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自言自语打一字范文1
成语用法：
作主语、宾语；比喻居安忘危的人。
示例：
自言自语打一字范文2
《余命》根据日本畅销小说改编，松雪泰子饰演罹患乳癌却勇敢把小孩生下来的女医生，她表示开拍前曾请教医生朋友及患乳癌的女性朋友，揣摩角色。一场她和椎名桔平，带辛苦生下的小孩回故乡，等待生命结束的戏，松雪泰子哭到不行，导演喊卡还停不住，松雪泰子表示自己是母亲、有儿子，对那种和家人走完人生路的情境特别感动。
学着活在当下
谈起这部电影《余命》，松雪泰子坦承花了不少力气在揣摩女主角的心境，由于许多场戏没有台词，完全得靠着眼神表情将内心千头万绪的情感表达出来，更是不简单。尤其最后一场戏，当女主角知道自己快要死了，一方面很痛苦，另一方面又有种肉体虽然不存在，但新生命得以延续下来的解脱感，相互矛盾的心情，令松雪泰子格外印象深刻。
“这个角色让我再度省思到生命的可贵，并时时刻刻提醒自己，学着去活在当下。最重要的是，要先爱自己，才能将爱的能量传递给身边的人。”她说。虽然不知道死亡是怎么一回事，但她认为，生命里所经历的种种事物，不管是悲伤或快乐，都是最好的回忆与体验，因此，她并不害怕死亡。
不会把小孩当小孩
为了纾解压力，松雪泰子每天早上起床之后，都会试着让自己放空，让心情归零，并告诉自己，每天都是新的开始。“如此一来，当我回到片厂时，就能马上切换身分，专心投入工作。同样地，也不把工作的心情带回家。”她微笑地说。
自言自语打一字范文3
[关键词]完美主义；自尊；大学生；相关
完美主义(Perfectionism)是一种力求尽善尽美地完成任务，并伴随着批判性自我评估倾向的人格特质；AlfredAdler则认为，人的完美必须以社会兴趣为目的，否则将导致诸多心理问题和心理障碍；西方许多研究也证实完美主义与进食障碍、自杀倾向、社交焦虑、强迫症、人格障碍等都有相关。自尊(self-esteem)作为个体人格结构中自我概念的核心，是社会评价与个人自尊需要关系的重要反映，是个体评价自己的程度及对自己的价值感、重要感的体验。
1 对象与方法
1.1 对象 采用整群随机抽样的方法，选取曲阜师范大学、山东大学等3所高等院校的675名1～3年级大学生进行调查，最后得到有效问卷620份，男362名，女258名；平均年龄20.12岁。
1.2 工具 ①采用Frost等人所编制的完美主义量表(FMPS)，并进行小样本初测，信效度较好。该量表将完美主义心理分为6个特征，包括对错误的在意度、行为的迟疑度、个人标准、条理组织、父母期望度、父母责难度。本次调查对量表做了信效度检验，并且采用5点计分法，此次量表的克龙巴赫α系数为0.74。②自尊的测定采用Rosenberg自尊量表(SES)的中译本。同时，鉴于中西方文化的差异，并参考韩向前等对该量表的修订，将第8题改为正向记分；自尊总分为各项目得分之和，分值越高表明自尊水平越高。
1.3 统计方法 问卷的施测采取作者本人和委托人两种方式，人为心理系研究生和教师。所搜集全部数据由SPSS11.5统计软件包进行统计处理。
2 结果
2.1 大学生完美主义与自尊的相关 见表1。
表1表明，大学生的自尊与完美主义的担心错误、行为的迟疑、父母批评以及完美主义总分有着非常显著的正相关，而与条理性、个人标准则存在非常显著的负相关(P＜0.05，P＜0.01)。
2.2 完美主义与自尊的回归分析 见表2。
表2表明，大学生完美主义的担心错误、条理性、个人标准以及完美主义总分对其自尊都有非常显著的预测作用(P＜0.05，P＜0.01)，其解释的变异量依次为0.173、0.103、0.033、0.021，其联合解释的变异量达到33％，对自尊的预测非常显著(P＜0.01)。
3 讨论
本研究发现，大学生的自尊与完美主义的担心错误、行为的迟疑、父母批评因子以及完美主义总分有着非常显著的正相关，而与条理性、个人标准则存在非常显著的负相关(P＜0.05，P＜0.01)。这说明，自尊高的学生更加担心错误出现，更加害怕父母批评，因此，在日常的行为中也就更多地表现为犹豫不决，行为的迟疑度很高；大学生的自尊越低，其条理性和个人标准也越高，因此，一旦其不能或不能很好地达到自我定位的条理性和个人标准，其自尊就会很容易地受到伤害。研究显示，大学生完美主义的适应性维度与其自尊有着非常显著的相关，因此，如何在教育和研究中正确合理地处理好二者的关系，对于教方和受教方都有着十分重要的意义。
自言自语打一字范文4
【关键词】大学英语 四位一体 自主学习策略
一、英语“四位一体”教学法
英语“四位一体”教学法将英语学习的整个目的确定为四个阶段型的教学目标，即“四位一体”所指四个阶段，即四大要素：faculty（素质）、abilities（能力）、skills（技能）、knowledge（知识）。语言知识（knowledge）定位于它的底座上，第二个阶段作为教学目的就是skills，第三个阶段目标是是ability，最高层次就是faculty。语言素养、素质或语言才能，是语言学习的最高境界。“四位一体”是一个不可分割的整体。
二、英语“四位一体”教学法自主学习策略
学习策略（Learning strategies）是“语言学习者用以获取知识的技术或手段”。学习策略是“学生为了更有效地学习和使用外语而采取的各种行动和步骤”。所以，学习策略实际上是支持自己学习的一整套办法。笔者认为，自主学习策略（independence and self-learning strategies）是学生根据自己的情况合理安排和计划自己的学习，在学习中发挥自主意识和创新精神的一套适合学生学习情况的方法和手段。英语“四位一体”教学法自主学习基本策略是“自主学习复习纠错监控”，支持策略则由“情感态度自信心意识”组成，包含了自主学习策略的非智力因素及人文主义因素。该法的自主学习策略能够体现大学英语大纲的要求，以及英语素质教育的内涵。研究并充实自主学习策略的具体方法，丰富自主学习的技巧，对于提高英语学习的效率，具有非常重要的实践意义。
三、“四位一体”教学策略研究实验
1.实验课题的简况
笔者所在学院申请了国家基础教育实验中心外语教育研究中心“四位一体”教学策略研究实验课题。这一课题的理论指导是英语“四位一体”学生自主学习策略。为了便于数据处理与对比，选择大一、大二年级学生进行实验研究，以《新起点大学基础英语教程》为主要教材。实验采用“准实验设计(The Quasi-Experimental Design)”，类型为“不等控制组设计(The Non-equivalent Control Group)”，课题组根据教师的任课情况分配实验班与对比班，实验处理随机指派。课题实验组英语教师平均每人任大一或大二4个平行班的英语教学，根据课题分工，共选择20个班级进行实验处理，其中10个班级为实验组，平行的另10个班级为对照组。每班学生平均为45人，共计约900名学生参与实验。
2.实验内容
根据大学生的学习特点，为了培养学生的良好的英语学习习惯，抓好学生的“学能”形成与提高，以“英语‘四位一体’教学法自主学习策略”为指导，进行以下内容的分解研究：
语音编码能力(即根据字母、字母组合，正确拼读、拼写英语词语的能力)；
语法敏感度（即敏锐发现值得注意的语法特征的能力）；
归纳概括能力（一词多义、搭配、句型和常用语法项目的用法）；
记忆背诵能力（以关键词为路标，在认真记忆单词的基础上，采用联想等有效方法）；
句式识别能力（识别、归纳、活用句型的能力，包括语法句型和功能用语）；
造句能力（运用所学的语法、语用、词汇、句型知识表达意义）；
自我纠错的能力（能够利用英语基本知识与技能进行偏误分析）；
勤于动笔的能力（整理课堂笔记和读书笔记，写日记、感想和评论等）；
使用词典等工具书的能力与信息检索能力。
3.英语“四位一体”教学法课题实验结果分析
（1)建立了和谐的师生关系，培养了学生的主体参与意识
传统的大学英语教学在一定程度上存在着以教师、课堂、课本为中心的情况。课堂往往是教师“一言堂”，“师勤生逸”的不合理现象非常突出，学生的语言习得机制：输入——内化——输出，极不健全，本该充满生机和活力的语言实践课变成了抽象枯燥的“纯”语言知识的讲授课。英语“四位一体”教学法积极研究新的教学方法，改进教学方式，建立民主平等、情感交融、合作交流的师生关系，让学生积极主动地参与到课堂教学的全过程，发挥学生的主体作用，发展学生的主体精神和主体能力，促进学生的个性的全面健康发展。从实验情况看，英语“四位一体”自主学习策略可以教育学生可持续地发展，培养他们的自学能力和健全的人格。
（2)建构了以“学生为中心”的教学模式
素质教育呼唤着教学模式的改革。这不仅是形式上的改变，而是教学思想、教学观念、教学方法、教学步骤及教学内容的实质性改变。英语“四位一体”教学法努力实现了新课程标准要求：重新全面认识课堂教学活动，强调课程从学生的学习兴趣、生活经验和认知水平出发，倡导体验、实践、参与、合作与交流的学习方式和任务型的教学途径，发展学生的综合语言运用能力。
（3)促进了学生语言能力的形成
英语“四位一体”教学法自主学习策略牢固树立了“以学生发展是全人发展”的思想，一切教学活动的设计和开展都以学生的语言技能、语言知识、情感态度、学习策略和文化意识五大素养整体发展为出发点和落脚点。英语“四位一体”教学法倡导任务型教学模式，以学生的生活经验和兴趣为出发点，学生在教师的指导下，通过感知、体验、实践、参与和合作等方式实现任务的目标，感受成功，在学习过程中进行情感和策略调整，从而形成了积极的学习态度，促进语言实际运用能力的提高。
4.实验结论
英语“四位一体”教学法自主学习策略能够实现大学英语大纲的要求以及英语素质教育的内涵。自主学习策略的具体方法与丰富的自主学习技巧，对于提高英语学习的效率，具有非常重要的实践意义。该学习策略不但给学习者提供了一种自主学习的有效模式，而且给广大教师提供了向学生进行学法指导的有效途径。该学习策略既有宏观理论，也有微观操作上的方式和方法。它虽然是从中学外语教学实践中总结出来的，但它符合认知规律和语言学习规律，是一种系统的、科学的自主学习策略。
参考文献
[1]包天仁.英语“四位一体”教学法理论架构[DB/OL]. [e4in1.com/2006/articleview/2006-2-28/article_view_55.htm].
自言自语打一字范文5
关键词：易感；应激；大学生自杀；归因
中图分类号：G645 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2014）20-0102-02
自杀已经成为当今大学生死亡的主要原因，[1]预防大学生自杀已经成为一个全社会关注的焦点。“易感―应激”模型源于1962年Meehl提出的精神分裂症的素质应激相互作用理论，[2]该理论认为精神分裂症是病人本身的“素质性因素”与“环境应激因素”相互作用而引起的。但理论初始“素质性因素”只局限于基因等生理方面的因素，随着研究的深入，各种社会心理因素也被纳入了该范畴，于是研究者开始使用“易感”取代“素质”。有学者建议用“易感―应激”模型理解大学生自杀行为，[3，4]因为自杀行为的产生也是由多方面的因素引起，包括生物学、心理学、社会学等多种因素。
一、易感因素
1.人格
人格是自杀的基础性因素。人格的易感因素主要有下列几个：神经质、冲动性人格、完美主义等。高冲动个体遭遇挫折后，容易出现各种适应不良问题，由于对事件缺乏理性评价而使内心感到无比愤怒、敌意、沮丧和绝望，这些不良心理最终通过寻求朝向自我的攻击行为而解脱。神经质高分者常常焦虑、担忧、郁郁寡欢、忧心忡忡，遇到刺激有强烈的情绪反应，以致出现不够理智的行为。完美主义的人因为常常担心错误、害怕失败、求全责备以至于对自己和他人的要求过于苛刻，一旦出现错误便有强烈的反应，它与大学生的自杀意念关系密切。另外，怀疑型人格、A型人格[5]等也可能是自杀行为产生的人格易感性因素。
2.环境
家庭是自杀的环境“易感”因素之一。特殊家庭是其中的一种易感因素，例如单亲家庭，儿童长期被忽视、家庭经济较差，这些因素使人较容易产生消极的想法，严重者会产生自杀意念。而如果父母以一些不良的教育方式教育孩子（如父亲拒绝、否认，母亲严厉惩罚）、父母经常打骂孩子也会让让人产生焦虑、恐惧、压抑、抑郁等情绪。当父母亲不能察觉并及时发现和缓解这种情况时，这些负面情绪很容易进而发展成为自杀意念。绝大部分研究已经证明了社会支持的高低也与大学生的自杀意念有紧密的联系，[6]社会支持程度低意味着在遇到困难的时候得不到应有的资源以抵抗挫折，这样便会产生消极情绪，如果长期得不到支持，则消极情绪有可能演化成自杀意念。
3.认知应对
应对方式可以分成积极的应对方式和消极的应对方式，常有的积极应对方式有解决问题、求助、乐观等，而常有的消极应对方式有逃避、自责、灾难化等。大量研究证明了常用消极应对方式的人较容易产生自杀意念，是自杀行为的危险性因素。[1]与应对方式关系十分密切的还有一个人的应对效能，是指一个人对自己应对困难能力的一种评估，应对效能可以有效地缓冲压力性生活事件对大学生自杀意念的作用。[7]积极的应对方式是自杀意念产生的有效保护因素，例如遇到困难主动向亲友求助能减低应激性生活事件对个体产生的不利影响。
4.情绪
抑郁情绪或者抑郁状态常被认为是自杀意念产生的罪魁祸首。有抑郁症状的人兴趣减退甚至丧失，对自己的前途悲观失望，有无助感，感觉到精神疲惫，同时对自我的评价很低。这样的状态很容易产生活着没有意思的念头。焦虑也是大学生产生自杀意念的重要情绪易感因素。焦虑作为一种症状，是没有明确对象和具体观念内容的忐忑不安和提心吊胆。现代社会压力较大，大学生尽管大多在学校学习，但是已经无法避免这些压力的影响。很多学生反映对自己的学业、工作和未来十分担忧，这种担忧很容易让人产生无助感，从而产生一些轻生的念头。
二、应激因素
负性生活事件、压力性生活事情是自杀的应激因素。[4]常见的负性生活事件有人际关系矛盾、学习压力、情感问题、经常失眠、上下学感到不安全。有研究证明与同班同学有矛盾、钱物丢失或被盗是大学生产生自杀意念的危险因素，而与班级大多数同学能和睦相处是保护因素。值得注意的是应激因素一般都不直接作用于个体，而是通过一些中介性变量（如情绪、性格、自我概念和应对方式）和一些调节性的变量（如社会支持）间接影响个体。
三、预防
1.多角度解读大学生自杀
单纯从某个角度去理解大学生的自杀行为对理解大学生自杀并没有多大的价值。如单从生物学的角度去理解大学生的自杀行为，就很难解释清楚为什么一个身体十分健康的人会选择自杀以结束自己的生命。如单纯从心理学的角度出发，也很难解释清楚为什么很多抑郁症患者并没有选择结束自己的生命，而是在不断与自己的疾病做抗争。只有从多角度出发才能对大学生自杀给出一个较为完整的解释。
2.创造良好的环境
（1）创造和睦的家庭环境，注重对孩子的教养方式与方法。和睦的家庭关系能够让人产生安全感，如果孩子遇到困难与挫折时能够体会到家庭的温暖，能把家庭当做一个避风港，那么他们遇到困难与挫折的应激程度将会相应减低一些。家长同时应该积极学习，养成优良的教养子女的方式与方法。民主的、肯定的、温暖的教养方式能够创造出一个好的家庭环境。
（2）创造良好的学校环境，加强校园健康文化的建设。高校应充分利用广播、学报、校刊、网站等传媒，广泛宣传和开展心理素质教育活动，宣传普及心理健康知识，帮助学生优化个性心理品质，提高心理健康水平。学校应该创建良好的学习环境，在这种环境里面学生学习不再简单地被认为是一个枯燥、无趣、有压力的事情，而是让他们感觉到这是一件快乐、轻松、有成就感的事情。重视宿舍文化的建设，人际关系问题是大学生自杀问题的重要应激因素，而宿舍的人际关系问题又是人际关系问题的首要问题。要建立起一个团结、友爱、互助的宿舍氛围，这样可以有效减低应激性事件的发生率或应激性事件的破坏性。
（3）创造良好的媒体环境，适时监控媒体的报到。现在很多媒体不再过多考虑媒体报道的价值取向问题，它们报道新闻的目的很简单，仅仅是为了吸引大众的眼球，获得高的曝光率。自杀事件是一种特殊的事件，容易引起从众行为。如果媒体在报道自杀性事件时，不考虑潜在自杀群体的心理感受，很容易让这些潜在的自杀者成为下一个自杀的人。相关部门应该对该类报道加以监控，为公众还原一个真实的故事，还应该保持正确的价值取向。
3.进行必要的教育
（1）进行挫折教育。现在很多大学生在应对困难的时候效能十分低下，这可能是他们产生自卑、抑郁情绪的重要原因。这显然和一个人的个性有关，和一个人的认知习惯有关，也和一个人习惯性的应对方式有关。对大学生进行挫折教育要从认知和应对上着手，首先让他们认识到挫折的含义和积极的意义，然后教授大学生一些能够积极应对挫折的方法。由于大学生生活学习范围的相对封闭性，很多困难他们都没有经历过，如果这些挫折是一些破坏性特别大的事件，如失恋、重要考试失败、与人发生激烈冲突等等，很有可能让当事人突然感觉自己陷入毁灭性境地。因此平时遇到一些小的困难和挫折，应该及时帮助、引导大学生，让其能自己解决问题，培养解决问题的信心，增强应对困难的效能。
（2）进行生命教育。要培养大学生珍惜生命、热爱生命并积极探索生命的精神。很多大学生对生命不是报之以敬畏的心理，而是采取了漠视的姿态，因此生命在他们手中变得可有可无。需要教育大学生，让其真正体会生命的可贵。可多用传统思想教育大学生，如“孝道思想”。孝道教育中最基本的要求就是要爱护自己的身体，要珍爱自己的生命。《孝经》记载孔子所言“身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也”。吕氏春秋《孝行》中说“父母全而生之，子全而归之，不亏其身，不损其形，可谓孝矣”。每个生命都是父母亲赐予的，没有父母的赐予，就没有子女的一切，孝敬父母是孩子对父母的感恩。如果一个孩子的心中有孝，他就会爱护自己，他能认识到爱惜自己的生命其实不仅仅是一种对自己的责任，也是对父母乃至社会和人类的一种责任。
4.提高对大学生自杀预防的认识层次
社会各界对自杀行为的认识经历了三个阶段，第一阶段是危机干预阶段，即对发生了或者已经发生的自杀进行及时的补救，研究如何在危机关头让当事人免于死亡。显然，这样的做法常常滞后，真正能在危机发生的时候对当事人进行有效的干预以保证悲剧不发生是十分困难的，于是对于自杀的研究便进入了第二阶段，即预防阶段。预防如果做得好，那么危机干预便能够高效。很多研究都提出了十分系统、周密、操作性极强的自杀预防措施和体系，为大学生自杀的预防与危机干预提供了很有价值的东西。但不得不说这个阶段的预防主导思想仍旧不够完善，因为这阶段实是在寻找一些易感因素，然后对这些因素进行必要的监控与调节，以求达到预防自杀的效果。对于大学生自杀的防治应该上升到提高大学生生命价值的高度上，即第三阶段，应多寻找那些能够与自杀意念和自杀行为相抗衡的保护性因素，并且积极地去培养大学生这方面的因素，或者为大学生营造这样的因素。仅对易感因素进行预防是不够的，最主要的是培养大学生的保护因素，提高他们对生命价值的认知，提高他们的生命质量，那么预防的效率就大大提高了。
参考文献：
[1]褚成静，董树平，杨敏，等.大学生自伤行为家庭因素应对方式与自杀意念相关性分析[J].中国学校卫生，2012，33（1）：1254-1255.
[2]Meehl，Paul E. Schizotaxia，schizotypy，and schizophrenia[J].American Psychologist，1962，17（12）：827.
[3]宫火良，李思雨.基于易感―应激模型的青少年自杀意念研究述评[J].心理研究，2012，（1）：56-61.
[4]薛朝霞，梁九清.大学生生活事件冲动人格及应对方式对自杀意念的影响[J].中国学校卫生，2012，（9）：1071-1073.
[5]李艳兰.大学生自杀意念与A型人格及防御方式关系[J].中国公共卫生，2011，（9）：1075-1076.
自言自语打一字范文6
关键词：最值；凸函数；Holder不等式
具体题目如下：已知a，b为非负数， M=a4+b4，a+b=1，求M的最值.本文利用了均值不等式和构造法这两种方法证明了该题.
[?] 最大值
命题1 假设f（x）是定义在实数域[a，b]上的凸函数，实数x1，x2∈[a，b]，且满足x1+x2=C，其中2a≤C≤2b. 当且仅当（x1，x2）中至少有1个元素等于a或b，g2（x1，x2）=f（x1）+f（x2）达到最大值时.
证明：已知C∈[2a，2b]. 现证g2（x1，x2）≤f（a）+f（C-a），C≤a+b，
f（b）+f（C-b），C≥a+b. 若C≤a+b，则C-a≤b，因为x1，x2∈[a，C-a]，则存在参数0≤t≤1，使得x1=ta+（1-t）（C-a），x2=（1-t）a+t（C-a），由Jensen不等式，可得f（x1）≤tf（a）+（1-t）f（C-a）以及f（x2）≤（1-t）f（a）+tf（C-a），两式相加，可得f（x1）+f（x2）≤f（a）+f（C-a）. 当C≥a+b时，用类似的方法可以证明，证毕.
例1 已知a，b为非负数， M=a4+b4，a+b=1，求M的最大值.
证明：构造函数f（x）=x4，f ″（x）=12x2≥0，由题意，a，b∈[0，1]，且a+b=1，根据命题1，当f（a）+f（b）取到最大值时，a中b至少取到一个0或1，则M的最大值为1.
推论1 已知a，b为非负数，M=（a+l）k+（b+l）k，a+b=m，M的最大值为（m+l）k，其中（k∈Z+，m∈R+，l≥0）.
证明：构造函数f（x）=（x+l）k，f ″（x）=k（k-1）（x+l）k-2≥0，由题意，a，b∈[0，m]，且a+b=m，根据命题1，当f（a）+f（b）取到最大值时，a中b至少取到一个0或m，则M的最大值为lk+（m+l）k.
推论2 已知a，b为非负数，a1，a2为非负常数， M=a1ak+a2bk，a+b=m，M的最大值为max{a1，a2}・mk，其中（m∈R+，k∈Z+）.
证明：不妨设a1=max{a1，a2}，则M=a1ak+a2bk≤a1ak+a1bk，则根据推论1，可知M≤a1mk，当且仅当a=m，b=0时等号成立，证毕.
命题2 假设f（x）是定义在实数域[a，b]上的凸函数，实数x1，x2，…xn∈[a，b]，且满足xi=C，其中na≤C≤nb. 当且仅当x1，x2，…xn中至少有n-1个元素等于a或b，gn（x1，x2，…xn）=f（xi）达到最大值.
证明：由命题1可知，当n=2时成立，现用数学归纳法证明. 当n=k时，结论成立；则当n=k+1时，gk+1（x1，x2，…xk+1）=f（xi）=f（x1）+gk（x2，…xk+1）. 首先固定x1，当gk（x2，…xk+1）取到最大值时，其中至少有k-1个为a或b，不妨设x2，…xk均为a或b，那么gk（x2，x3，…xk+1）≤f（xk+1）+lf（a）+（k-1-l）f（b），其中0≤l≤k-1，则gk+1（x1，x2，…xn）=f（x1）+gk（x2，…xk+1）≤f（x1）+f（xk+1）+lf（a）+（k-l-1）f（b），其中xk+1=C-x1-la-（k-l-1）b. 再将x1视为自变量，应用命题1的结论，x1或xk+1中的有一个为a或b，则n=k+1时成立，所以对一切正整数n都成立，证毕.
例2 已知a，b，c∈[0，2]，且满足a+b+c=5，M=a4+b4+c4，求M的最大值.
证明：构造凸函数f（x）=x4. 不妨设a≤b≤c，根据命题2，可得当M取到最大值时，当且仅当a=b=0或b=c=2时成立，显然a=b=0不符合条件，所以max（M）=24+24+14=33.
推论3 设a1，a2，…，an∈[0，2a]（a>0），M=a+a+…+a，且a1+a2+…an=na，则max（M）=2na2， n为偶数，
2（n+1）a2， n为奇数 .
证明：构造凸函数f（x）=x2，根据命题2，可得，当且仅当有k0个数等于2a，n-1-k0个数等于0时，M可以达到最大值，由于a1，a2，…，an∈[0，2a]，所以na-2k0a≤2a，且2k0a≤na?≤k0≤，M=4k0a2+（na-2k0a）2. 若n为偶数，分析可得k0=时，max（M）=2na2；若n为奇数，分析可得k0=时，则max（M）=2（n+1）a2.
例3 设a1，a2，…，a1999∈[-2，2]，M=a+a+…a，且a1+a2+…a1999=0，求M的最大值.
证明：根据命题2，则至少有k0个2和（1999-k0-1）个-2时，M可达到最大值，根据题意，2k0+（1999-k0-1）（-2）≤2?2k0-1998≤1，可得k0=999，则最后一个数为0，所以max（M）=1998・22=7992.
由于例3中的区间[-2，2]中有负数，而f（x）=x2在这个区间上仍然属于凸函数，如果重新定义这个函数和它所属的区间，那么将会得到更加一般的结论.
推论4 设a1，a2，…，an∈[-a，a]（a>0），M=（a1+l）2k+（a2+l）2k+…（an+l）2k，且a1+a2+…an=0，则max（M）=n（a+l）2k， n为偶数，
（n-1）（a+l）2k， n为奇数，其中k∈Z+，l∈R+.
证明：当n为偶数时，max（M）=n（a+l）2k，当且仅当有a1，a2，…an中有个a和-a等号成立；当n为奇数时，根据命题2，则至少有k0个a和（n-k0-1）个-a时，M可达到最大值，根据题意， k0a+（n-k0-1）（-a）≤a?2k0+1-n≤1，可得k0=，，，n为奇数，只有k0=为整数，所以max（M）=（n-1）・（a+l）2k，证毕.
注意，其中k为偶数，才可以保证所构造的函数f（x）=（x+l）2k在[-a，a]为凸函数.
[?] 最小值
引理1 （Holder不等式）对于m个正数序列（a11，a12，…，a1n），（a21，a22，…，a2n），…，（am1，am2，…，amn），有
aij
≥
，当且仅当这m个序列对应成比例时等号成立.
特别的，当m=n=3时，有（a3+b3+c3）・（x3+y3+z3）（t3+u3+v3）≥（axt+byu+czv）3.
例4 已知a，b为非负数， M=a4+b4，a+b=1，求M的最小值.
证明：由Holder不等式，（a4+b4）（1+1）3≥（a+b）4=1，所以M≥，当且仅当a=b=时等号成立.
推论5 a1，a2，…，an为非负数，M=（a1+l）k+（a2+l）k+…（an+l）k，且a1+a2+…an=m，则M的最小值为，其中k∈Z+，l∈R+.
证明：由Holder不等式M・（1+1+…1）k-1≥（a1+a2+…+an+nl）k=（m+nl）k，所以M的最小值为，当且仅当a1=a2=…=an=时等号成立.
例5 已知a，b，c∈R+，++=1，M=a2+8b2+27c2，求M的最小值.
证明：由Holder不等式，（a2+8b2+27c2）・
++
≥（1+2+3）3=216，所以u=a2+8b2+27c2的最小值为216，当且仅当a=6，b=3，c=2时等号成立.
推论6 a1，a2，…，an∈R+，l1，l，…ln为非负常数，k∈Z+，++…+=m， M=l1a+la+…+lna，则M的最小值为.
证明：由Holder不等式M・
++…+