椭圆形面积公式范文1
1 对文章中椭圆方程的商榷
文章中关于圆的斜二测画法下直观图方程的求解方法是正确无误的.引文如下：
设圆上任意一点为P（cos θ，sin θ），其在x轴的射影为P0（cos θ，0），先将PP0变成原来的一半得P1P0，其中P1（cos θ，12sin θ），再将P1P0绕P0顺时针旋转45°得到P′P0，其中P′（cos θ+24sin θ，24sin θ），即平面直角坐标系xOy中圆上的任一点P（cos θ，sin θ）变成了x′O′y′中的点P′（cos θ+24sin θ，24sin θ），故圆在斜二测画法下的直观图的参数方程为
x′=cos θ+24sin θ
y′=24sin θ（θ为参数），
x′-y′=cos θ
22y′=sin θ，消去参数θ可得
（x′-y′）2+8y′2=1即，x′2-2x′y′+9y′2=1，换成习惯的表示为
x2-2xy+9y2=1.
此即圆在斜二测画法下的直观图的方程，其图形仍为椭圆，轨迹形状的判断要涉及到图像的平移、伸缩和旋转变化公式，此处对于方程（x′-y′）2+
8y′2=1令x′-y′=x″
y′=y″（平移与旋转），则轨迹方程变成x″2+8y″2=1.
从上面推理过程显然可知：半径为1圆心在原点的圆的斜二测画法下直观图的轨迹方程变为了x″2+8y″2=1，换成习惯式：x2+y218=1，此方程明确表示了是长半轴为1，短半轴为24的椭圆方程，同时文章中也表明了“圆的斜二测画法下，直观图的椭圆方程的长半轴长等于圆的半径长”的结论，果真是这样吗？
我们知道，方程x2-2xy+9y2=1可通过旋转公式消去交叉项（即含xy的项）得到椭圆轨迹的标准方程.正解如下：
由转轴公式x=x′cos θ-y′sin θ
y=x′sin θ+y′cos θ（θ为常数）
其中，θ由cot 2θ=A-CB确定
（注：A、B、C是由方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0形式确定的）.
因为A=1，B=-2，C=9，所以cot 2θ=4，从而求得
cos θ=12+21717，sin θ=12-21717，
所以转轴公式为：x=12+21717x′-12-21717y′
y=12-21717x′+12+21717y′，
代入原方程x2-2xy+9y2=1可得
（5-17）x′2+（5+17）y′2=1，
即x′25+178+y′25-178=1，换成习惯式：x25+178+y25-178=1.
由椭圆标准方程易得长半轴长a=10+2174，短半轴长b=10-2174，在“严格”的斜二测画法中，实践证明了“圆的斜二测画法中的直观图椭圆长半轴长确实比圆的半径长”的结论.因此，认为“圆的斜二测画法所得椭圆的长轴长等于圆的直径长”的结论是不正确的.
2 对文章中圆与椭圆面积的探讨.
首先探讨椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞o）的面积公式.根据椭圆的对称性和定积分的几何意义.
S椭圆=4∫a0aba2-x2dx
=4ba∫a0a2-x2dx=4ba（a22arcsinxa+
x2a2-x2）|a0=4ba×πa24=πab.
因此椭圆x25+178+y25-178=1即椭圆x2-2xy+9y2=1的面积为S椭圆=π×5+178×5-178=24π.
由于文章中给定的圆是单位圆，有S圆=π，所以S圆直=24S圆.
还有在平面图形的斜二测画法下的直观图，大多数教师只重视了多边形的斜二测画法并探寻总结出实物图与直观图面积关系：S直=24S实.而对于圆的斜二测画法下的直观图椭圆的面积情况没有进行探究.这不得不给学生留下疑问：圆是不是平面图形？能不能用斜二测画法得其直观图？实物图与直观图的面积关系还成立吗？尽管“立体几何中常用正等测画法画水平放置的圆”［1］但教材中也未说明此种方法.也许是降低学生学习的难度而只是提倡使用椭圆模板.既然教材中只出现斜二测画法，那进行刨根问底、追根究源也就不足为奇了.积极倡导并努力培养学生探究精神毕竟也是新课标的任务之一.
根据“在处理水平放置的圆的直观图时，先画出圆内接正n边形，当n非常大时，平滑连接各顶点，可以近似得到圆的直观图……，这巩固了斜二测画法”［2］，这说明了正n边形与圆的相互结合关系，同时也间接说明了在斜二测画法下圆的直观图椭圆的面积无限接近于正n边形直观图的面积.从而也证明了S圆直=S正n边形直=24S正n边形=24S圆.
综上所述，平面图形（实物图）与斜二测画法下的直观图的面积有关系式：S直=24S实.
3 对任意圆的斜二测画法的直观图仍是椭圆的论证
我们知道，对于圆的一般方程或标准方程都可以通过坐标的平移化为x2+y2=r2（r＞0）的特殊形式.在坐标平移下，圆的形状、大小并没有改变，只是位置发生了变化.为此研究圆x2+y2=r2（r＞0）在斜二测画法下的直观图，就具有研究任意圆直观图的普遍意义了.其推导思想方法如前所述.
设圆上任意一点为P（rcos θ，rsin θ），在斜二测画法下点P的坐标变成了P′（rcos θ+24rsin θ，24rsin θ）其参数方程为
x′=rcos θ+24rsin θ
y′=24rsin θ（θ为参数），消去参数θ可得
x′2-2x′y′+9y′2=r2，换成习惯的表示为
x2-2xy+9y2-r2=0 （*）.
与前“正解”方法一致，通过转轴公式
x=12+21717x′-12-21717y′
y=12-21717x′+12+21717y′
代入方程（*）得（5-17）x′2+（5+17）y′2-r2=0，
即x′25+178r2+y′25-178r2=1，换成习惯表达式：
x25+178r2+y25-178r2=1.
由此可知：圆x2+y2=r2（r＞0） 在斜二测画法下的直观图是长半轴长a=10+2174r，短半轴长b=10-2174r 的椭圆，离心率e=517-172，面积关系有：S圆直=S椭=24S圆.
综上分析，圆在斜二测画法下的直观图是椭圆，但圆的直径长并不等于椭圆的长轴长.同时也提醒我们，类比的思想固然重要，但遇到新问题，必须通过严密的科学论证来明辨曲直是非，不断提高师生的理性思考能力，避免伪结论的发生或应用.
中心语：怀疑结论是提出问题的基础；严密论证才能诠释理论的真谛.
参考文献
［1］ 刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学 ②［M］.课程教材研究所.中学数学课程教材研究开发中心编著.北京：人民教育出版社.2007年2月第3版第17页.
椭圆形面积公式范文2
摘要：本文在引入与椭圆相关的准圆概念后，对椭圆的矩形进行了系统研究，找出了一般椭圆的外接矩形与椭圆及相应的准圆的关系，并得出椭圆具有唯一外接正方形的结论．
关键词：椭圆；准圆；外接矩形；外接正方形
椭圆外切矩形的面积最大值和最小值各是多少？外切正方形是否存在，如果存在又有几个？本文将彻底解决这些问题，并给出关于外切正方形的一个非常令人惊奇的结果． 因为过程较长，请允许我们从一些简单的引理开始，逐步展示．
引理1 自椭圆外一点P向椭圆+=1（a＞b＞0）所作的两条切线互相垂直的充要条件是点P在圆x2+y2=a2+b2上．
[x][y][P（X，Y）][M][N][O]
=1，消去y并整理（化简整理的过程略）得
化简整理得
（X2-a2）k2-2XYk+（Y2-b2）=0，
因为两条切线PM与PN互相垂直，所以k1k2=-1，即=-1.
化简即得X2+Y2=a2+b2.
又如果切线的斜率不存在，则切点只能是在椭圆长轴或短轴的端点，易知此时P的坐标仍然满足上述圆的方程．
反之，如果点P在圆x2+y2=a2+b2上，也易证得自P向圆所作的两条切线是互相垂直的． 其证明只是上述过程的反推，此处不再占用篇幅．
以下将多次用到圆x2+y2=a2+b2，为方便起见，我们称这个圆为椭圆+=1的准圆． 此名称来自于科克肖特的名著．
推论1.1 以准圆上任意一点为顶点作该椭圆的外切矩形，有且仅有一个．
推论1．2 任意的椭圆，它的外切矩形有无数多个．
引理2 若椭圆+=1（a＞b＞0）的外切矩形相邻两边的切点分别是M（x1，y1）和N（x2，y2），则+=0．
证明点M，N处的切线方程分别是+=1和+=1，这两条直线的方向向量分别为m=
，因为这两条切线是矩形的邻边，所以m・n=0，即+=0． 证毕．
如果利用椭圆的参数方程，把M，N的坐标换为参数式，则可得
推论2.1 若椭圆+=1的外切矩形邻边的切点是M（acosθ1， bsinθ1）和N（acosθ2，bsinθ2），且M，N不是椭圆长轴或短轴的端点，则tanθ1tanθ2=-．
推论2．2 除了切点在椭圆顶点的外切矩形以外，外切矩形对边的切点所在的两条直径不是共轭直径．
证明若椭圆+=1的外切矩形邻边的切点是M（x1，y1）和N（x2，y2），根据引理2知+=0，如果M，N不是椭圆的顶点， =-， 即kOMkON=-≠-，从而M，N所在的直径不是共轭直径．
若切点是椭圆的顶点，则它们所在的直径就是它的长轴和短轴，当然是共轭直径． 证毕．
定理1 椭圆+=1的外切矩形的最大面积是2（a2+b2），最小面积是4ab．
证明设外切矩形邻边的切点分别是M（acosθ1，bsinθ1）和N(acosθ2，bsinθ2），则两边所在直线（即椭圆的切线）方程为+=1及+=1.
根据点到直线的距离公式，可求得矩形中心O到矩形两边的距离d1，d2为
di==（i=1，2）.
记该矩形的面积为S，则
（其中把tanθ1tanθ2=-代入）=4b
令t=2b2+a2（tan2θ1+tan2θ2）代入得
S=4b①
又因为t=2b2+a2（tan2θ1+tan2θ2）≥2b2+2a2|tanθ1tanθ2|=2b2+2a2-
=2b2+2b2=4b2.
其中等号成立的充要条件是tanθ1=tanθ2=．
将t≥4b2代入①式即得S≤4b・=2（a2+b2）.
再由t＞0，a4+b4-2a2b2=（a2-b2）2＞0知S＞4b=4ab，而且当相邻两边的切点是椭圆顶点比如M（a，0），N（0，b）时，S=4ab．
综上即知，椭圆+=1的外切矩形的最大面积是2（a2+b2），最小面积是4ab． 证毕．
最后，下面的结果是优美的也是令人惊奇的.
定理2 椭圆的外切正方形有且只有一个，而且在所有的外切矩形中，正方形的面积最大．
证明由定理1的证明过程可知，外切矩形为正方形的充要条件是d1=d2，即
=，
即=，
即b2cos2θ1+a2sin2θ1=b2cos2θ2+a2sin2θ2，
即b2（1-sin2θ1）+a2sin2θ1=b2（1-sin2θ2）+a2sin2θ2，
即b2+（a2-b2）sin2θ1=b2+（a2-b2）sin2θ2.
从而sin2θ1=sin2θ2． 这与上面的S取得最大值的条件tanθ1=tanθ2完全一致，从而知正方形的面积最大．
至于外切正方形有几个，我们可以通过求切点，把它求出来．
首先，设M（acosθ1，bsinθ1）是第一象限的切点，则由tanθ1=可求得
其次，在第二三四象限的切点，也可以仿照上面的做法求出来，并显然可知它们都关于坐标轴或者原点对称，这样即知外切正方形有且仅有一个．证毕．
把这些切点的坐标代入可以求出各条切线的方程，立刻可得下面的推论.
推论3 椭圆+=1的外切正方形的各边所在直线的斜率等于1或-1．
[x][y][M][O][N]
图2
推论4 椭圆+=1的外切正方形的顶点都在坐标轴上．
椭圆形面积公式范文3
函数在解析几何中的应用多年来一直是高考命题的热点，通常以最值和相关量的取值范围问题为主要题型，如面积、弦长的最值问题，面积比、弦长比的取值范围问题等在近几年的高考试题中频频亮相.
■
解决这类问题的基本方法是构造目标函数，但在此之前，必须先确定某个量（参数）作为函数的自变量，并求其范围. 函数的自变量可以在设点的坐标、直线的方程过程中获得，通常将点的坐标（横或纵）、直线的斜率或截距等确定为函数的自变量.
■
■ 如图1，已知椭圆C：■+y2=1.
（1）点A，B是椭圆C上的两点，且AB=■，求AOB面积的最大值；
（2）点A，B是椭圆C上的两点，且AB=L，求当AOB的面积取到上述最大值时弦长L的取值范围.
■
图1
破解思路 圆锥曲线中，求三角形面积的通法是：先用弦长公式求三角形的底边长AB，然后用点到直线的距离公式求得顶点到底边上的高d，代入S=■AB・d，构造面积函数.
经典答案 （1）先考虑直线AB斜率不存在的情况. 设AB的方程为x=x0，A（x0，y0），则AB=2y■=■，即y■=■. 又■+y■■=1，所以SAOB=■x02y■=y■■=■.
当AB与x轴不垂直时，设其方程为y=kx+m，代入椭圆方程并消去y得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0. 由弦长公式得AB=■・■=■. 即m=■.
又原点到直线AB的距离d=■，故SAOB=■・■・■=■■. 令t=1+k2≥1，所以SAOB=■■=■■. 易知■∈（0，1]，所以此时SAOB≤■（当t=2时取到等号）. 又■
（2）由题得SAOB=■・L・■=■ ①，又由（1）可知L=AB=■■②. 将②代入①得■=1，令p=1+3k2，则由上式得m2=■，代入②即可得L=■=■・■. 易知p∈[1，+∞），且L是关于p的减函数，所以L∈（■，■].
■ 如图2，已知椭圆C1：■+■=1，抛物线C2：y2=4x，过椭圆C1右顶点的直线l交抛物线C2于A，B两点，射线OA，OB分别交椭圆于D，E两点，点O为原点.
■
图2
（1）求证：点O在以DE为直径的圆的内部；
（2）记ODE，OAB的面积分别为S1，S2，问是否存在直线l，使S2=3S1，若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
破解思路 （1）欲证点O在以DE为直径的圆的内部，只要证明∠DOE为钝角，即证■・■
（2）将■表示成目标函数，求其值域，若值域范围内有3，则直线l存在，否则便不存在.
经典答案 （1）设l：x=my+2（m∈R），设点A，B，D，E的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），E（x4，y4），联立直线l与抛物线C2的方程并消去x得y2-4my-8=0. 由判别式Δ=16m2+32>0对任意m∈R恒成立，故y■+y■=4m，y■y■=-8. 所以■・■=x1x2+y■y■=■・■+y1y2=■+y■y■=-4
（2）设∠AOB=∠DOE=α，则■=■=■. 设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，由弦长公式可得OA=■y■，OD=■y■，OB=■・y■，OE=■y■，所以■=■，即■■=■ ①.
又由O，D，A三点共线得■=■，且x1=■，x■■=41-■，所以y■■=■，同理y■■=■，代入①得■■=■，再由韦达定理代入并整理得■■=■≥■，即■≥■>3，所以不存在直线l使S2=3S1.
■
如图3，若已知椭圆C过定点M-1，■，两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），过点M作倾斜角互补的两条直线MA，MB分别交椭圆于A，B.
（1）求证：直线AB的斜率为定值.
（2）求MAB的面积S的最大值.
椭圆形面积公式范文4
例1 已知椭圆C： + =1（a>b>0）的焦距为4，且过点P（ ， ）.
（Ⅰ）求椭圆C的方程.
（Ⅱ）设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上的一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E，取点A（0，2 ），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D，点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG.问：这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？请说明理由.
难度系数 0.26
分析 解答第（Ⅰ）题时，我们可以根据题意确定半焦距c的大小，再将P（ ， ）代入方程建立方程组，从而确定椭圆的方程.解答第（Ⅱ）题时，我们可以根据ADAE确定出点D的坐标，从而得到直线QG的方程，并对其进行化简.根据点Q在椭圆上，将点Q的坐标代入方程，得到关于x的二次方程，解出方程的根，则可判断直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点.
解 （Ⅰ）由于焦距为4，所以a2-b2= 4.又椭圆经过点P（ ， ），所以有 + =1.
联立上述两个等式，可得a2=8，b2=4.
故椭圆C的方程是 + =1.
（Ⅱ）根据题意可知，点E的坐标为（x0，0）.设点D的坐标为（xD，0），则有 =（x0，-2 ）， =（xD，-2 ）.
由ADAE，可知 ・ = 0，即x0xD +8=0.由于x0xD≠0，所以xD =- .
由于点G是点D关于y轴的对称点，所以点G的坐标为（ ，0）.所以直线QG的斜率kQG= = .
又点Q（x0，y0）在椭圆上，所以x20+2y20=8，从而有kQG =- .故直线QG的方程为y=- （x- ）.将其代入椭圆C的方程有（x20+2y20）x2-16x0x+64-16y20=0，整理得x2-2x0x+x20=0.解得x=x0，y=y0，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.
二、探索平面图形的形状问题
例2 已知A，B，C是椭圆W： +y2=1上的三个点，O是坐标原点.
（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.
（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.
难度系数 0.68
分析 解答第（Ⅰ）题时，我们可以利用椭圆的对称性，结合图形首先求出点A的坐标，然后利用 |OB|・|AC|来求解.解答第（Ⅱ）题时，我们可以设出直线AC的方程，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理求出AC的中点坐标，进而求得直线OB的斜率，然后判断kOB・kAC =-1是否成立.
解 （Ⅰ）根据题意可知，椭圆W： + y2=1的右顶点B的坐标为（2，0）.
由于四边形OABC为菱形，所以AC与OB互相垂直且平分.
设点A的坐标为（1，m），将其代入椭圆的方程，得 +m2=1，解得m=± .
所以，菱形OABC的面积为 |OB|・|AC|= ×2×2|m|= .
（Ⅱ）假设四边形OABC为菱形.
由于点B不是W的顶点，且直线AC不经过原点，所以可设直线AC的方程为y=kx+m，k≠0，m≠0.
由y=kx+m， + y2=1，消去y并整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0.
设点A的坐标为（x1，y1），点C的坐标为（x2，y2），则 =- ， =k・ +m= ，所以AC的中点M的坐标为（- ， ）.
由于M为AC与OB的交点，所以直线OB的斜率为- .
由于k×（- ）≠-1，所以AC与OB不垂直.所以四边形OABC不是菱形，这与假设矛盾.
所以，当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.
三、探索平面几何图形的面积问题
例3 如图1，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m>n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记λ= ，BDM和ABN的面积分别为S1和S2.
（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值.
（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？说明理由.
难度系数 0.38
分析 解答第（Ⅰ）题时，首先利用两个椭圆的长轴与短轴分别表示出|BD|和|AB|，然后求出S1和S2，进而利用关系S1=λS2建立方程，可求得λ的值.解答第（Ⅱ）题时，首先设出直线l的方程，然后利用面积关系得到|BD|和|AB|的关系，进而建立A，B两个点的横坐标与λ的关系，再用点差法可得到A，B两点的横坐标的关系，最后通过建立关于λ的不等式，进而判断直线的存在与否.
解 依题意可得椭圆C1和C2的方程分别为C1： + =1，C2： + =1，a>m>n>0，λ= >1.
（Ⅰ）如图2，若直线l与y轴重合，则|BD|=|OB|+|OD|=m+n，|AB|=|OA|-|OB|=m-n，S1= |BD|・|OM|= a・ |BD|，S2= |AB|・|ON|= ・a・|AB|.所以 = = = .
若 =λ，则 =λ，化简得λ2-2λ-1=0.由λ>1，解得λ= +1.
故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则λ= +1.
（Ⅱ）如图3，假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2.根据对称性，不妨设直线l：y=kx（k>0），点M（-a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2.由于d1= = ，d2= = ，所以d1= d2.
又S1= |BD|・d1，S2= |AB|・d2，所以 = =λ.
由于 = = =λ，所以 = .
由点A（xA，kxA），B（xB，kxB）分别在C1，C2上，可得 + =1， + =1.上述两式对应相减，得 + =0.
依题意xA>xB>0，所以x2A>x2B.所以由上式解得k2= .
由于k2>0，所以由 >0，解得1< +1.
所以，当1 +1时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2.
四、探索直线与圆锥曲线中几何量之间的关系
例4 如图4，椭圆C： + =1（a>b>0）经过点P（1， ），离心率e= ，直线l的方程为x=4.
（Ⅰ）求椭圆C的方程.
（Ⅱ）AB是经过右焦点F的任意一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
难度系数 0.55
分析 解答第（Ⅰ）题可利用椭圆过已知点P和离心率的大小，得到a，b，c的关系，从而求得椭圆C的方程.解答第（Ⅱ）题可设出点B（x0，y0）（x0≠1），然后利用此点的坐标，结合直线与椭圆的相关知识表示直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，进而判断出它们的关系k1+k2 =λk3是否可能成立.
解 （Ⅰ）由点P（1， ）在椭圆上，可得
+ =1. ①
依题意可知a =2c，则b2=3c2. ②
将②代入①，解得c2=1，a2= 4，b2=3.故椭圆C的方程为 + =1.
（Ⅱ）设点B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为y = （x-1）.
令x= 4，求得点M的坐标为（4， ），从而直线PM的斜率k3= .
椭圆形面积公式范文5
【关键词】类比思想;数学;圆;椭圆;类比教学
数学思想一直是中学数学教学的魁宝，是数学教学三重境界的最高境界。从新课程实施更多的自主学习、积极建构的理念来说，数学思想成为指导学生进一步前进的阶梯.笔者认为，数学思想有不同的种类区分，对于学生而言比较重要的思想如数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等在初中后期教学阶段已经开始积极渗透，这些对于学生解决数学问题有着较为重要的作用，可以称之为知识型思想方法。
另一方面来说，数学思想方法还有下面这些，如特殊与一般、具体与抽象、转化与化归、类比等等，这些思想方法明显比上述知识型的思想方法来得更为高端。为什么这么说？笔者以为，知识型的思想方法固然重要，但其依旧只解决了就题论题的层面，无法给予学生更多的学习能力上的提高，而特殊与一般、具体与抽象、转化与化归、类比等等思想方法却在更高的层面引领学生进行思维的开发，比如：从特殊到一般的思想可以帮助学生认识抽象问题的具体解决，可以采用先尝试特殊进而总结归纳一般的探索之路;类比思想可以用来将未知范畴内的问题通过已经所掌握知识比较解决，这是一种思想、意识形态上的提高.因此，本文将从类比思想的视角去审视教学的一些探索，以圆与椭圆的类比进行尝试，与大家交流。
1.圆和椭圆类比伸缩的认识
众所周知椭圆 + =1（a>b>0）可以看作是圆x2+y2=a2在纵向均匀压缩为原来的 倍，横向不变得到的――这就是“纵向伸缩变换”。（本文研究的椭圆均为焦点在x轴，焦点在y轴的类似）记：已知圆上点P（x，y）变换成P′（x′，y′），纵向变换为f：x=x′y= y′，显然这是一个一一映射（可逆的），且由于P，P′横坐标相等，因此PP′连线必垂直x轴。同理：有横向伸缩变换。
2.圆和椭圆类比伸缩的性质
性质1：f将直线变换为直线，且变换后直线斜率为原来直线斜率的 倍。
简证：设原直线斜为y=kx+m，经过变换后直线为 y′=kx′+m，即斜率k′= k。
说明：由此可知，变换前后两直线平行性保持不变。
性质2：f将分线段AB为定比λ的点P变换成分线段A′B′为同一分比的点P′。
说明：由定比分点公式可知证明易，不赘述.此性质说明变换前后同一直线上的点分线段所成的比是不会改变的。
性质3：一个面积为的三角形经变换后的三角形面积S′= S。
简证：设A1A2A3三个顶点坐标分别为Ai（xi，yi），则xi=xi′，yi=yi′（i=1，2，3），所以：
S′= x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1= ・ x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1= S。
说明：此性质可以推广到多边形的面积，即变换前后两个多边形面积之比为 = 。
3.圆和椭圆类比伸缩的运用
例1：已知椭圆 + =1（a>b>0），A，B分别为椭圆左右顶点，P为椭圆上任意异于A，B的点.求证：KAP・KBP是定值。
图1
证明：把纵坐标变换为原来的 倍，则椭圆变成半径为a的圆，如图1，已知圆中KAP・KBP=-1，由性质1得：kAP・kBP= KAP・ KBP=- 。（本性质可以再椭圆中进行证明，但是运算量比通过伸缩变换证明稍显复杂一些。）
例2：已知椭圆 + =1（a>b>0），P为椭圆上任意异于椭圆顶点的点，过P作倾斜角互补的两直线PA，PB交椭圆于A，B两点，求证：只要P点给定，则kAB为定值。
证明：把纵坐标变换为原来的 倍，则椭圆变成半径为a的圆，如图2，经过同样的伸缩变换，圆中
图2
两直线斜率KPA+KPB=0，在圆中作P关于x轴对称点D（恰在圆O上），则∠APD=∠BPD，故 = ，连接AB，OD，易知ODAB，显然KAB=- ，只要P点给定，即可知KAB为定值，由性质1，椭圆中kAB= KAB为定值。
注： 高三复习卷中时常出现为定点，求kAB为定值的试题，笔者将试题改编为只要P点坐标可知的任意点，均可求证kAB为定值.可以想象，任意的点P代数计算较繁琐，利用椭圆和圆的伸缩变换达到了简化计算的效果。
例3：点P（x0，y0）在椭圆 + =1（a>b>0）上，x0=acosβ，y0=bsinβ（0<β< ），直线l2与直线l1： + =1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ。
求证：点是椭圆 + =1与直线l1的唯一交点。（安徽高考数学09年理科20）
分析：问题的实质就是证明直线l1是椭圆在点P的切线方程。由过圆x2+y2=a2上一点（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=a2，可知利用伸缩变换得到直线l1： + =1即为过点P的椭圆切线。
证明：把纵坐标变换为原来的 倍，则椭圆变成半径为a的圆，则过圆上点Q（X0，Y0）（Q为P的一一对应点）的切线方程为：X0x+Y0y=a2，又伸缩变换f：X=xY= y，代入得x0x+ y0 y=a2，整理得： + =1即为直线l1的方程.因此，l1就是椭圆在点P的切线方程。证毕。
例4 求椭圆 + =1（a>b>0）内接n边形面积的最大值.
解析：把纵坐标变换为原来的 倍，则椭圆变成半径为a的圆，如图3，可知在圆中：
图3
记∠AiOAi+1=θ（1≤i≤n-1），∠AnOA1=θn，且 θi=2π，S=SA A …A = a2（ sinθi）…（*），因为f（θ）=sinθ在（0，π）上为凸函数，由琴声不等式（*）≤ a2（n・sin ）= a2・sin （当且仅当θ1=θ2=…θn= 等号成立），由性质3，椭圆中内接n边形面积S′= ・S≤ ・sin ，即为椭圆中内接n边形面积最大值。
4.类比教学探索的思考
上述运用类比性质进行的圆和椭圆问题的探索，是笔者教学中一些数学问题积累的总结。通过研究，笔者发现椭圆是圆的更为一般化的形态和情形。用一个形象的比喻来说，对于圆的研究是最基本、最为对称的图形深入思考，犹如三角函数中最基本的函数模型，那么类比研究经过伸缩变换的三角函数模型恰如椭圆般的图形，这种变换关系存在于数学知识的很多知识之中。
本文所阐述的是圆和椭圆的类比伸缩教学研究，其实从更高的角度而言，笔者思考了一个问题：从圆锥曲线第二定义的角度来说，椭圆、双曲线、抛物线本质是一个统一体，只不过是其到定点的距离与到定直线距离比值不同的曲线形态，那么圆既然可以类比到椭圆，那么圆应该也可以突破更高的限制（诸如曲线不需要封闭之类特性），类比得到相对应的双曲线、抛物线中去，得到相应的数学性质和更高的研究突破能力，值得有兴趣的教师做进一步的思考。
通过类比教学研究，笔者也有几点不成熟的思考与大家交流：
（1）上述几个例题，有少数来自学生的提出和探索，笔者觉得学生对于感兴趣的数学问题研究兴趣和热情远远在教师之上。教师的作用更在于进行良好的引导，给予这样的学生更宽松的学习环境，既提高了学生学习的兴趣，也有助于学生研究问题能力的提高。
（2）意识类的思想方法教学要更注重在教学中的渗透，尤其是特殊与一般、类比思想、转化与化归思想等等。这些思想看似无形， 却每时每刻出现在学生待解决的数学问题中，通过引导学生利用学过的指数类比解决未知范畴内的知识，这正是努力培养学生自主探索和积极建构的有效途径，而且从一定程度上对于教师的专业化水平提高有较为明显的帮助。
【参考文献】
[1]杨结东.深化分析培养能力[J].数学通报，2010.9
[2]张琴竽.活用伸缩变换巧解椭圆问题[J].中国数学教育（高中版），2009.10
椭圆形面积公式范文6
关键词：椭圆曲线密码体制；对称密码体制；非对称密码体制
中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2013）34-7776-06
密码学可以认为是数学的一个分支，它是密码编码学和密码分析学的总称。通常主要用于保护通信双方实施安全的信息传递，且不被非授权的第三方知道。密码学的发展经历了三个阶段：手工加密技术、经典加密技术、现代计算机加密技术[1]。当前的密码技术和理论都是基于以算法复杂性理论为特征的现代密码学。
Shannon在1949年发表的“The Communication Theory of Secrecy System”奠定了密码学的理论基础，并使之成为一门独立的科学。1976年，Diffie & Hellman发表的“New Direction of The Cryptography”首次提出了公钥密码学的基本思想，开创了公钥密码学的新纪元[2]。
当前通用的密码体制一般基于以下三类数学难题：
1） 基于大整数因子分解。1978年，麻省理工学院Rivest、Shamir、Adlman三位学者首次发表的RSA公钥密码体制就是基于此的一种公钥密码体系，简称RSA算法。
2） 基于有限域上离散对数。最著名的有ElGamal、DSA数字签名算法。
3） 基于椭圆曲线离散对数。基于椭圆曲线有限加法群上的椭圆曲线离散对数问题的求解困难性，同其他公钥密码体制相比较，在相同安全强度下，椭圆曲线密码系统具有密钥短、占用空间和带宽小、处理速度快等优势。基于椭圆曲线建立的密码体制还有两大优点：一是可用于构造有限点群的椭圆曲线数量多；二是计算椭圆曲线有限点群的离散对数亚指数算法不存在，解密算法难度很大，安全性高。
1 公钥密码算法相关研究
由于对称密码算法在密钥管理、分发和数字签名方面的缺陷，1976年W. Diffie和 M. Hellman提出了一种巧妙的密钥交换协议，称为Diffie-Hellman密钥交换协议/算法[8]，比如Alice和Bob希望通过公共通信网协商一个会话密钥，只需要以下操作过程：
这种算法是安全的，对于窃听者Charlie，他只能得到ga mod p或者gb mod p，如果他想构造出gab mod p，这便属于一个离散对数问题，我们知道目前这还是一个数学难题。
在公钥密码系统中，每位计算机网络的通信者都应该拥有两个密钥，其中一个是对外保密的“私钥”，另一个是对网络上所有人公开的“公钥”。私钥和公钥都可以对信息加密，但私钥加密的信息须用对应的公钥解开，公钥加密则须用对应的私钥解开。使用公钥密码系统，网络上的双方无需事先传递密钥就能进行保密通信[11]。
首个公钥密码系统由形Rivest、Shamir和Adleman在1978年提出来，简称为RSA公钥密码[9]，RSA的安全性是基于大整数因子分解难题。目前，国内外大多数使用公钥密码进行加密、解密和数字签名/验证的产品都是基于RSA密码体系。RSA密码体系的安全性完全依赖于大整数因子分解问题，随着解决因子分解方法的进步及完善、计算机运算速度的不断提高和计算机网络的发展， RSA密码的安全性受到了前所未有的挑战，人们必须选择更大的整数，以增加破解的难度。目前，安全的RSA密码需要的大整数都在1024位以上的二进制长度，造成了RSA密码实现的代价变得越来越难以任受， 导致了RSA应用的效率越来越低，成为RSA应用的主要瓶颈。
第二个著名的公钥密码是EGamal密码[10]，它的安全性依赖于离散对数问题。假设G为一个有限乘法循环群， g为G的生成元，x为任意的整数，如果已知g及gx，如何求解x的问题在数学上称为离散对数问题。在当前环境下，当群G选择适当，且整数x充分大时，求解是非常困难的，现己知最快的求解数域上离散对数的方法是亚指数级时间复杂度。
第三个著名的公钥密码是基于有限域上椭圆曲线加法群的离散对数问题，它是华盛顿大学的Neal Koblitz[4]和在IBM工作的Victor Miller[5]各自独立地提出来的，这使得研究了150多年的椭圆曲线在密码领域中得以发挥重要作用。椭圆曲线密码体制（Elliptic Curves Cryptography ， ECC）的数学基础是椭圆曲线上的点构成的Abel加法群中离散对数的计算困难性。可以证明基于有限域上ECDLP的困难性要高于一般乘法群上的离散对数问题的困难性，而且椭圆曲线域的运算位数远小于传统离散对数，且很容易使用软件或硬件在计算机上进行实现。同时，利用ECC实现速度非常快，在同等安全强度下，ECC所需的计算量、存储量、带宽、开销都较小，且加密和签名的速度高。因此，ECC特别适用于计算能力、带宽和集成空间受限的地方，比如Smart卡。由于ECC具有其他公钥密码体制无法替代的优点，ECC从提出就得了到广泛关注，而且被认为是下一代最通用的公钥密码系统。
2 椭圆曲线基本理论
2.1椭圆曲线定义
椭圆曲线是一门古老且内容丰富的数学分支，1985年，Victor Miller和Neal Koblitz各自独立地提出椭圆曲线公钥密码学，它的基本思想仍然是基于有限域乘法群的公钥密码体制，用有限域上椭圆曲线构成的群来类比有限域的乘法群，从而获得类似的公钥密码体制。ECC的安全性是基于椭圆曲线离散对数问题的难解性，经证明它目前还没有亚指数攻击方法，所以，ECC具有一些其它公钥密码体制无法比拟的优点。
椭圆曲线并非我们通常意义上的椭圆，这样命名的原因是因为对椭圆曲线的研究来源于椭圆周长计算问题，以及所描述的椭圆积分等问题，这里[E（x）]是[x]的三次或四次多项式。
2.2椭圆曲线上点的加法规则
以上加法规则在复数、实数、有理数和有限域[GF（p）]上均有效。值得指出的是，对于有限域[GF（p）]的情形，上述加法规则得到的应是[modp]的结果。对于有限域[GF（2m）]，由于所用椭圆曲线形式发生变化，因此上述加法规则应做相应修改，这方面可参考相关资料。
2.3 椭圆曲线分类
3 椭圆曲线在密码学中的应用
3.1椭圆曲线密码体制的建立[7]
首先选取一个基域[Fq]，它可以是一个素域，也可以是一个特征为2的域[F2m]（[m]为素数）。其次在[Fq]上选取一条椭圆曲线[E]，并使其群阶为一个大素数[N]，或者是一个大素数与一个小整数的乘积。然后选取[E]上的一个阶为大素数的[n]的点[P]。有限域[Fq]、曲线[E]、点[P]和其阶[N]均为公开的信息。
3.2 椭圆曲线密钥对的生成
每一个参与者需要完成下述过程：
3.3 椭圆曲线加密方案
现在假设Alice要向Bob发送信息，则Alice加密过程如下：
3.4 椭圆曲线签名方案（ECDSA）
我们给出基于椭圆曲线的数字签名方案，称为ECDSA。
ECDSA签名生成：设Alice 要对信息M签名后，传送给Bob，则Alice要完成以下步骤：
3.5椭圆曲线密钥生成协议（ECKEP）
这里给出一个基于椭圆曲线的密钥协议：
由于ECC的安全性和优势非常明显，再加上许多标著名组织在椭圆曲线密码算法标准化方面做了大量工作，在1998年ECC被确定为ISO/IEC数字签名标准，1999年椭圆曲线数字签名算法被ANSI确定为数字签名标准。
3.6 椭圆曲线密码体制分析
同以往的公钥密码体制相比较，椭圆曲线密码体制有以下三个方面的优点[2]。
1） 安全性高
目前，针对有限域上的离散对数问题攻击的最快算法是指数积分法，其运算复杂度为：
而攻击椭圆曲线上的离散对数问题的常用算法为大步小步算法，它的复杂度为：
2） 密码长度更小
对以上两种攻击密码算法的复杂度进行比较，可知在同等安全性能下，椭圆曲线密码体制算法需要的密钥长度远小于有限域上离散对数问题的公钥密码长度，因此，椭圆曲线密码体制更适合于存储空间有限、带宽小、运算速度高的环境中。
3） 算法灵活性更好
通常情况下，如果有限域[GF（p）]确定，那么其上的循环群也就确定了，但有限域上的椭圆曲线却可以通过改变曲线参数而进行随机变化，相应地生成不同的循环群，从而导致椭圆曲线有着丰富的结构和多种选择，与RSA/DSA相比较，在安全性同等的条件下，椭圆曲线密钥长度更小，灵活性也高。
4 结论
自公钥密码体系被提出来，都是以某一含有“陷门”的数学难题作为其安全性基础的，各种椭圆曲线公钥密码体系的安全性都与相应的椭圆曲线离散对数问题的求解困难性等价。如果离散对数可以计算，那么从一个用户的公钥就可以推导出相应的私钥，这样系统就不安全了。目前，有许多针对椭圆曲线离散对数的攻击算法，主要有以下几类：针对一般离散对数问题的攻击算法，比如大步小步算法和Pollard-p算法；针对特殊椭圆曲线的攻击算法，如针对超奇异型椭圆曲线的MOV类演化算法，还有针对畸异型椭圆曲线的SSAS多项式时间算法等。
从以上分析可知，只要选取的椭圆曲线能抵抗上述几种常见的攻击算法，即选取一条安全的椭圆曲线，那么椭圆曲线密码的安全性是可以保证的，但如何才能选取一条安全的椭圆曲线，这是一个深刻的数学难题，有待于相关领域的深入研究。总之，我们在给椭圆曲线选择参数时应该谨慎，为避免安全隐患，所选择的椭圆曲线上的离散对数问题必须能够抵抗上述的所有攻击。
参考文献：
[1] 郭海民，白永祥. 数论在密码学中的应用[J].电脑知识与技术，2010（6）.
[2] William Stallings.Cryptography and Network Security –Principles and Practice， Fifth Edition[M].Publish House of Electronics Industry， 2011.
[3] 胡向东，魏琴芳，等.应用密码学[M]. 2版.北京：电子工业出版社，2011.
[4] Victor S.Miller. Elliptic curves and their use in cryptography[J]. Mathematics of Computation， 1997（61）：1-15.
[5] Neal Koblitz. Elliptic curves cryptosystems. Mathematics of Computation， 1987（177） ：203-209.
[6] Miller. Use of elliptic curve in cryptography. In advances in cryptology-CRYPTO’85（Santa Barbara Calif.），Spring-Verlag，1985：417-412.
[7] 张方国.超椭圆曲线密码体制的研究[D].西安：电子科技大学，2001.
[8] 吴世忠，祝世雄.应用密码学[M].北京：机械工业出版社，2000.
[9] W.Diffie and M.Hellman. New directions in cryptography[J]. IEEE Trans. Inf. Thy. 1976，22：644-654.
[10] Rivest， Shamir，Adleman. A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems[J]. Comm Assoc. Computer Math，1978（21）：120-126.