弹性函数的经济学意义范文1
一、导数的定义
设函数y=（）在点的某领域内有定义，若极限（1）存在，则称函数f在点x0可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f'（x0）。令x=x0 +，=f（x0+）-f（x0），则（1）式可改写为： （2）。所以，导数是函数增量与自变量之比的极限。这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数f'（x0）则为f在x0处关于x的变化率。
若（1）或（2）式极限不存在，则称f在点x0处不可导。
以下介绍导数的有关应用：经济方面，物理方面，极限方面，函数方面，最优化问题方面以及其它生活中的应用实例方面来阐述导数的广泛应用：
二、导数概念在经济学中的应用
将导数概念应用于经济学中，主要是指利用导数研究经济变量，如成本、收入、利润、需求等函数的变化率，其一为瞬时变化率，在经济学中称为“边际”；其二为相对变化率，在经济学中称为“弹性”。
（一）总成本函数与边际成本
总成本是指生产一定数量的某种产品所需投入的总费用，它是产量的函数，一般用C表示，设某产品产量为时所需的总成本为C=C（x），称为总成本函数，简称为成本函数，它是由固定成本c0（与产量无关的资源投入，如厂房、设备、企业管理费、广告费等）及可变成本c1（x）（与产量相关的资源投入，如原料、电力、人力等）两部分组成，一般函数关系为C（x）=c0+c1（x），这是一个单调递增函数。
若产量是连续变化的，且函数C（x）在点x处可导，则有。C'（x）为成本函数的瞬时变化率，称为产量为x时的边际成本，又记作MC。按导数定义，C'（x）近似表示在产量为x，产量的改变量的绝对值||很小时，总成本变化的速度，即平均增加或减少一个单位产量时总成本改变量，而经济学家对边际成本C'（x）的解释是C'（x）表示当产量为x时，再生产一个单位产品所需增加的成本的近似值。
（二）总成本函数与边际收入
总成本函数是指生产者出售一定数量的产品后所得的全部收入，一般用R表示，它与销售量及价格有关，其关系式为总收入=价格销售量。
在一元函数中，可根据所讨论的问题将总收入表示为销售量的函数或表示为价格的函数。
现在设某种产品的销售量为x时的总收入为R=R（x），称R（x）为总收入函数，简称收入函数。类似与边际成本的讨论，若在R（x）点x处可导，就称为销售量为x时的边际收入，又记作MR，其经济意义为：假设已经销售了x个单位产品，再多销售一个单位产品时收入增加的近似值。
[例1]：设某种产品的需求量x是价格p（元/单位产品）的函数：x=20000-100p，求边际收入函数MR（x）及需求量分别是9000，10000，11000个单位时间的边际收入，并说明其经济意义。
解：总收入函数为R（x）=销售量价格=需求量价格x=p
由已知20000-100p，将p=200-0.01x代入R（x）得
R（x）=200x-0.01x2，于是MR（x）=R'（x）=200-0.2x
（9000）=20（元） （10000）= 0（元） （11000）=-20（元）
其经济意义为：当需求量为9000个单位时，如果需求量再增加1个单位，总收入大约增加20元；当需求量为10000个单位时，如果需求量再增加1个单位，总收入大约不变；当需求量为11000个单位时，如果需求量再增加1个单位，总收入大约减少20元，这说明总收入并不总是随需求量（即销售量）的增加而增加的。
（三）总利润函数与边际利润
总利润是指生产者将生产的产品售出后，扣除投入部分的费用后所得的收入，一般用L表示，即L=总收入-总成本。如果我们假设销售量=产量（即产销平衡），设某种产品的产量为x时，总成本函数为C（x），总收入函数为R（x），则有L（x）= R（x）- C（x），称L （x）为总利润函数，简称为利润函数。若L（x）在点x处可导，就称为产量为x时的边际利润，又记作ML。其经济意义为：当产量为时再多生产1个单位产品所增加的利润的近似值。
[例2]：设生产某种产品x个单位的成本函数为C（x）=1000+10x+0.01x2（单位：元）。如果每单位产品售价为30元，求边际成本与在产销平衡情况下的边际利润函数，并求产量为800个单位时的边际利润，并说明其经济意义。
解：当产量为个单位时的总收入为R（x）=30x，边际收入。由已知成本函数可得边际成本为，从而产量为个单位时的边际利润为
当x=800时，
结果表明，当产量为800个单位时，再多生产1个单位产品，利润大约可增加4元。
（四）弹性分析
导数讨论的是函数在某点的变化率，关心的是自变量的微小改变所引起的函数改变量，但是在日常经济活动中，例如，在研究需求量与价格之间的关系时，关心较多的不是因价格p的改变所引起的需求量Q的改变量，而是价格的相对改变量所带来的需求量的相对改变量，这样便得到一种被称为弹性的度量。下面先给出一般函数的弹性定义。
定义2.4：设函数y=f（x）在点x0的某领域内有定义，若对于x的改变量Dx，函数取得改变量=f（x0+）-f（x0），称值为y=f（x）在点x0与点x0+之间的弧弹性。
弧弹性表示当自变量由变到x0+时，自变量变化的1%所引起的函数值变化对于f（x0）的百分比，故称为平均相对变化率。
定义2.5：如果函数y=f（x）在点x0处可导，则称极限值为y=f（x）在点x0处的点弹性，记作，即。
当||很小时，。
定义2.6：如果函数y=f（x）在某区间可导，则称为y=f（x）在该区间内的点弹性函数，简称弹性函数。
弹性函数的经济学意义范文2
[关键词] 经济分析数学应用导数积分
一、导数在经济分析中的应用
导数是函数关于自变量的变化率，在经济工作中，也存在变化率的问题，著名的边际分析就是用求函数导数的方法，解决边际变化问题的。在经济学中，如果某经济指标与影响指标的因素之间成立函数关系，那么称导数为的边际函数。
1.边际分析。在经济分析中，习惯用“平均”和“边际”两个概念来描述一个经济变量对于另一个经济变量的变化情况。平均的概念表示在自变量的某一个范围内的变化情况;边际概念涉及的某一值的“边缘上”的变化情况。显然，平均值随着的取值范围不同而不同，边际概念表示当的改变量趋于0时，的相应改变量与的比值的变化，即当在某一给定值附近有微小变化时，的瞬时变化率。在日常经济活动中涉及的边际变化有：边际成本、边际收益、边际利润等。
(1)边际成本分析。若生产某种产品q单位时所需要的总成本函数可导，则边际成本定义为。边际成本是总成本函数关于产量q的导数。其经济含义是：当产量为q时，再生产一个单位(即=1)所增加的总成本，因此，边际成本近似地表示为。假设某种产品成本函数C=（C为总成本，q为产量），其变化率=即称为边际成本，(q0)称为当产量为q0时的边际成本。西方经济学家对它的解释是:当产量达到q0时，生产q0前最后一个单位产品所增添的成本。
(2)边际收益分析。边际收益与边际成本类似，其定义为=，即边际收益是总收益函数关于销售量的导数。其经济含义是:当销售量为时，再销售一个单位（即=1）所增加的总收益。
假如已知某企业某种产品的收益R(元)是销售量q(吨)的函数，，现欲知生产50吨该产品时的边际收益，那么，边际收益为,当=50时，。
其经济含义是:当销售量为50吨时，再销售一吨(即=1)所增加的总收益为199元。
(3)边际利润分析。边际利润与边际成本类似，其定义为总利润函数关于销售量q的导数，即。其经济含义是：当销售量为q时，再销售一个单位（即=1）所增加的利润L。
这里需要强调:边际利润与利润是不同的概念，即边际利润小于零，它意味着:当销售量为q时，如再销售一个单位(即=1)，则总利润将减少；此时，企业可能是亏损，也可能是盈利，即总利润减少不一定是亏损。而即利润小于零，则意味着：当销售量为q时企业是亏损的。
2.需求价格弹性分析。函数在点处的相对改变量与自变量的相对改变量之商的极限，称为函数在点处的弹性。弹性概念在经济分析中应用非常广泛。
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称作需求弹性，也称其为需求的价格弹性。需求弹性是刻画当商品价格变动时需求变动的强弱。由于需求函数Q=Q为价格的单调减少函数，与 异号，p,q均为正数，于是皆为负数。为了将需求弹性表示为正数，于是采用需求函数相对变化率的反号数来定义需求弹性。
设某种商品的市场需求量为q，价格为p，需求函数Q=Q可导，则称为该商品的价格需求弹性。其经济含义是:当某种商品的价格上涨1％，需求则减少1％；价格下跌1％，需求则增加1％。
例如某商品需求函数为，为了说明价格与需求变动的关系，第一要解决的问题是求需求弹性函数；第二根据价格的不同，分别求出p=3，p=5，p=6时的需求弹性。解决的办法是：
第一,利用需求弹性定义，则；
第二,当p=3时，,。
其经济含义是：
(1)=1,说明当p=5时，价格与需求变动的幅度相同，即当 p=5时，价格上涨1%，需求则减少1%；价格下跌1%，需求则增加1%。
(2)=0.6
(3)=1.2>1.说明当p=6时，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，即p=6时，价格上涨1％，需求减少1.2％。
在市场经济中，企业经营者应充分了解所经营商品的需求价格弹性，正确把握商品的价格。这样既可以在激烈的市场竞争中立于不败之地，又可以为企业带来一定的经济效益。
二、积分在经济分析中的应用
在高等数学中，求积分与求导数或微分是互为逆运算。不定积分是求全体原函数，定积分是求和式的极限。积分在经济分析中也有广泛的应用。经济活动分析中，经常会遇到已知函数的导数或微分，求这个函数或求总量的问题，例如利用积分可以解决最值及资金流量的现值问题。
1.最值。在经济应用中，求平均成本最低或利润最大等都是最值问题。如已知边际成本，求产量为q时的总成本函数，即求原函数的问题,也就是求的不定积分（C0为固定成本）；由边际成本求产量由a增加到b时总成本的增量，就是求定积分。
同样道理：已知边际收益，求销售量为q时的总收益函数，即求原函数的问题，也就是求的不定积分，总收益，当销售量q=0时，总收益为零，从而积分中的常数为零，所以总收益函数为;由边际收益求产量由a增加到b时总收益的增量，就是求定积分。
同理:由边际利润，求总利润，是求不定积分；求由a到b利润的增量是求定积分。
2.资金流量的现值。如果某项投资的收益分若干期（通常是以一年为周期），那么每期期末的收益会有所不同。这种每期期末的收益就称为“资金流量”（或“收益流量”）。假设各期的收益流量分别为R1,R2…,Rn，那么对于第i期期末资金流量Ri，其现值Pr0是多少？亦即未来的收益现在值多少钱？假设利率为r，可得到如下结论：
(1)在离散情况下，第i期期末的收益流量Ri的现值为，全部n期的收益流量的现值应为和式i;
(2)在连续情况下，资金流量是时间t的函数。若t以年为单位，则第t年的资金流量为，在很短的时间间隔[t,t+dt]内的资金流量的近似值是dt，利率为r,其现值应为;到n年年末资金流量总和的现值就是t从0到n的定积分，即。应特别指出，当每年的收益流量不变时（记为常数A），则。
在实际经济活动中，假设连续收益流量每年为a元，持续5年，且年利率为r，问其现值是多少？这样的问题可以用公式求得由0到5的定积分，如此便可以求得现值。
弹性函数的经济学意义范文3
经济学是研究稀缺资源优化配置及其社会经济关系的一门科学，经济数学是一种严密、精确、实用的思维工具，是一门用数学方法来研究经济问题，以解决稀缺资源如何优化配置的科学。基于资源存量与流量的可度量性，为了使资源配置更加合理、公平，效率更高，经济必须借助于数学。经济活动的实践证明，经济的发展离不开数量，并且在经济发展中运用数学的程度与数学本身的发展密切相关。尽管数学的概念和结论极为抽象，但是它们都是从生产实践来的，并且能在其他学科中、在社会生活实践中得以广泛应用。正如恩格斯所说，应用数学来发展现实世界的这种可能性根源在于：数学从这个世界本身提取出来，并且仅仅表现这个世界所固有的关系的形成部分，因此能够一般地加以应用。
由于现代化生产发展的需要，经济学中定量分析有了长足的进步，数学分析、线性代数、概率统计、微分方程等已引入经济学，出现了数理统计学、经济计量学、经济控制论等分支，这些新分支统称为数量经济学。数量经济学的目的在于探索客观经济过程的数量规律，以便用来指导客观经济实践；在经济应用数学中，“成本函数”、“收益函数”、“需求函数”和“供应函数”等，得到广泛的应用，把“二次函数”和“分式函数”扩展为“多项式函数”和“有理函数”，并用它们构造了总成本函数、收益函数、利润函数、库存总量函数、边际函数等。所有这些函数思想在大学的应用数学得到了进一步的发展和利用，并且与现代企业经济管理相结合，集中体现了经济数学思想在经济管理中的应用。以下论述中我们针对企业管理的特点，重点阐述企业管理中的若干经济数学思想，以求对企业管理实务工作者有所裨益。
二、企业管理中的若干经济数学思想
在企业管理中，成本利润、收入需求、价格等经济量是决策中必需考虑的因素。为了达到利润最大、成本最小、价格最合理，就要把握最佳产量、最佳销售量，最佳销售价格，这常用到求函数的最大、最小值问题，即经济学中的最优化问题，其实质就是求得能够使目标函数达到极值时的选择变量的代数值。
1、成本与利润函数
企业成本分为两类，第一类成本的特点是短期内不发生变化，即不随商品产量的变化而变化，称为固定成本(厂房、设备等固定资产的折旧、管理者的固定工资等)；第二类成本的特点是随商品产量的变化而变化，称为变动成本(通常有能源费用、原材料费用、劳动者的工资等等)。固定成本与变动成本之和为总成本，即TC(q)=FC(q)+VC(q)，其中q为企业的产品产量，这就是企业的成本函数。利润就是生产者收入扣除成本后的剩余部分，即收益与成本之差，L(q)=R(q)-C(q),这就是企业的利润函数。
生产者提供商品的首要目的就是获取利润，决定生产规模也是获得最大的利润。对于生产者来说，成本总是随着产量的增加而增加的，因而生产决策者不能只盲目地追求产量，还需要根据利润的变化情况确定适当的产量指标。利润函数L(q)=R(q)-C(q)=0时，此时生产者既不赢利也不亏损，即收支相抵，我们将满足收支相抵的点称为盈亏平衡点(又称为保本点)。盈亏分析常用于企业经营管理中各种定价或生产决策。
2、边际分析
在经济研究中，若以原函数代表成本、收入、利润等，通常称之为总函数，如总成本函数，总收入函数，总利润函数等，而对应的导数就称之为总函数的边际函数。边际是对经济与企业经营管理进行数量分析的一个重要概念：边际成本在经济学中，把产量增加一个单位时所增加的总成本或增加这一个单位产品的生产成本定义为边际成本，边际成本就是总成本函数在所给定点的导数。边际成本在一定产量水平以下，随着产量的增加而降低，在一定产量以上，会随着产量的增加而提高，此时，成本会随产量的增加越来越高，这是由于在生产能力得到充分利用后，要再增加生产需投资新的设备或增加工人工作时间等造成成本的增高。因而在生产管理中，边际成本的分析是一个不容忽视的问题。
3、需求弹性分析
在经济学中，把某变量对另一变量变化的反应程度称为弹性。需求函数弹性就是物品的需求量对价格变化的反应程度。需求弹性Ep为需求变化百分比与价格变化百分比的比值。需求弹性有其实际的经济含义是表示当某种商品的价格下降(或上升)百分之一时，其需求量将增加(或减少)的百分比。经济学中，当Ep<-1时，称需求量富有弹性，也就是价格的变化将会引起需求的较大变化，这时需求量对价格的依赖是很大的，换句话说，适当涨价会使需求较大幅度上升从而增加收入；当-1<Ep<0时，称需求量是缺乏弹性，即商品需求量的相对变化小于价格的相对变化，此时价格的变化对需求量的影响较小，在适当涨价后，不会使需求量有太大的下降，从而可以增加收入；当Ep=-1时，称需求为单位弹性，这是需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等，即商品的涨价或降价对商品的销售基本无大的影响。
在企业管理运用弹性进行经济分析时，应该考虑以下几点：（1）考虑影响需求价格弹性的因素。影响需求价格弹性的因素主要有：商品的性质，如生活必需品的价格弹性小，奢侈品、可有可无的商品需求价格弹性较大；商品的替代性强弱，可替代的物品越多，性质越接近，弹性就越大；商品的消费支出在总支出中所占的比例，如果一种商品其消费支出占家庭消费总支出的越小，则其需求价格弹性越小；商品用途的广泛性，用途越广泛，需求价格弹性就可能越大；时间因素，同样的商品，从长期看，其弹性越大，从短期看，其弹性小。（2）考察价格与需求价格弹性的关系。在产品富有弹性的情况下，提高价格反而使销售收入减少，降价却能增加销售收入。但随着价格的下调，需求价格弹性也随之降低，因此降价促销是有限度的。近几年的彩电大战、VCD大战实际上是降价大战，其结果是不利于企业的生存、发展。因此，弹性理论为我们提供了具体而有效的实战依据。（3）考察需求交叉弹性。交叉弹性Exy是指一种产品的需求量对另一种相关产品价格变化的敏感程度。当企业的产品有互补关系时，就其中一种产品，定价较低可能会减少这部分产品的收益，若其互补品的销量迅速增加，导致企业总的利润增加，则此降价方案可行。Exy越大，说明竞争越激烈。因此，企业决策人员应了解掌握本企业产品的需求交叉弹性，除了采用灵活的价格策略外，更应把功夫放在开发产品、改进市场、降低成本等方面上，以保证企业的持续发展。
4、最优化问题
在经济管理中，常常要寻求经济函数在一定范围内的最大、最小值，这就是最优化问题。利润最大化是企业决策的最终目的，选择利润最大的产出水平是经济数学在经济管理中最显著的应用。设利润函数为L(q)=R(q)-C(q)(q≧0)，为求出使利润最大的产出水平，首先必须满足必要条件，即利润函数的—阶导数等于0，此时，边际收益等于边际成本；其次，还必须满足充分条件，即当利润函数的—阶导数等于0时，二阶导数小于0。满足这样的充分必要条件的产出水平将使利润最大。最优化问题在企业生产经营决策中也经常碰到。
三、运用数学分析方法进行企业经济管理决策时需要注意的几个问题
1、正确处理经济学与数学的关系
经济学和数学在研究对象和科学性质上是完全不同的两门科学，二者的发展规律和趋势是迥然不同的。二者在发展过程中可以互相影响、互相作用、互相渗透和互相利用。数学作为一种语言和方法，实现了经济理论的模型化，使之对具有高度复杂性的经济系统能够得以在严格的假定条件下进行有效的研究，并利用现代信息手段进行加工处理，从中得出一般性的结论，直接为经济实践过程提供科学的理论依据。同时，数学方法的运用，大大拓展了经济理论的研究领域，提高了经济理论的实用价值，从而推动了经济理论的发展。
然而，经济学不能变成为一系列抽象假定复杂公式的堆积，因为经济活动的规律纯粹用数学公式是推导不出来的，而且，经济发展规律和经济实践过程相当复杂和多变，同时还可能会遇到诸多不确定因素的干扰和影响。如果能够科学、恰当地运用数学语言和方法，把经济学和数学有机地结合起来，就能够极大地推动经济理论研究和经济实践工作的发展。相反，如果不顾主客观条件的允许，盲目地生搬硬套各种公式和模型，把错综复杂、或明或暗的经济现象设计成一堆庞大且难以处理的数学符号，可能导致经济学成为一种完全虚构的假说。这样，无论对经济理论研究，还是经济实践过程，都将产生严重的误导作用。
2、正确处理好经济分析中定性与定量分析的关系
经济学是一门定性分析与定量分析相融合的严密科学。经济理论在研究过程中，必须处理好定性分析和定量分析的辩证关系。质是事物在性质上区别于其他事物的内在规定性。量是事物所固有的、客观存在的。任何量总是具有一定质的量，量以质为基础，而量的变化达到一定的程度，就会引起质的变化。经济理论研究如果仅仅局限在定性分析上，势必导致经济理论的抽象化、空洞化和理想化，使其缺乏足够的说服力和解释力；如果只片面强调数学语言和方法的运用，而没有把经济理论作为依存的基础和条件，这种分析则缺乏科学性和可信度，也会导致经济理论的简单化、模型化和僵硬化。因此，数量关系所反映出来的社会经济现象的本质联系，必须以经济理论所论证的社会经济发展规律作为基础。在企业经营决策中，我们也应该处理好决策中质与量的关系。
弹性函数的经济学意义范文4
[关键词] 一元微积分 经济问题 应用
近几年来,我国的经济学界和经济部门越来越意识到用数学方法来解决经济问题的重要性,正在探索经济问题中应用数学的规律。鹤壁职业技术学院李兰军老师在《商场现代化》2008年10月(下旬刊)上作了概率统计在经济问题中的应用研究。实践证明,一元微积分也是对经济和经济管理问题进行量的研究的有效工具。本文将利用一元微积分方法解决一些经济问题,分析生产量、成本与利润和需求量(销售量)、价格与收益的关系,研究怎样确定或变动产品的生产量、销售量,以及商品的价格。
一、微分在经济学中的应用
由微分的定义知,当很小时,有近似公式,而所以,这个公式可用来计算函数在某一点附近的函数值的近似值。
例1设某国的国民经济消费模型为。其中:y为总消费(单位:十亿元);x为可支配收入(单位:十亿元)。当x=100.05时,问总消费是多少?
解令因为相对于较小,可用上面的近似公式来求值。
由此可以通过统计可支配收入来预测总消费是多少,以便确定产品的生产量。
二、最值在经济学中的应用
在经济分析中,经常遇到利润最大,成本最低等问题
1.最大利润问题
利润是衡量企业经济效益的一个主要指标。在一定的设备条件,如何安排生产才能获得最大利润,这是企业管理中的现实问题。
例2某厂生产某种产品,其固定成本为3万元,每生产一百件产品,成本增加2万元。其总收入R(单位:万元)是产量q(单位:百件)的函数,,求达到最大利润时的产量。
解由题意,成本函数为,于是,利润函数
,
令,得(百件).又,所以当时,函数取得极大值,因为这里极值点是惟一的,所以极大值又是最大值,即产量为300件时取得最大利润。
2.最小成本问题
例3 已知某个企业的成本函数为:,
其中C――成本(单位:千元)q――产量(单位:t).求平均可变成本y(单位:千元/t)的最小值。
解 平均可变成本,令,得。
又,所以时,y取得极小值,由于因为这里极值点是惟一的,所以极小值又是最小值。(千元/t),
即产量为4.5t时平均可变成本取得最小值9750元/t.
三、导数在经济学中的应用
导数概念在经济学中有两个重要的应用――边际分析和弹性分析。
1.边际分析
边际概念是经济学中的一个重要概念,一般指经济函数的变化率。当经济函数的自变量改变很小时,经济函数的边际函数是指它的导函数。利用导数研究经济变量的边际变化的方法,称为边际分析方法。
例4设某产品的需求函数为q=100-5p,求边际收益函数,以及q=20,50和70时的边际收益。
解 收入函数为R(q)=pq,式中的销售价格p需要从需求函数中反解出来,即,
于是收入函数为,边际收入函数为,
由所得结果可知,当销售量即需求量为20个单位时,再增加销售可使收益增加;当销售量为50个单位时,再增加销售收益不会增加;当销售量为70个单位时,再增加销售收益反而会减少。
2.弹性分析
弹性分析也是经济分析中常用的一种方法,主要用于对生产、供给、需求等问题的研究。弹性是衡量买者与卖者对市场条件变动反应大小的指标,亦即是衡量需求量或供给量对某种决定因素的反应程度的指标。需求弹性是衡量一种物品需求量对其价格变动反应程度的指标,是需求函数的相对改变量与自变量相对改变量比值的极限。
例5设某商品的需求函数为,求价格为100时的需求弹性。
解 需求弹性,其结果表示:当价格为100时,若价格增加1%,则需求减少2%.即需求变动的幅度大于价格变动的幅度,且变动的方向相反。这时价格上涨总收益减少,价格下跌总收益增加。
四、积分在经济学中的应用
1.不定积分的应用
例6已知某产品的边际收益,求该产品的收益函数.
解 收益函数为边际收益的不定积分.
在实际问题中,人们认为当销售量为零时,收益也为零,即R(0)=0.由此可以确定C=0.于是收益函数为
.
2.定积分的应用
(1)在经济管理中,已知边际函数,求总量函数或某一区间上的总量问题,可利用定积分计算
例7已知某种产品的边际成本为(元/个).
①若固定成本C(0)=7.5(元),求总成本函数。
②求产量从10到15个时总成本的增加量。
解
(元).
(元).
(2)当已知函数的变化率,要求该函数在某一区间上的改变量,也可用定积分计算
例8已知生产某产品q个单位时收益R的变化率是q的函数.
①求生产前200个单位时的收益。
②求产量从300个单位到500个单位时收益的增加量。
解 (元)
(元)
参考文献:
[1]李汝全:高等数学[M].北京: 北京工业大学出版社,2004,9
弹性函数的经济学意义范文5
关键词：经济增长 教育投资 生产函数 资源配置
一、教育生产函数的提出
在上述回归数列中义务教育的产出弹性为1.728189，与固定资产投入的产出弹性0.610568相比，是非常不合理的，这主要是由于在前边的分析中，义务教育阶段的每十万人口平均在校生数与人均GDP并不存在相关关系，这是因为义务教育的在校生数主要是由我国人口出生率及育龄人口数决定；但是，国民接受义务教育的人数，却决定了我国未来人力资本的数量及质量，因而不能忽略。所以，在此模型中，虽然义务教育作为调整项被加入非线性回归分析，并且我们不可能增加义务教育的在校生数，但是义务教育在整个国民经济中所起作用也是不可忽视的。在粗放型经济模式下，我国人口数量的飞速发展，曾经在我国经济发展中起到了重要作用，也是使我国成为“世界工厂”的基础。但是，随着信息时代的到来，我国进一步实现“科教兴国”战略，对于义务教育，将更注重质的提高而不是量的积累。
从式6中可以知道，高中阶段的产出弹性是0.245836，高等教育的产出弹性是0.181011，从目前的数据看，高中教育的产出弹性高于高等教育的产出弹性，但我们却不能就此认为，高中教育对我国经济增长的效率比高等教育高。因为根据对外国教育与经济发展的对照可以得出如下结论：世界各国的三级教育投资分配结构，在经济和教育发展的最初阶段，初等教育投资比例最高，其次是中等教育投资，高等教育投资比例最低。随着各国社会经济的发展，对教育的要求也在不断提高，因此，教育结构也在不断地变化。各国在初等教育基本普及的情况下，就自然而然地转向发展中等教育，此时，教育投资的重点也就转向了中等教育方面。在基本完成中等教育的普及之后，就开始进入普及高等教育阶段，此时教育投资的重点也就开始向高等教育倾斜。
三、经济发展需求下教育投资在各级教育间配置的理论方向
通过对教育生产函数的估计，在教育投资优化配置方面，我们的出以下结论：
（1）初等教育是一国教育科技的基础，对经济增长有很强的促进作用，但是，随着一国经济结构的不断优化、全民素质的不断提升以及全球老龄化社会的到来，一个国家不可能永远在这一指标上取得优势。因此我们要讲教育投资的方向逐步向高中教育及高等教育转移。
（2）随着我国经济的发展及经济结构的转变，我国教育的重点应遵循初等教育――中等教育――高等教育这一规律逐步向中等教育、进而向高等教育进行转移，教投资的方向也应随之同步转移[4]。如果依然不能意识到这一问题，继续加大对初等教育的投入，必然影响教育和经济的协同发展。
（3）近年来，我国高等教育的毛入学率快速提升，从 1998年的9.76%到2002年的15%，再到2011年的26.9%，我国高等教育从精英教育阶段进入大众化阶段，但这仍然远远低于发达国家平均水平（68.8%），并且在校生数的产出弹性低于高中在校生的产出弹性。由此可以看出我国高等教育问题绝不简单是扩招过度问题，主要还是教育投资在结构上的配置不合理，导致扩招的同时，经费投入不足，教育质量下降，从而在校生数的产出弹性偏低。
四、结束语
由于我国人口众多，现实和潜在的教育人口数目较为庞大，与此相对应的我国教育资源十分短缺，政府虽然不断加大教育经费的投入，但仍然有限。因而提高我国的教育投资的效率，在各级教育间合理配置教育资源，并充分利用好有限的教育资源、办好我国各级教育，是目前迫切需要解决的一个大问题。这对提高国民素质和综合国力，增强我国在国际舞台上的竞争能力，早日成为世界强国之一都具有重大的意义。
参考文献：
[1]刘泽云，萧今.教育投资收益分析[M].北京师范大学出版社，2009年3月
[2]舒尔茨.人力资本投资[M].北京：商务印书馆，1993.
弹性函数的经济学意义范文6
关键词：固定资本存量 全要素生产率 永续盘存法 生产前沿
全要素生产率的参数法与非参数法估计
（一）索洛余值法及模型
本文首先选择参数法中的索洛余值法来估计行业TFP。索洛余值被定义为GY-α*GK-β*GL，其中GY表示总产出的增长率，GK表示总资本存量的增长率，GL表示总劳动投入的增长率，α表示资本的产出弹性，β表示劳动的产出弹性。本文选取柯布道格拉斯生产函数作为生产函数的形式，全要素生产率的表达式为：
其中，Yt表示总产出，Kt表示总资本，Lt表示劳动总投入，At表示技术进步，t表示时间。
对于全要素生产率的增长率，多数文献假设全要素生产率的增长率为常数，然而在现实经济中，技术进步以不变的增长率增长这个假设也许不足以描述技术变化的实际情况，因为技术进步增长率很有可能是随时间变化的。当假设技术进步以一个不变的增长率λ变化时，柯布道格拉斯生产函数将加入时间因素，变为：
当假设技术进步增长率是随时间变化的，即，可得时，柯布道格拉斯生产函数的形式变为：
相应的人均的形式为：
（二）数据包络分析法
数据包络分析法是非参数方法的一种，本文利用数据包络分析法中的Malmquist指数来研究三大工业行业TFP的变化情况。文章将三个工业行业16年的数据作为面板数据来做生产前沿面分析。应用Malmquist指数法对三大行业的技术进步状况进行整体描述，为分析不同行业的技术进步状况提供分析依据。
对于每个时期t=1，...，T，均可以定义一个联结投入与产出的可能性集合St。如果xt和yt分别代表N维投入向量和M维产出向量，则声称可能性集合可以定义为。生产可能性集合的边界界定了位于生产可能性前沿面上的全部可行的投入和产出的组合。当投入产出组合位于该边界上时，则生产被认为是有效的；如果投入与产出组合位于生产可能性集合的内部，则存在生产上的技术无效率。
通过引入距离函数来界定技术无效率，在基于产出的生产前沿面中，对应于t时刻生产技术和投入产出向量xt和yt的距离函数可以定义为：
基于产出生产前沿面而定义的距离函数Dt（xt，yt）实际上衡量了相同投入下实际产出量与最有效率的产出量之间的差距。从此意义上来看，它反映了在时刻t投入向量xt及yt所对应的实际生产效率。距离函数是技术效率的倒数，即距离函数越大，技术效率越低。当Dt（xt，yt）=1时，实际生产计划位于生产前沿面上，从而具有完全的技术效率。
由于技术进步的存在，不同时期的前沿面之间会发生移动。由此产生的一个结果是，同一投入产出向量在两个不同时期里将具有不同的生产效率；当技术进步发生时，与原来技术相对应的投入和产出向量在新技术下将更无效率。
以t时刻技术为参照，基于产出角度的Malmquist指数为：
以t+1时刻技术为参照，基于产出角度的malmquist指数为：
取两者的几何均值作为衡量t期到t+1期效率变化的Malmquist指数，如下：
用（xt，yt）和（xt+1，yt+1）分别表示时期t、t+1的投入产出向量，用Dt（xt，yt）表示以t+1时期技术为参照的时期t的投入产出向量的产出距离函数，用Dt（xt+1，yt+1）表示以t时期技术为参照的时期t+1的投入产出向量的产出距离函数。
Malmquist指数可以进一步拆分成技术效率指数和技术进步指数。技术效率指数衡量技术不变的情况下，生产效率的提升。技术进步指数则反映技术变化对生产影响刻画生产前沿面的移动情况。
数据来源
本文利用的数据是三大行业1995-2010年增加值、固定资本存量及就业的时间序列。固定资本存量的数据是需要估计的。文章采用Goldsmith提出的永续盘存法（PIM）来估计固定资本存量。用永续盘存法来计算固定资本存量就是用基年的固定资本存量减去折旧加上当年的固定资产投资。公式表示如下：
Kt=Kt-1（1-δ）+It
其中，K代表资本存量，I代表固定资产投资，δ代表折旧率，t代表时间。计算历年固定资本存量，需要确定三个方面的问题，首先是基期的固定资本存量，其次是历年的固定资产投资数据，最后是折旧率。对于基期的固定资本存量，我国从未对全社会固定资本存量进行过普查，一些估计我国固定资本存量的文献，都是基于一定的方法和假设，由于方法的不同，这些文献估计出的固定资本存量的数据也存在很大的差异。本文确定1995年的分行业固定资本存量的方法是利用1995年《投入产出表》中固定资产折旧的数据除以折旧来获得的，用此方法估计基期固定资本存量的还有葛新元等（2000）。《投入产出表》中的固定资产折旧是指一定时期内为弥补固定资产损耗按照规定的固定资产折旧率提取的固定资产折旧，或者按国民经济核算统一规定的折旧率虚拟计算的固定资产折旧。它反映了固定资产在当期生产中的转移价值。各类企业和企业化管理的事业单位的固定资产折旧是指实际计提的折旧费；不计提折旧的政府机关、非企业化管理的事业单位和居民住房的固定资产折旧是按照统一规定的折旧率和固定资产原价计算的虚拟折旧。原则上，固定资产折旧应按固定资产当期的重置价值计算，但是目前我国尚不具备对全社会固定资产进行重估计的基础，所以暂时只能采取上述办法。
对于历年分行业的固定资产投资数据，本文通过查找年鉴和其他资料，整理出1996年至2010年分行业的固定资产投资数据。对于折旧率，由于本文是年度数据，所以关于折旧率的选取，我们依照年折旧率=（1-预计净残值率）÷预计使用寿命（年）*100%的公式来估计折旧率，这里，取残值率为0，使用寿命为10年，得到折旧率为10%。
关于就业及增加值的数据，这里需要说明的是，采矿业的就业数据，《中国统计年鉴》公布了1995年至2002年采掘业的年末就业人员数据，但是采掘业包括采矿业和木材、竹材的开采业，木材、竹材的开采业的就业占采掘业总就业比重比较大，所以不能用采掘业的就业数据来代替采矿业的就业数据。《中国统计年鉴》公布了独立核算工业企业分行业增加值及全员劳动生产率，通过增加值比上全员劳动生产率计算出采矿业下各行业的就业人员数，发现明显大于采矿业的职工人数，所以本文选取独立核算工业企业的采矿业就业数据来作为采矿业的就业数据。
制造业的就业数据是加总我国除港澳台之外所有省、市、自治区制造业的就业人数来获得的，能较好地描述从1995年到2010年制造业劳动投入的变化情况。三大行业各个变量统计结果如表1所示。
数据处理及实证分析
运用索洛余值法研究TFP增长率时，需要在做回归之前，对原始数据进行处理。首先，要把各年度的名义值通过价格指数转化成以1995年为基期的实际值，即以1995年的价格水平来衡量的数值。其次，由于本文用到的增加值、就业、固定资本存量数据都是时间序列，带入模型中的数据是它们取对数后的形式，具有一定的趋势性，为了避免虚假回归，需要检验各个变量的平稳性，判断变量间是否存在协整关系，本文利用e-views中的ADF检验完成平稳性检验，检验结果表明，各个行业的变量存在协整关系，可以进行协整回归，不会造成虚假回归的后果。最后，在回归之前，需要检验各个行业是否是规模报酬不变的，如果接受规模报酬不变的假设，则回归的生产函数采用人均的形式；如果拒绝规模报酬不变的假设，则回归的生产函数不能采用人均的形式。
（一）生产函数及TFP增长率估计结果
如表2所示，回归结果表明，采矿业、电力、燃气及水的生产和供应业是规模报酬不变的行业，而制造业是规模报酬递减的行业。同时，三大工业行业技术进步率是时间的一次函数，及技术进步率是随时间变化的。
在生产函数形式及系数估计结果的基础上，运用索洛余值的方法，计算出分行业历年TFP变化率的情况：
从图1可以看出，采矿业和制造业的TFP水平呈现逐年上涨的趋势，但增长率总体看来呈现下降趋势，即增长的幅度越来越小。采矿业1996年的TFP比1995年增长约14%，但到2010年，这个值降到6%。制造业历年的TFP增长率水平一直处于采矿业之下，并且1996年的TFP比1995年增长约10.7%，但到2010年，这个值降到1.1%。而电力、燃气及水的生产和供应业的TFP增长率总体却呈现上升的趋势。即TFP水平总体是上升的，而且上升的幅度越来越大。从三大工业行业的比较来看，2004年以前，电力、燃气及水的生产和供应业的TFP增长率一直低于其他两个工业行业，而2005年开始，电力、燃气及水的生产和供应业的TFP增长率一直高于其他两个行业。而采矿业和制造业占工业的比重比较大，这两个行业TFP增长率的下降也意味着工业TFP增长率的下降。
工业TFP增长率的下降，说明在工业经济增长中，要素投入带来的增长部分越来越多，而技术进步等非要素投入的部分给工业经济带来的增长部分越来越小。然而要素投入不可能始终处于高增长状态，依靠要素投入带来的经济增长是不可持续的，所以回归结果说明，工业经济要维持一个正的增长率将面临很大的困难。如果不通过提高TFP增长率这个途径来实现增长，那么我国工业发展将遇到瓶颈。
（二）资本产出弹性估计结果分析
资本的产出弹性是指产出变化率对资本变化率的反应程度，如果资本的产出弹性为α，就表示当资本变化1%时，产出将变化α%，具体用公式表示为资本产出弹性α=（Yt/Kt）（Yt/Kt），其中Kt表示t时刻的固定资本存量，Yt表示t时刻的产出，t表示时间。当α+β>1时，生产函数为规模报酬递增的生产函数，即当生产要素同比例增加时，产出的增加比例大于生产要素的增加比例；当α+β
经过以上回归，本文估计出分行业的资本产出弹性，其中制造业的资本产出弹性是经过正则化处理的，如表3所示。
三大行业采矿业的资本产出弹性最小，为0.45，其经济意义为，当采矿业的资本存量增加1%时，产出增加0.45%；其次是制造业，为0.53，其经济意义为，当采矿业的资本存量增加1%时，产出增加0.53%；电力、燃气及水的生产和供应业的资本产出弹性在三个行业中最大，为0.55，其经济意义为，当采矿业的资本存量增加1%时，产出增加0.55%。
（三）技术进步贡献率的比较
技术进步贡献率是指科技进步对经济增长的贡献份额。对于技术进步贡献率的测算，一般采用生产函数法。这是目前国内外理论界广泛采用的一种方法。一般根据C-D生产函数得出技术进步速率的方程 ，其中Y/Y为产出的年平均增长速度，A/A为技术进步的年平均增长速度，K/K为资本的年平均增长速度，L/L为劳动年平均增长速度。α为资本的产出弹性，β为劳动的产出弹性。当规模报酬不变时，α+β=1。令E为技术进步的贡献率时，那么。
由表4可知，采矿业的技术进步贡献率在三大工业行业中最高，达到65%，即产出的增加部分65%都是技术进步贡献的，剩余的35%的产出增加部分是由要素投入带来的。而电力燃气及水的生产和供应业的技术进步贡献率仅为30%，即产出的增加部分只有30%是技术进步贡献的，剩余的70%的产出增加部分都是由要素投入带来的。
（四）索洛余值法与Malmquist指数法的回归结果比较
前文已经通过索洛余值方法估计出三大工业行业TFP增长率的变化情况。现在需要用数据包络分析方法的理念来估计三大工业行业TFP增长率的变化情况。Malmquist指数法不但能估计出TFP增长率的变化情况，而且还可以估计出TFP增长率的组成部分、技术进步与技术效率的变化情况，鉴于本文只在研究整体TFP的变化情况，所以技术进步与技术效率的结果不再予以说明。
利用参数法中的索洛余值和非参数法中的Malmquist指数法估计出的三大行业TFP增长率情况如图2所示。
回归结果发现，与参数法估计比较，非参数法估计的TFP增长率波动的幅度更大，但是，使用非参数法得到的工业分行业TFP变化情况与前文使用参数方法估计得到的TFP变化情况在趋势上基本是一致的。即采矿业和制造业的TFP呈现逐年上涨的趋势，但增长率总体看来呈现下降趋势，而电力、燃气及水的生产和供应业的TFP增长率总体呈现上升的趋势。
结论
本文分别利用参数法与非参数法估计出我国工业下的三大行业的全要素生产率增长率的情况。两种方法的估计结果在趋势上具有一致性，即我国工业中的采矿业、制造业的TFP增长率总体呈现逐年降低的趋势，同时电力、燃气及水的生产和供应业的TFP增长率总体呈现波动地上升趋势。然而，从历年的数据来看，采矿业与制造业的增加值占整个第二产业增加值的90%以上，而本文的回归结果表明，我国采矿业、制造业的TFP增长率从1996年到2010年总体呈现逐年降低的趋势。TFP增长率的持续降低，说明技术进步等除要素投入以外的因素给采矿业与制造业带来的增长越来越小。则有理由做出推测，今后采矿业与制造业的全要素生产率有可能出现负增长的情况，从而使得整个工业的TFP增长率出现负增长的情况。
要维持我国工业的增长率，一方面可以凭借要素投入的增加，另一方面可以凭借全要素生产率的增加。而单凭加大要素投入来拉动工业的增长是不可持续的，要保持工业的稳定增长，必须从加大全要素生产率的增长方面入手，大力发展技术创新，依靠技术进步与技术效率来提升经济增长的数量与质量。技术进步是促进经济社会发展的源动力，要坚持把科学技术放在优先发展的战略地位上来，把经济社会发展真正转移到依靠科技进步和提高劳动者素质的轨道上，坚定不移地依靠科技进步和创新来实现工业全面、协调和可持续的发展。
参考文献：
1.孙久文，年猛.中国服务业全要素生产率测度与空间差异分析[J].山西大学学报，2011，34（6）
2.何枫，陈荣，何林.我国资本存量的估计及其相关分析[J].经济学家，2003（5）
3.吴方卫.我国农业资本存量的估计[J].农业技术经济，1999（6）
4.葛新元，陈清华，袁强，方福康.中国经济6部门资本产出比分析[J].北京师范大学学报，2000，36（2）
