的要求，进一步进行高等数学教材与教学改革，高职高专高等数学课程改革势在必行。其背景与现状基于以下几个方面：
1 教学观念陈旧
教学观念陈旧，源于数学教育观念，主要表现在首先过分强调逻辑思维能力培养，而使高等数学变成纯而又纯的数学，这一点在现行统编教材中有充分体现。其次过分强调了计算能力的培养，从而导致高等数学陷入计算题海。适当计算不是不可以，而过多的计算则毫无必要(因为有了计算机)，如高等数学中极限、积分、组合数、平均数、标准差、平方和分解、相关系数、回归系数、方程的求解，矩阵的运算等计算，我们认为高等数学中凡是涉及到数值计算的，均只讲概念与方法，具体计算可以让计算机完成。陈旧的数学观念，导致培养出的人才规格降低，高分低能现象严重。
2 教学方法落后
教学方法是关系到教学效果的重要因素，对高等数学而言，教学方法的改进尤为重要。我们现在采取的“定义――定理――例题一练习”的讲授形式，实质便是“填鸭式”教学。西方国家的教学比较重视高等数学思想和方法的交待，具有启发性。运用启发式教学方法。启发学生主动学习，主动思考，主动实践，教给学生以猎枪而不是猎物。
3 教材编写过时
(1)教学内容简单陈旧，缺少现代内容。在我国，教材的编写和使用都带有计划经济的特点，教材的编写统一，使用统一。由于编写教材的均为数学专家，带有数学专业工作者的特性，不具有广博的经济知识，只追求理论性、完整性，使高等数学变成阳春白雪。例如讨论幂指类型函数连续性、可导性、求极限等。事实上在经济学中几乎找不到它的应用。高等数学的教材重点应放在概念的产生背景或使用方法的介绍上。
一味追求数学的逻辑性、严密性、系统性，使一门很具特色的教材变成抽象的符号语言集成，使“学生“怕数学”，“头疼数学”，怕繁难的数学计算和深奥的逻辑推理。
(2)数学与专业应用脱节。多年来，我们的高等数学教材，基本上是公共数学教材的再简化，内容与专业严重脱节，过多地强调―元显函数的极限、导数、积分。比如，三角函数作为纯理论数学是不可缺少的，在物理学中的应用也是深入的，但在经济领域几乎找不到它的应用，而我们在高等数学里却花了很多的精力去介绍。用得上的数学知识又没有介绍，比如，银行存款问题、问题、投资风险问题、优化决策问题等等，这些热门问题的相关数学知识，又很少作出系统的介绍。
4 教学手段简单
一支粉笔，一块黑板，是我们许多教师教学的真实写照。实践已经说明，凡是能用粉笔在黑板上做的，多媒体都能做到。
由于现代科学技术的进步，社会需要更多的具有现代数学思维能力与数学应用意识的人才，无论是从时展的要求，还是适应经济生活改革的需要，高等数学教育都已经到了非改不可的程度。
二、教学改革的内容
1 数学教学方法的改革
注重教学实际需要，尊重易教易学的原则。为了缓解课时少与教学内容多的矛盾，应该恰当把握教学内容的深度与广度。教学内容的深度与广度各专业的高等数学课程教学基本要求相当，宜采用重点知识集中强化，与初等数学进行衔接、新旧结合的方法帮助学生学好新知识；要注意取材优化，既介绍经典的内容，又渗透现代数学的思想方法，体现易教易学的特点。对难度较大的理论，应尽可能显示高等数学的直观性、应用性，对高等数学的一些难点，比如极限的内容，要重新审视，要重极限思想而淡化计算技巧。局部内容，要采用新观点、新思路、新方法，例如局部线性化的方法。强调直观描述和几何解释，适度淡化理论证明及推导，以便更好地适合施教对象，同时还要适度注意高等数学自身的系统性与逻辑性。
2 注重方法，凸现思想
数学思想是对数学知识和方法本质的认识，是形成学生良好认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁；数学思想方法是数学的精髓。因此，在一定意义上说，学数学就是要学习数学的思想方法，要特别重视数学思想的熏陶和数学知识的应用。“做中学，学中悟，悟中醒，醒中行”能为广大读者带来学数学的轻松、做数学的快乐和用数学的效益。在数学教学中，要提示知识的产生背景，能使学生从前人的发明创造中获得思想方法。结合学生实际与经济专业的特点，要引进和吸收新的教学方法，比如案例式、启发式等教学方法，融数学建模与教学，充分调动学生的积极性。教给学生以正确的思想和方法，无疑就是交给学生一把打开知识大门的钥匙。
3 纵横联系，强化应用
学高等数学知识，归根结底是应用数学方法去解决当今的实际问题。如不具备应用能力，那么只能在纯数学范围内平面式地解决问题。我们不能只注重纯而又纯的数学知识教学，而应重视数学知识的实际应用，如工程数学、金融数学、保险数学，让高等数学名符其实地带上知识经济时代的烙印。要纵横联系，强化应用，例如，定积分与概率密度函数，二元线性函数的最值与线性规划，最小二乘法与回归方程之间的联系与实际意义，这样可有效地化解教学难点，提高应用能力。
4 以问题为中心开展高等数学教学
数学教学应按“解决现实问题”这一核心来进行。注重学生应用能力的培养或强调高等数学在经济领域中的应用已成为各发达国家课程内容改革的共同点。我国在高等数学内容上遵循“实际问题一数学概念一新的数学概念”的规律，而西方国家在处理高等数学内容上则遵循“实际问题一数学概念一实际问题”的规律，两者显然归宿点不同。从问题出发，借助计算机，通过学生亲自设计和动手，能够体验解决问题的过程，从实验中去学习、探索和发现数学规律，从而达到解决实际问题的目的。数学实验课的教学与过去的课堂教学不同，它把教师的“教授一记忆一测试”的传统教学过程，变成“直觉一探试一思考一猜想归纳一证明”的过程，将信息的单向交流变成多向交流。
要针对现代学生的身心特征，以问题为中心开展 经济高等教学。选编学生身边的数学问题，往往符合学生的生活经验和学习起点。比如，由问题引出概率的概念，由规划问题引出方程组的概念，由工资表问题引出矩阵的概念，由企业追求最大利润或最小成本问题引出函数极值的概念，由计算任意形状平面图形面积的问题引出定积分的概念等等。教学中，我们可以更多地告诉学生“是什么”、“怎么样做”的知识，至于“为什么”，可以等到成人了感兴趣时再去教。
5 注意引入现代计算机技术来改进教学
运用现代化的教学手段，不仅可以增大教学信息量，拓宽认知途径，还可以渗透数学思想，凸现数学美，因而运用多媒体教学具有重要的意义。为此，就要提高教师掌握现代教育技术的本领，使其能够制作多媒体课件，用直观的课件内容来描述需要作出的空间想象。另外，教师还要充分利用校园网和互联网，开展网上授课和辅导，实现没有“粉笔与黑板”的教学，做到化繁为简、化难为易、化抽象为具体、化呆板为生动，实现以教师为主导、以学生为中心的教学方式，促进教师指导下的学生自主学习氛围和环境的形成。
三、编写富有职业特色的高等数学教材
1 吸取国内外优秀教材的经验，选取由浅入深的理论体系，使课程易教易学。在国外，教材的编写充分体现面向实用、面向工科、经济学科的特点，多数-数学知识应用的介绍以阅读方式出现，这些材料内容广泛，形式各异，图文并茂，有生动具体的现实问题，还有现代高等数学及其应用的最新成果。教材的每章节，还安排与现实经济世界相结合，并有挑战性的问题供学生讨论、思考、实践，让学生感受到数学与经济学科之间的联系。高职高等数学教材的编写应借鉴国外这一经验，并鼓励教师将最新研究成果、先进的教学手段和教学方式、教学改革成果等及时纳入编写的教材之中，力争使出版的教材内容新。数据新、体系新、方法新、手段新。
2 结合高职生的特点，注重概念的自然引入和理论方法的应用，注意化解理论难点，便于学生理解本课程中抽象的概念及定理，尽量弱化过深的理论推导和证明。在形式和文字等方面要符合高职教育教学的需要。要针对高职学生抽象思维能力弱的特点，突出表现形式的直观性和多样性，做到图文并茂，以激发学生的学习兴趣。例如：降低微分中值定理的要求，用几何描述取代微分中值定理的证明，降低不定积分的技巧要求，适当加强向量代数与空间解析几何，以及多元函数微积分的部分内容，较好地满足专业课对高等数学的要求。
3 结合工程、经济管理类等专业的特点，广泛列举在工程经济方面的应用实例。数学概念尽可能从工程、经济应用实例引出，并能给出经济涵义的解释，以使学生深刻理解数学概念，建立数学概念和工程、经济学概念之间的联系，逐步培养工程、经济管理类学生的数学思维方式和数学应用能力。要配备贴近现实生活和工程、经济管理学科方面的生动活泼的习题。例如，概率统计在经济领域的最新应用成果，再如二项分布在经济管理中的应用，损失分布在保险中的应用，期望、方差在风险决策或组合投资决策方面的应用。
极限思想在经济学中的应用范文3
【关键词】 教学模式； 数学教学； 经贸财会
高数是经贸财会类高职高专每个专业必修的重要工具课和基础课.传统“轻应用、重理论”的经贸财会类高数教学模式已经把高数教学逼进近乎死胡同，所以，设计倡导与各经贸财会类专业知识相结合的以应用为导向、易理解、有用的一种高数教学新模式就显得尤为紧要.
1.提出问题
传统“重理论、轻应用”的高等数学教学模式，由于有无提高思维、提高了多少不好衡量评价，其结果就是高等数学的作用逐年受到质疑，地位每况愈下： 几乎所有经贸财会专业的高等数学学时不断压缩，有些经贸财会专业甚至直接砍掉，不开设.
2.分析问题
课程和教学内容体系改革是经贸财会类高职高专教改的难点和重点.应按照突出实践性、应用性的原则使课程结构重组，教学内容更新，注重教学方法与手段改革、教学内容改革相结合.高等数学的教学在经贸财会类各专业教学中的用途是很广泛的：利率极限、最值分析、经济函数、弹性分析、边际分析等内容主要在经济管理专业中涉及， 库存模型、最值分析等主要在物流管理专业中涉及.必须贯彻“应用即目的”的教学要求，做到教学与各相关专业课程结合，从而让学生明白学习高数是为了什么.因此，构建、倡导与各经贸财会类专业知识相结合的以应用为导向、易理解、有用的一种高数教学新模式就具有非常大的现实意义.
3.构建模式
构建以应用型案例教学为导向，思维训练与应用教学相结合的经贸财会类高职高专高数教学模式.此模式逻辑顺序为： 应用案例作为先导让学生直观感知、理解，引出相关数学内容，相关数学内容教学（应用案例），数学练习与应用练习.以极限的教学讲授为例：
以日常生活一个例子来介绍和引出极限，让学生产生直观的认识.
分析完以上有关极限思想和方法的例子后，可让学生独自使用极限思想方法完成一些相应练习.
学生通过练习会对极限思想、方法及其应用有一个深入的理解，然后可以引入极限的相关性质及运算.
总之，讲授函数极限、函数导数、函数微分、函数不定积分、函数定积分、函数多元微积分时，务必坚持以应用案例教学作为导向，通过应用型案例把握相关数学定义、方法，再用数学概念、数学方法、练习加强经贸财会类专业应用型案例的解决与分析.
4.研究结论
“应用案例教学作为导向，训练思维与应用教学相结合”的经贸财会类高职高专数学教学模式的构建、倡导与实践有着非常重要的现实意义，让学生在训练思维的同时，领悟高等数学这门理论课程对各相关专业教与学的重要性.经过了阶段性的积累，具备高质量、足够的应用教学案例支持，所构建和倡导的应用型高数教学模式就在经贸财会类专业领域日益彰显出其巨大价值与作用.
【参考文献】
[1]张国勇.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.
极限思想在经济学中的应用范文4
张丽芬 孟祥丽 张文杰 李丽满 河北联合大学迁安学院
摘要：儒家人本思想具有政治整合功能、经济发展功能、文化传承功能。从社会发展层次上讲，儒家人本思想的社会性功能与个
体性功能是密不可分的，社会性功能以个体性功能为基础，个体性功能以社会性功能为实施保障。在现代社会中，为最大限度挖掘人
本思想的潜在价值，应积极探索各种方式发挥其教育功能。
关键词：儒家思想；思想政治教育功能；人本思想
一、儒家人本思想的思想政治教育社会性功能
儒家思想在汉朝时期成为封建正统思想，这源于儒家思想包
含着众多社会观点，对社会有一定的服务功能。儒家思想的社会
功能在现代思想政治教育中着重体现为个体性功能。
（一）政治整合功能
在现代社会中，政治整合功能指的是通过思想政治教育活动
培养高素质人才或者个体，通过高素质人才或群体的影响力去传
播政治思想，进而提升全民整体素质水平。政治整合功能能够最
大范围最大限度传播政治思想、最大程度造就政治人才、最大力
度推动和谐社会的建设，因而在思想政治教育的诸多功能中，政
治整合功能占据主导地位。孔子认为政客在政治运行中扮演者重
要角色，政客的思想与行为直接关系这国家兴亡与衰败。在社会
生活环境中存在诸多人际交往的关系，这些复杂而细微的关系直
接影响着社会道德规范化。儒家善于从整体把握社会关系，提倡
人与社会建立和谐和谐，推动社会政治健康发展。
（二）经济发展功能
经济发展功能指的是个体在思想政治教育影响下受到启发，
在经济建设中积极发挥主观能动性，为经济的腾飞贡献自身的绵
薄之力。儒家不反对个人追求财富，只是在乎追求财富的手段，
儒家认为君子爱财取之有道，对财富的追求方式能从本质上区分
君子与小人。君子用符合道义的方式追求金钱，小人不择手段追
求财富，在关系到民族危亡的紧急时刻，君子愿舍利取义，贫困
中仍保持自身高尚的气节，而小人则会为一己之私投递叛国。儒
家认为对财富的追求无可厚非，但追求的程度要合乎“礼”的要
求，对过多财富欲望加以制止。针对国家的管理，儒家主张施行
仁政，爱民亲民，反对苛捐杂税。儒家思想认为，附属制度不应
成为酷吏施行不仁政策的依据，而应成为激发人们积极性的工
具，在赋税制度的激励下培养人们对经济的理性认知，进而发挥
主观能动性追求经济效益的最大化。儒家人本思想的经济发展功
能对我国社会主义经济有借鉴意义，我们应从民族经典中汲取营
养，进一步提升我国的经济实力。
（三）文化传承功能
文化传承功能指的是思想政治教育对整个社会文化的影响。
儒家思想属于意识形态范畴，其对个体精神世界有积极作用。儒
家思想是中华文明中耀眼的一颗明珠，经过千百年的发展和历史
的沉淀，其蕴含着丰富而充满哲理的思想。这种思想对现代社会
有重要的指导意义，这种思想也已经深深内化到每一个中国人的
心中，成为凝聚社会的一种向心力。
二、儒家人本思想的思想政治教育的实践应用
从社会发展层次上讲，儒家人本思想的社会性功能与个体性
功能是密不可分的，社会性功能以个体性功能为基础，个体性功
能以社会性功能为实施保障。在现代社会中，为最大限度挖掘人
本思想的潜在价值，我们应积极探索各种方式发挥其教育功能。
（一）主张学以致用，在生活中发挥学的价值
学而无用不可谓之学，儒家着为重视知识的应用性。孔子认
为，学诗旨在学习其中深刻哲理，从中领会侍奉父母道理、正确
处理君臣关系的方法，在实践中提升自身的综合素质。修身治国
平天下的基础是个体生存需求的满足，个体是构成整个社会的基
本单位，只有满足个人的生存需要，实现个人的社会价值才能谈
及整个社会整体水平的提升与社会的进步。
（二）发挥模范带头作用，健全个体人格
榜样的作用是无可估量的，在榜样的模范带头下人们会认识
到自身的缺陷，并以榜样为目标不断完善自身，使自身满足社会
的要求，成为社会栋梁。孔子曾说，见贤思齐焉见不贤而自省也，
这就告诉我们要虚心向他人学习，提升自身的道德需要，在看到
他人的不足时，要做到有则改之无则加勉，只有这样我们才能成
真正为社会需要的人。
（三）教育内化，内外统一
孔子率先提出“自省”，意在要求人通过惯常自身的行为，
对自身有正确而客观的评价，认识到自己的优势与不足，并针对
自己的不足进行有针对性的学习，以实现自身的全面发展。儒家
要求严于律己、宽于待人，即使在没有舆论监督的情况下也要严
格要求自己，使自身的行为符合道德规范；在人际交往中，人要
真诚对待他人，不能将个人的意愿强加于他人。人的道德修养是
在犯错误与改正错误的过程中养成的，只有认识到自己的错误，
并下定决定改正错误，才能以错误为垫脚石成就自身的道德素
养，个人道德素养的提升会对其人际圈产生良好的带头作用，人
际间道德的广泛传播对推动社会进步有重要作用。
（四）实现个体与社会的统一，建立和谐社会
实现和谐的人际关系最有效的方法就是个人做到谦让不争。
孔子在学习过程中丝毫不讲自己摆在德高望重的位置，而是以谦
虚的态度向有知识的人学习。面对别人的建议和批评，孔子也是
虚怀若谷的坦然接受。从孔子的谦虚态度中，我们可以看到孔子
对真善美的追求以及自身的高尚品德，孔子所表现出的这种道德
品质正是儒家所人本思想的核心，我们要领会其中深刻的哲学含
义，并将其应用于现代思想政治教育中。个体的学识程度与其处
理社会关系的能力有直接关系，一个知识渊博的人能通过自身良
好的道德修养处理社会关系，使自身的人际关系处在和谐状态。
结语
儒学发展至今已有千年历史，经过历史的洗礼与沉积，儒家
思想沉淀下意蕴丰厚的思想。在现代社会中儒家的人本思想逐渐
受到人们的重视，并以多元化的方式展现在人们面前。在时代进
步中，儒家思想发展也呈现多元化发展态势，但究其根源儒家思
想的核心为人本主义思想，我们对儒家思想进行研究、挖掘其内
在价值的首要前提是确立人本思想的首要地位。在对儒家人本思
想教育功能的研究中不仅要利用儒家的君子教育方法，也要与时
代相结合，积极融入各种具有时代特色的教育模式，只有在多教
育方式的引导下才能最大限度发挥思想政治教育的功能。
参考文献：
[1]王建林，王治中.儒家思想在教育中的解读[J].杨凌职业技
术学院学报，2008（3）.
极限思想在经济学中的应用范文5
关键词 同济六版 高等数学 符号 概念 解题方法 注记
中图分类号：G642 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkz.2015.01.021
同济六版《高等数学》是一部经典的工科类本科数学基础课程教学的教材，适合当前我国各类高校工科类本科专业根据不同的教学要求分层次教学的需要。但是，再完美的教材鉴于作者的认知方式也有不尽如人意的地方。概念、符号、解题方法对于高等数学来说是精髓，是灵魂，本文就同济六版《高等数学》的几个问题做了注记，以资借鉴和提高。
1 几个基本概念、符号的说明
对高等数学课而言，学生要想把它学好、学精，离不开对一些基本概念的理解和一些符号的准确掌握，尤其对于初学者。所以，作为教师就要在授课时对学生正确引导，注意区分，多加强调。
1.1 单侧极限、单侧导数及导数的单侧极限的符号
同济六版《高等数学》第一章第三节（P34）给了单侧极限概念，把左、右极限分别记作 （） = （）、 （） = （）；第二章第一节（P83）给了单侧导数概念，把左、右导数分别记作（） = 、（） = ；按照上面这两种记法，不难想象（）、（）分别表示的就应该是函数 （）的导函数 （）在点处的左、右极限，也就说有（） = （）、（） = （）。
这里以为例说明这些符号的不同。 （）、（）、（）分别代表的就是函数 （）在处的右极限、右导数及导数的右极限，其中（）还蕴含函数 （）在的右邻域（， + ）内每一点可导。虽然其符号极其相似，但这三个是完全不同的概念，不能混为一谈，尤其要引导学生正确书写和理解不同符号的含义，特别是对于后两者，很多高等数学的初学者在解题的时候误认为（） = （） = （），求分段函数在其分支界点处的导数时，用这种方法可能会导致计算结果的错误。比如下面这一问题，设，则（0）= = = 0，当≠0时，（） = 2，而（2）不存在，就是（）没有意义，所以说（）与 （）之间一般不存在相互关系，不要错误利用来解题。
同济六版《高等数学》第二章第一节（P87）给了这样一道习题：
设函数，为了使函数 （）在 = 1处连续且可导，、应取什么值？
常规的解法应该是： （）在 = 1处连续，有 （） = （），即1 = ； （）在 = 1处可导有 （1） = （1），即 = = ，从而 = 2， = 。
值得一提的是，很多学生在做作业的时候关于 （）在 = 1处的可导性条件是这么用的：当≤1时， （） = ，当>1时， （） = ，由条件知 （） = （），而 （） = （） = 2， （） = = ，从而 = 2， = 。很多老师在批改作业的时候就认为学生的这种做法是错误的，事实上王金金，任春丽在文献[3]中已经证明：设函数 （）在[， + ]上连续，在（， + ）内可导，且 （） = 存在，则函数 （）在点处的右导数（）存在，且有（） = （） = （）。
所以，尽管（）与 （）是不同的概念，但是在一定条件下它们之间有联系，既要引导学生正确区别，同时不要不假思索地给学生的作业判错，要引以为戒。
1.2 函数微分学的一些符号
同济六版《高等数学》第二章第三节（P99）给了高阶导数的概念，以二阶导数为例：
一般的，函数 = （）的导数 = （）仍然是的函数。我们把 = （）的导数叫做函数 = （）的二阶导数，记作或，即 = 或 = （）。
其中符号 = = ；表示的二阶微分，即是对微分两次（ = 0）；表示对微分一次，即 = 。三者表示的是不同的含义，不能混淆，尤其是 = 与≠。比如像有的教材上给出如下的习题：
设 = ，求，，，。
像上述例题中的表达式，就不准确，误认为 = 与 = 。
1.3 最值与极值的定义
同济六版《高等数学》第一章第十节（P70）给了函数最值的概念：
对于在区间上有定义的函数 （），如果有，使得对于任一都有 （）≤ （）（（ （）≥ （）），则称 （）是函数 （）在区间上的最大值（最小值）。
第三章第五节（P154）给出了函数极值的概念：
设函数 （）在点的某邻域（）内有定义，如果对于去心邻域内的任一，有 （）< （）（或 （）> （）），那么就称 （）是函数 （）的一个极大值（或极小值）。
上述两个概念是有很大不同的。首先，最值是定义在函数有意义的某个区间上，是一个全局性的概念，而极值是定义在函数有意义的某点的某邻域范围内，是一个局部性的概念；其次，最值的定义中“对于任一都有 （）≤ （）（ （）≥ （））”，可以取， （）也可以等于 （），而极值的定义中“对于去心邻域内的任一，有 （）< （）（或 （）> （））”，≠， （）也是严格大于或者小于 （）；比如定义在区间[0，2]的常数函数 = 1，在区间[0，2]上能取到最值，区间[0，2]上的每个点都是最值点，但是此函数在区间[0，2]上取不到极值；第三，极值一定是局部的最值，最值却不一定是极值，极值只能在区间内部取到，而最值可以在区间端点取到。
2 函数的极限的讲解方法
从数列极限到函数极限，同济六版《高等数学》是先介绍自变量趋于有限值时函数的极限，而后介绍自变量趋于无穷大时函数的极限。为了增强对比学习的效果，比照 = 0让学生讨论，从数列极限过渡到时函数极限，接着引出、时函数极限的概念，比如可以从 （） = 的图像出发，启发学生类似时函数极限讨论时函数极限，以具体实例引出单侧极限的概念，从而实现从数列极限到函数极限的自然过渡。
3 常系数非齐次线性微分方程求特解
同济六版《高等数学》第七章第八节（P341）给出了二阶常系数非齐次线性微分方程 + + = （），当 （） = 时不用积分就可求出方程特解的待定系数法。
设 = （），带入方程得（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = 。当是特征方程 + + = 0的单根，即 + + = 0，但2 + ≠0，此时（）必须是次多项式，教材上说“可令（） = （）”。很明显，（）与（）是不同的，二者相差一个常数，不影响最终的结果吗？事实上，当是特征方程 + + = 0的单根时，在（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = 中 + + = 0，方程左端最后一项（ + + ）（）不起作用，同时（）比（）多出来的那个常数在求导的过程中不影响导数的结果，也就是说令（） = （）或者令（） = （）都能满足方程（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = ，而且令（） = （）在待定系数时还少求解一个系数，何乐而不为？当是特征方程 + + = 0的重根时，可令（） = （），是一样的道理。这一点作为教师必须得清楚。
4 高斯公式的应用中一道例题的解法
同济六版《高等数学》第十一章第六节（P231）例1：
利用高斯公式计算曲面积分（） + （），其中为柱面 + = 1及平面 = 0， = 3所围成的空间闭区域 的整个边界曲面的外侧（如图1）。
教材上利用高斯公式把曲面积分（） + （）转化成了（），接下来的计算完全可以发散开来让学生去想怎么求，因为三重积分的计算他们已经学过并且很熟悉。按照惯常的思维，最直接的解法是把上面的三重积分化成直角坐标下的三次积分，不过不难发现积分区域 在坐标平面上的投影是圆域，所以也可以按照书上把其化成柱面坐标下的三次积分（），同时这个三重积分的计算还可以进一步延伸利用对称性和截面法转化为 = = 。
数学被誉为锻炼思维的体操和人类智慧之冠上最明亮的宝石，高等数学更是很多理工科学科进一步学习的基础，所以在备课的时候做充分的准备，而授课时尽可能以一种比较易于为学生接受的思维和方式来展开是很有必要的。同济六版《高等数学》虽然很经典，但是在一些细节处理上还是可以改进的，其中一些没有点明，被作者略去的内容还是需要教师在授课的时候讲到的，最起码是自己备课的时候应该用心想过的。当然，仁者见仁智者见智，毕竟从学生的实际出发、切合不同专业的需要才是最根本的。
参考文献
[1] 同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.
极限思想在经济学中的应用范文6
读《增长的极限》
“不是什么东西都可以重复的，但真理可以———特别是当真理被既得利益所否认而被新的信息所证明的时候。”1972年，美国麻省理工学院丹尼斯·米都斯领导的四位年轻科学家受罗马俱乐部的委托，撰写了《增长的极限》一书，第一次向人们展示了在一个有限的星球上无止境地追求增长所带来的后果。这本书震惊了世界并畅销全球。
记得大学四年级的时候，学校让各系的优秀教师开办讲座，以丰富学生们的知识、开阔学生们的视野。山大经济系蔺子荣副教授在讲座中提到了《增长的极限》这本书，当时我国刚刚改革开放，正要把“”造成的损失夺回来，“时间就是金钱”之类的口号由南渐北，风行一时，我辈自然无法理解《增长的极限》，也觉着蔺子荣老师讲座中的某些内容未免有些杞人忧天（蔺老师讲座中谈到一个人一生要呼吸多少立方空气、吃掉多少吨食物、喝掉、用掉多少吨水，都接近天文数字）。
参加工作后，一次出差的机会，偶然看到《增长的极限》一书，顺便买了一本，胡乱翻了翻，认为那是西方发达国家进入“后工业化社会”的恐慌，距离我们还很遥远，就扔在了一边。
年底，上海外贸学院副院长刘光溪回鲁探亲，交谈中，对我国经济高速增长带来的环境、资源的压力，都表示了忧虑，我便重新阅读了《增长的极限》一书。当我再次阅读这本发展学的经典原著的时候，西方发达国家已经进入了“后工业化社会”。虽然所处的时代环境已经和32年前发生了巨大的差别，但“持续的发展何以可能？”这一经典的问题仍然萦绕在人类面前。
30多年过去了，世界发生了很多变化，但是又好像什么变化也没有发生，世界应该重温一下《增长的极限》了。1972年做出的预言到现在变得那么更加真实、可信，然而正是由于忽视了这些预言，世界已经浪费了30多年的宝贵时间而没有采取行动。
30年前，大多数经济学家和许多实业家、政治领袖以及第三世界的创业者都站出来对增长极限的观点表示愤怒。但是，事实终于证明了关于全球生态制约的观念并不是荒诞不经的，这些的的确确限制了实物增长，并且对我们为实现我们的目标而选择的政策能否成功产生了巨大的影响。历史已经证明，人类社会只有有限的能力能在短期内采取明智的、有远见的、利他的但却对一些重要角色不利的措施来对这些限制做出反应。
《增长的极限》再次拉响了警报，号召我们在为时已晚前采取行动。冰盖正在融化，新鲜水源正在消失，鱼类和森林正在枯竭……尤其对于身处工业化进程高速进行的中国而言，庞大的人口负担、高速的工业增长和严重的环境污染更为我们未来前进的征程平添了几许阴霾。
党中央高瞻远瞩，7月28日在全国防治非典总结大会上，总书记总书记指出，“要建立全面发展、协调发展、可持续发展的发展观。”紧接着，10月党的十六届三中全会召开，审议并通过了《中共中央关于完善社会主义市场经济体制的决定》，决定指出：“坚持以人为本，树立全面协调可持续的发展观，促进经济社会和人的全面发展。”这是科学发展观的首次正式提出。科学发展观是针对我国经济社会发展中存在的突出问题提出来的，对指导经济社会发展的指导作用非常明显，经济社会发展中的突出问题是不协调问题，一是经济建设与社会发展不协调，另一个是经济增长的代价太大、资源消耗量太大。以提出科学发展观那一年为例，gdp为1.4万亿美元，占世界4%，但原油消耗2.6亿吨，占世界消耗7.4%，原煤消耗16亿吨，占世界消耗31%，钢材消耗2.46亿吨，占世界消耗27%，水泥消耗8.5亿吨，占世界消耗40%。这种情况一直持续到没有明显改观。gdp达到21万亿人民币，占世界的5.5%，但能源消耗占世界的15%，其中，钢材消耗占世界消耗30%，水泥消耗占世界消耗54%。在十六届三中全会上，总书记总书记作了重要讲话。讲话指出：“树立和落实全面发展、协调发展、可持续发展的科学发展观，对于我们更好的坚持发展才是硬道理的战略思想具有重大意义。树立和落实科学发展观，这是二十多年来改革开放实践的经验总结，是战胜非典疫情给我们的重要启示，也是全面推进小康社会的迫切要求。”
党的十七大把科学发展观作为我们党的指导思想正式写入：“科学发展观是我国经济社会发展的重要指导方针，是发展中国特色社会主义必须坚持和贯彻的重大战略思想。”
中国的经济和社会正在高速发展中，我们必须了解到自然资源对经济高速增长的限制，人类活动对自然和社会的破坏，只有了解了增长的极限，我们才能找到一个可以持续的发展模式。
增长的极限曾经是遥远的未来，但今天它们已经广泛存在。崩溃的概念曾经被认为是不可思议的，但今天它已经进入公众谈论的话题，尽管它仍然是一个遥远的、假设性的和学术化的概念。
《增长的极限》猜测，后过度冲击的后果才能被更清楚察觉，20年后，过度冲击的事实才会被普遍承认。该书中的模拟场景表明，21世纪的第一个仍将处于增长的阶段，这跟此书30年前给出的模拟场景是一致的。该书对1970～这一时期的预期，已经正确了30年，所有人必须再等，才能得到结论性的证据来证明谁的看法是正确的。
如果说《增长的极限》所做出预言在如今的西方发达国家家并没有真正成为现实的话，那是因为西方发达国家及时实现了从工业化向后工业化的成功转变，避免了指数增长的危机，也就实现了均衡的、可持续的发展状态。
今天的中国社会兼跨着农耕文明、工业文明和后工业文明三个时代。我们的挑战要比西方发达国家复杂的多、艰巨的多。人口、资源、粮食、污染和不可再生资源犹如重重枷锁禁锢着中国的可持续发展之路。正如《增长的极限》所做出的判断一样“允许指数增长持续时间越久，保持最后稳定状态的可能性越小。”①尤其是在中国现阶段的发展必须追求高速增长的前提下，我们的可持续发展之路在哪里？虽然，全党全社会中国各级政府已经把可持续发展列为了一项战略任务，但我们的现实条件又为这一战略的实施提供了多大的空间？
