椭圆形面积范文1
椭圆无论在天体上，还是在地球上的物体上，都是建立在斜平面上。在天体中，地球运行的椭圆轨道，是建立在过地心并与地轴垂直的平面（赤道平面）夹角为23°26′的斜平面（黄道平面）上。而在地球上的物体圆柱上，斜切面椭圆，是建立在过圆柱轴心并与圆柱轴垂直的平面（横切平面）夹角为某个角度的斜切平面是椭圆平面。根据上述，我们发明创造了以一个点为圆心能画各种椭圆形的椭圆规。下方椭圆（规照片）。本椭圆规已授予中华人民共和国知识产权局颁发了专利证书.所以椭圆规的发明，在工业应用上，天文学的行星运行上，物理学，数学和教育学等都有着重大的作用和历史意义。用椭圆规就可以根据赤道平面与黄道平面的夹角23°26′画出地球运行轨道的相似椭圆。
下面论述新创椭圆公式内容：
一、椭圆的类型和形状
1.标准椭圆，取一根标准的圆柱体，并在圆柱的圆心轴上O点横切圆柱是标准正圆，再过O点斜切圆柱这个斜切面就是标准椭圆。
2.基础椭圆，当在标准圆柱上过圆心轴的O点横切圆柱，横切面则是正圆。又过圆柱的圆心轴上的O点斜切圆柱这个斜切面就是标准椭圆。设：斜切面椭圆与横切面正圆经O点的交角为α 。当α=0时，斜切面就变成了横切面，椭圆也就变成了正圆。所以我们把圆柱的横切面正圆命名为基础椭圆（简称为基础圆）。
3.椭圆心，因为椭圆和正圆都是以圆柱的圆心轴上的O点为圆心，斜切和横切圆柱的。所以椭圆和正圆都只有一个圆心。
4.椭圆的形状，在标准圆柱上过圆心轴上的O点横切面正圆与斜切椭圆的交角α越大，椭圆的形状也就越长。α角越小，椭圆形状也就越短（越接近正圆）。当α=0时，斜切面重叠横切面，椭圆的形状就是正圆（基础椭圆）。（下图：圆柱体横切与斜切图）
二、画标准椭圆的方法
1.用以一个点为圆心的椭圆规画标准椭圆。（这种椭圆规是我们发明创造的，目前没有上市。因为目前高中数学、物理学里学的椭圆，没有椭圆的长半径公式、短半径公式和任意半径公式，也没有椭圆周率和椭圆周长公式，椭圆面积公式。）未来在教学方面椭圆规是非常有用的。
2.用标准椭圆模型画椭圆，如果你要画的椭圆的长半径是A，短半径是R形状的椭圆。你可以先用椭圆的长、短半径公式，计算出圆柱的横切面与斜切面的交角α，再以α角斜切以R为半径的圆柱，这个圆柱的斜切面就是你要画标准椭圆的模型。
3.标准椭圆的点式画法，如果你要画很大的椭圆，又找不到那么粗的圆柱做模型。你可以根据你要画椭圆的长半径和短半径，先计算出圆柱的斜切面与横切面的交角α。再用椭圆的任意半径公式，计算出由短半径开始某一角度的斜半径点上点。就这样把所有的斜半径都点上点，这些点就连成了标准椭圆。故称标准椭圆的点式画法。
三、太阳系定律
由以上论述得知，在太阳系内，所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆。太阳处在所有椭圆的中心点上（太阳系第一定律）。
四、椭圆的长半径公式和短半径公式
任何椭圆都是圆柱体的斜切面，它们的形状是过圆柱轴心上O点的横切面正圆与过O点的斜切面椭圆交角α的大小所决定的。斜切面椭圆的短半径就是圆柱半径。下面设：斜切面椭圆的长半径为A，短半径为R（也是横切面正圆半径R），斜切面椭圆与横切面正圆的交角是α。椭圆长半径A与正圆半径R的交角α所对的边为h。RhA三边又构成直角三角形。所以，根据三角函数：sinα=对边/斜边，cosα=邻边/斜边。
所以，椭圆长半径公式：A=R/cosα。
又因为正圆所有的半径都是R。
所以，椭圆的短半径公式：R=A·cosα
五、椭圆的任意半径公式
由椭圆的长半径公式和短半径公式得知，椭圆的长半径为A，短半径为R，圆柱的斜切面椭圆与横切面正圆的交角为α 。因为斜切面椭圆与横切面正圆相交处，即是正圆半径R点，也是椭圆的短半径R点。然后在正圆平面上过圆心O点做半径R的垂直半径。那么R半径与垂直半径的圆弧是0度—90度。设n为0度—90度的任意一个度数。椭圆的任意半径为L。经详细推论得出：
椭圆的任意半径公式：L=R/cos{（α/90）·n}
六、椭圆周率
我们经过多年的刻苦研究和推算，在我们画出的两垂一斜线坐标系中，经过多次的测量和推算，终于准确无误的推算出了椭圆周率是0.57079632675 。我们将椭圆周率的代号命名为尢（you）。
那么，椭圆周率：尢=0.57079632675。
七、椭圆的周长公式
设：椭圆的长半径为A，短半径为R，短直径为D，椭圆周长为C，过圆柱轴心上O点的横切面正圆与过O点的斜切面椭圆的交角为α，我们已经命名椭圆周率为尢（you）。
尢=0.57079632675。
那么，椭圆的周长公式：C=4（A+R尢）==4A（1+尢·cosα）=4R（1/cosα+尢）=2D（1/cosα+尢）。
八、椭圆周长公式也是正圆周长公式
前辈数学家早已推论出了正圆周长公式，是圆的直径乘以圆周率就等于正圆的周长。公式是C=dπ=2Rπ，π=3.14。
下面我们看看在什么情况下椭圆的周长公式能变成正圆周长公式。当椭圆公式中α=0时，椭圆的形状就是正圆（基础椭圆）。因为正圆所有的半径都相等，所以，A=R。我们把α=0，A=R代入所有的椭圆周长公式。得出的就是正圆周长公式：c=4（R+尢R）=4R（1+尢）=2D（1+尢）。
我们在把椭圆周率保留两位小数，尢=0.57代入正圆周长公式得：C=2R×3.14=D×3.14=D·π=2Rπ。
我们把推论的正圆周长公式续在前辈数学家的圆周长公式的后边。
圆周长公式就是：C=Dπ=2Rπ=4R（1+尢）=2D（1+尢）。
九、椭圆面积公式
若用圆周率π=3.1415926 ，计算椭圆的面积。椭圆的形状越长计算出椭圆面积的误差也就越大。所以用圆周率只能计算正圆（基础椭圆）的面积。不能计算所有椭圆的面积。因此，必须用椭圆周率才能计算所有椭圆的面积。
设：椭圆长半径为A，短半径为R，短直径为D，椭圆面积为S。过圆柱轴心上O点的横切面正圆与过O点的斜切面椭圆的交角为α。
已知：椭圆周率 尢=0.57079632675
椭圆面积公式：S=2（AR+AR尢）=2AR（1+尢）=2R2/cosα（1+尢）=2A2×cosα（1+尢）。当α=0，A=R时，椭圆面积公式就变成正圆面积公式S=2R2（1+尢）=1/2D2（1+尢）=πR2=1/4πD2
十、全等椭圆
1.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的长半径相等，它们的基础椭圆平面与椭圆平面交角α也相等，那么，这两个椭圆就是全等椭圆。
2.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的短半径相等，它们的基础椭圆平面与椭圆平面交角α也相等，那么，这两个椭圆也是全等椭圆。
3.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的周长相等，它们的椭圆平面与基础椭圆平面的交角α也相等，那么，这两个椭圆也是全等椭圆。
4.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的长半径相等，而且，它们的短半径也相等，那么，这两个椭圆就是全等椭圆。
5.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的长半径相等，而且，它们的周长也相等，那么，这两个椭圆就是全等椭圆。
6.如果一个椭圆与另一个椭圆它们的短半径相等，而且，它们的周长也相等，那么，这两个椭圆也是全等椭圆。
椭圆形面积范文2
1 对文章中椭圆方程的商榷
文章中关于圆的斜二测画法下直观图方程的求解方法是正确无误的.引文如下：
设圆上任意一点为P（cos θ，sin θ），其在x轴的射影为P0（cos θ，0），先将PP0变成原来的一半得P1P0，其中P1（cos θ，12sin θ），再将P1P0绕P0顺时针旋转45°得到P′P0，其中P′（cos θ+24sin θ，24sin θ），即平面直角坐标系xOy中圆上的任一点P（cos θ，sin θ）变成了x′O′y′中的点P′（cos θ+24sin θ，24sin θ），故圆在斜二测画法下的直观图的参数方程为
x′=cos θ+24sin θ
y′=24sin θ（θ为参数），
x′-y′=cos θ
22y′=sin θ，消去参数θ可得
（x′-y′）2+8y′2=1即，x′2-2x′y′+9y′2=1，换成习惯的表示为
x2-2xy+9y2=1.
此即圆在斜二测画法下的直观图的方程，其图形仍为椭圆，轨迹形状的判断要涉及到图像的平移、伸缩和旋转变化公式，此处对于方程（x′-y′）2+
8y′2=1令x′-y′=x″
y′=y″（平移与旋转），则轨迹方程变成x″2+8y″2=1.
从上面推理过程显然可知：半径为1圆心在原点的圆的斜二测画法下直观图的轨迹方程变为了x″2+8y″2=1，换成习惯式：x2+y218=1，此方程明确表示了是长半轴为1，短半轴为24的椭圆方程，同时文章中也表明了“圆的斜二测画法下，直观图的椭圆方程的长半轴长等于圆的半径长”的结论，果真是这样吗？
我们知道，方程x2-2xy+9y2=1可通过旋转公式消去交叉项（即含xy的项）得到椭圆轨迹的标准方程.正解如下：
由转轴公式x=x′cos θ-y′sin θ
y=x′sin θ+y′cos θ（θ为常数）
其中，θ由cot 2θ=A-CB确定
（注：A、B、C是由方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0形式确定的）.
因为A=1，B=-2，C=9，所以cot 2θ=4，从而求得
cos θ=12+21717，sin θ=12-21717，
所以转轴公式为：x=12+21717x′-12-21717y′
y=12-21717x′+12+21717y′，
代入原方程x2-2xy+9y2=1可得
（5-17）x′2+（5+17）y′2=1，
即x′25+178+y′25-178=1，换成习惯式：x25+178+y25-178=1.
由椭圆标准方程易得长半轴长a=10+2174，短半轴长b=10-2174，在“严格”的斜二测画法中，实践证明了“圆的斜二测画法中的直观图椭圆长半轴长确实比圆的半径长”的结论.因此，认为“圆的斜二测画法所得椭圆的长轴长等于圆的直径长”的结论是不正确的.
2 对文章中圆与椭圆面积的探讨.
首先探讨椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞o）的面积公式.根据椭圆的对称性和定积分的几何意义.
S椭圆=4∫a0aba2-x2dx
=4ba∫a0a2-x2dx=4ba（a22arcsinxa+
x2a2-x2）|a0=4ba×πa24=πab.
因此椭圆x25+178+y25-178=1即椭圆x2-2xy+9y2=1的面积为S椭圆=π×5+178×5-178=24π.
由于文章中给定的圆是单位圆，有S圆=π，所以S圆直=24S圆.
还有在平面图形的斜二测画法下的直观图，大多数教师只重视了多边形的斜二测画法并探寻总结出实物图与直观图面积关系：S直=24S实.而对于圆的斜二测画法下的直观图椭圆的面积情况没有进行探究.这不得不给学生留下疑问：圆是不是平面图形？能不能用斜二测画法得其直观图？实物图与直观图的面积关系还成立吗？尽管“立体几何中常用正等测画法画水平放置的圆”［1］但教材中也未说明此种方法.也许是降低学生学习的难度而只是提倡使用椭圆模板.既然教材中只出现斜二测画法，那进行刨根问底、追根究源也就不足为奇了.积极倡导并努力培养学生探究精神毕竟也是新课标的任务之一.
根据“在处理水平放置的圆的直观图时，先画出圆内接正n边形，当n非常大时，平滑连接各顶点，可以近似得到圆的直观图……，这巩固了斜二测画法”［2］，这说明了正n边形与圆的相互结合关系，同时也间接说明了在斜二测画法下圆的直观图椭圆的面积无限接近于正n边形直观图的面积.从而也证明了S圆直=S正n边形直=24S正n边形=24S圆.
综上所述，平面图形（实物图）与斜二测画法下的直观图的面积有关系式：S直=24S实.
3 对任意圆的斜二测画法的直观图仍是椭圆的论证
我们知道，对于圆的一般方程或标准方程都可以通过坐标的平移化为x2+y2=r2（r＞0）的特殊形式.在坐标平移下，圆的形状、大小并没有改变，只是位置发生了变化.为此研究圆x2+y2=r2（r＞0）在斜二测画法下的直观图，就具有研究任意圆直观图的普遍意义了.其推导思想方法如前所述.
设圆上任意一点为P（rcos θ，rsin θ），在斜二测画法下点P的坐标变成了P′（rcos θ+24rsin θ，24rsin θ）其参数方程为
x′=rcos θ+24rsin θ
y′=24rsin θ（θ为参数），消去参数θ可得
x′2-2x′y′+9y′2=r2，换成习惯的表示为
x2-2xy+9y2-r2=0 （*）.
与前“正解”方法一致，通过转轴公式
x=12+21717x′-12-21717y′
y=12-21717x′+12+21717y′
代入方程（*）得（5-17）x′2+（5+17）y′2-r2=0，
即x′25+178r2+y′25-178r2=1，换成习惯表达式：
x25+178r2+y25-178r2=1.
由此可知：圆x2+y2=r2（r＞0） 在斜二测画法下的直观图是长半轴长a=10+2174r，短半轴长b=10-2174r 的椭圆，离心率e=517-172，面积关系有：S圆直=S椭=24S圆.
综上分析，圆在斜二测画法下的直观图是椭圆，但圆的直径长并不等于椭圆的长轴长.同时也提醒我们，类比的思想固然重要，但遇到新问题，必须通过严密的科学论证来明辨曲直是非，不断提高师生的理性思考能力，避免伪结论的发生或应用.
中心语：怀疑结论是提出问题的基础；严密论证才能诠释理论的真谛.
参考文献
［1］ 刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学 ②［M］.课程教材研究所.中学数学课程教材研究开发中心编著.北京：人民教育出版社.2007年2月第3版第17页.
椭圆形面积范文3
利用空间统计方法研究社会经济、自然等要素的地理空间分布已引起国内外学者的关注[15~17]。标准差椭圆（Standarddeviationalellipse,SDE）是空间统计方法中能够精确地揭示经济空间分布多方面特征的方法[18,19]，最早由Lefever在1926年提出，用于揭示地理要素的空间分布特征[20~24]，已在社会学、人口学、犯罪学、地质学、生态学等领域得到广泛应用[25~29]。SDE方法通过以中心、长轴、短轴、方位角为基本参数的空间分布椭圆（见图1a所示）定量描述研究对象的空间分布整体特征。具体来说，空间分布椭圆以地理要素空间分布的平均中心为中心，分别计算其在X方向和Y方向上的标准差，以此定义包含要素分布的椭圆的轴。使用该椭圆可以查看要素的分布是否被拉长，由此而具有特定方向。SDE方法基于研究对象的空间区位和空间结构，可从全局的、空间的角度定量解释地理要素空间分布的中心性、展布性、方向性、空间形态等特征。椭圆空间分布范围表示地理要素空间分布的主体区域，其中，中心表示地理要素在二维空间上分布的相对位置，方位角反映其分布的主趋势方向（即正北方向顺时针旋转到椭圆长轴的角度），长轴表征地理要素在主趋势方向上的离散程度。SDE主要参数的计算公式如下：式中，(xi,yi)表示研究对象的空间区位，wi表示权重，(----Xw,-Yw)表示加权平均中心；θ为椭圆方位角，表示正北方向顺时针旋转到椭圆长轴所形成的夹角，~xi、~yi分别表示各研究对象区位到平均中心的坐标偏差；σx、σy分别表示沿x轴和y轴的标准差。对不同椭圆的大小、方位等基本参数进行比较，可以提供不同空间分布之间的差异信息，而且空间分异系数可以定量刻画不同分布之间的空间分异程度（图1b）。例如，空间分布B相对于A的空间分异系数IB/A可通过以下具体表达式定量描述：IB/A=空间差异部分B的面积空间分布B的面积(5)本文研究所涉及的空间计算主要基于Arc-GIS10.0展开，空间参考为等面积的Albers投影坐标系统（中央经线为105°E，标准纬线分别为25°N、47°N）。
2基于特征椭圆的中国经济空间分异
倘若不考虑任何自然要素及社会经济要素的作用，社会经济、人口等在国土空间的分布应该是均衡、随机的，因而国土空间均衡分布是经济空间分异的起点。而实际上，在“第一自然”代表的自然禀赋差异的影响下，区域发展的起点并不平衡，同时，由于“第二自然”带来的区域发展内在核心动力——聚集机制的空间差异，区域发展的过程也呈现不平衡的特征，这“两个自然”的作用共同导致了经济空间的分异。本研究采用SDE方法分别定量刻画出国土均衡分布以及表征“第一自然”和“第二自然”分异作用的相关特征分布，继而以国土均衡分布为基础参照，分别以国土空间“第一自然”和“第二自然”相关特征分布为依据，在空间上定量刻画、分析中国的经济空间分异。2.1国土均衡分布椭圆国土作为国家的地理标志，具有特殊而复杂的几何特征，其国土尺度和形态对一个国家经济、人口、政治等的空间组织具有十分重要的影响。学术界早就认识到国土的空间几何特征，使用重心、标准距离方法等统计方法来确定这些特征[30~33]，但目前还未有学者应用SDE方法同时从从中心性、展布范围、方向趋势等多个角度精细地定量刻画中国国土空间的几何特征。本文研究以105°E为中央经线，对中国连续大陆空间（不包括海南、台湾等岛屿）进行30′×30′经纬度剖分，在国家几何轮廓内共确定了3048个剖分点来表征中国连续国土空间，继而以这些点的空间区位为基础，运用SDE方法在等权重的条件下（即将所有点的权重均设定为1或其他相同的值）计算得到完全均衡状态下的中国国土空间分布椭圆。中国国界空间数据来源于国家基础地理信息系统。计算得到的中国国土均衡分布椭圆见图2，其中，中心在甘肃省兰州市（103.30°E，36.64°N），长半轴为1684.35km，短半轴为1161.88km，方位角为86.26°。从空间范围来看，国土均衡分布椭圆覆盖528.34×104km2的大陆国土面积，约占全国土面积的55%。该特征椭圆可为研究中国空间分异提供基本参照，从而反映经济、人口等空间分布的不均衡性、集中性。2.2国土地形分布椭圆Krugman所说的“第一自然”力量主要是指海拔、地形、水资源等决定空间经济演变起点的自然禀赋要素，在长期尺度下具有不变性，可以促进或限制经济的发展。在自然要素中，地形因素是人地相互作用的空间结构基础，其对人类社会经济活动具有控制和分异作用[34,35]。本文研究以地形因素为主要因素，通过中国连续国土空间地形分布椭圆刻画“第一自然”要素对区域经济空间发展起点的分异作用。研究主要针对上述3048个经纬度剖分点展开，借助ArcGIS的空间分析功能，基于数字高程模型数据（DEM,1:400万）提取出每个剖分点的高程信息。继而通过加权标准差椭圆方法计算连续国土空间地形分布椭圆——即基于3048个剖分点的空间区位信息，将每个点要素的高程信息作为权重计算得到国土地形分布椭圆。通过计算，中国国土空间地形分布椭圆中心在青海省玉树藏族自治州（94.64°E，35.16°N），长半轴1327.89km，短半轴870.11km，方位角为89.22（°图3）。总的来说，国土地形分布椭圆覆盖358.40×104km2的大陆国土面积，约占全国土面积的37%。相对于国土空间均衡分布，地形分布椭圆中心分布明显偏西，长、短轴均显著小于国土均衡分布椭圆，这直接反映出中国地势的西高东低。图3中国国土空间地形分布椭圆Fig.3ThespecificellipseoftopographydistributioninChina2.3中国人口分布椭圆Krugman将人类活动形成的交通条件、人口与资本聚集区位称为“第二自然”。经济活动最突出的空间特征是聚集，其产生的前提条件是经济活动的空间集中。如果需求和生产要素的空间分布完全均匀，所有的商品生产都将是当地性的，这时将没有空间分异[36]。人是社会经济活动的基础，人的分布是人用脚在给自然、社会经济条件等投票，因而本文以人口分布为主要因素反映“第二自然”要素的分异作用，主要针对2010年中国第六次人口普查分县数据（不含港、澳、台地区）开展研究。通过加权标准差椭圆方法计算人口分布椭圆，中国人口空间分布椭圆见图4，其中，椭圆中心在河南省南阳市（113.62°E，32.63°N），长半轴为1092.86km，短半轴为822.18km，方位角为28.83°。人口分布总体表现为“东北-西南”的空间分布格局，空间分布主体在长江中下游平原和黄河中下游平原地区，其覆盖252.97×104km2的大陆国土面积，约占全国土面积的26%。胡焕庸线是适宜人类生存地区的界线，而且具有稳定性[37,38]，其东南方约40%国土面积上居住着90%以上的人口，以平原、水网、丘陵、喀斯特和丹霞地貌为主，线西方人口密度极低，主要是草原、沙漠和雪域高原。从图4中可看出，中国人口分布轴线（长轴）与胡焕庸线近似平行，且其绝大部分分布在胡焕庸线的东南方。图4中国国土空间人口分布椭圆Fig.4ThespecificellipseofpopulationdistributioninChina3
3结果分析与讨论
总的来说，中国国土空间均衡分布和地形分布总体表现为“东-西”空间格局，人口分布总体表现为“东北-西南”的空间分布格局（图4）。相对于国土均衡分布椭圆，中国人口空间分布靠近东部地区，其椭圆长、短轴长度均显著减小，充分表现出了经济活动的空间分异特征和空间聚集特征。如国土空间均衡分布的椭圆长、短轴分别为人口分布椭圆长轴、短轴的1.54、1.41倍（表1）。地形要素对人口分布及社会经济活动的控制和分异作用显著，其中，相对于地形分布椭圆，人口分布椭圆的空间分异系数为89.55%（即，与地形分布的空间重叠部分仅占人口分布椭圆面积的10.45%）。除了地形因素之外，水资源、气候等因素也对人类活动具有重要的影响，胡焕庸线是通过人口表现出的自然，其与气象上的降水线、地貌区域分割线等均存在某种程度的重合，如，与作为中国半湿润区和半干旱区分界线的400mm等降水量线基本重合。结合胡焕庸线进一步分析“第一自然”要素的分异作用，经计算，人口特征椭圆的93%位于胡焕庸线的东南方。在中国经济主体区域的内部，也存在着经济空间分异。城市作为集聚经济在空间上的体现，其经济产出在一定程度上可以反映出聚集经济的空间分异作用。因此，为了进一步分析和讨论中国经济空间分异，本部分研究基于2010年287个地级及以上城市的人口和地区生产总值[39]，得到中国地级城市体系人口分布和GDP分布特征椭圆，见图5。通过计算，城市体系人口分布中心与基于县域普查数据的人口分布中心基本一致（表1），且城市体系人口分布椭圆范围占县域普查人口分布椭圆面积的74%，因而研究城市体系经济具有较强的代表性。由图5可看出，中国地级城市体系人口、GDP分布主体均完全分布在胡焕庸线的东南方，主要集中在约20%的大陆国土面积上，而且二者之间也存在着明显的空间差异。总体来说，基于地级城市体系的GDP-人口两个分布之间以东-西方向差异为主，GDP分布相对于人口分布的空间分异系数为15.45%（即，二者空间重叠部分占GDP分布椭圆面积的84.55%）。由于中国经济主体——沿海地带的狭长状分布特征，城市GDP空间分布，更靠近东部沿海地区，椭圆方位角较小，分布范围（长、短轴）略大。人口分布以长江中下游平原和黄河中下游平原地区为主体，在GDP分布椭圆的西南方。综合以上分析，由于地形、降水、气候等自然禀赋因素是影响区域发展起点不平衡的根本原因，因此从“第一自然”要素的空间分异和控制作用来看，胡焕庸线以西地区，特别是西北侧地区发展经济、集聚人口的功能较弱，其总体以生态保护和恢复为主（根据国家“十一五”规划纲要，中国22个限制开发区域大多分布在胡焕庸线两侧）。而且通过对比分析2000年第五次县域普查人口分布椭圆和2010年第六次县域普查人口分布椭圆，发现2010年中国人口分布中心向东南方向移动，西部地区有限的人口红利仍在流失，东、西部地区人口不均衡性在进一步加大，这也为西部地区经济发展带来不利影响。产业的空间聚集是一种地缘现象，因而经济空间分异作用是不可避免的，但确保空间发展能够兼顾效率和公平是实现国土经济空间优化发展的关键。国家“十二五”规划纲要提出要构建城市化战略格局，促进经济增长和市场空间由东向西、由南向北拓展。靠近人口分布是判别区域空间公平的标准[40]，而临近市场空间则更能体现效率，因而减小二者之间的空间差异将有助于兼顾效率和公平。目前中国城市体系人口分布比GDP分布略靠西南方，通过重点培育人口分布较为集中的成渝城市群、关中城市群等中西部经济增长极可有助于拉动中国经济增长和市场空间向西发展；可通过制定相关政策吸引人口向GDP分布椭圆北部地区流动、聚集，发挥人口红利的拉动作用，推进经济增长由南向北发展。
4主要结论与政策建议
椭圆形面积范文4
关键词：发动机；活塞裙部；变形；优化设计
一般情况下，活塞与缸套间的过度摩擦损失会导致表面接触不良、间隙增大，产生振动和噪音，使内燃机机械效率下降、使用寿命降低。活塞裙部与之关系较大。由于该部受到机械负荷和热负荷的共同作用，产生较大的变形，使得活塞裙部与缸套实际上只在不大的区域上接触，容易造成状态恶化，裙部磨损严重，甚至出现拉缸现象，活塞敲缸现象也与裙部的设计有关。
一、活塞裙部变形情况分析
活塞在运动过程中，承受着热负荷、气体压力、惯性力及缸壁的侧推力作用。在气体压力作用下，活塞顶在销座跨度内发生弯曲，导致裙部部位扩张变形。在侧推力作用下，裙部垂直于销座方向被压扁，销座轴向裙部尺寸伸长。气体压力使得活塞裙部有上部收缩下部向外扩张的趋势，热负荷则使活塞裙部上部膨胀大于下部膨胀。在工作状态下，大部分裙部表面不承受活塞侧推力。
二、活塞裙部外形型面概况
（一）设计原则
裙部与缸套在工作状态下只有保持适当的接触面积和合理的比压，才能保证活塞工作的平稳性和耐久性，有效防止拉缸，提高发动机的性能。在活塞裙部外形型面设计时，要充分考虑活塞在工作状态下受热负荷作用和机械负荷作用发生变形，使裙部外型能与缸套壁面始终保持流体状态。目前，内燃机活塞裙部横截面一般采用椭圆形状，纵向截面则普遍由一般的圆锥面发展到中凸曲面（桶形曲面）。根据实测结果并通过活塞CAE分析，确定在裙部上端主要考虑主推力面的径向收缩量大，裙部下端主要考虑次推力面的内缩，将两者结合并拟合。一般来讲，小缸径发动机整体铝活塞若为非增压机型，可采用中凸等椭圆型面，而增压及增压中冷强化机型则普遍的采用中凸变椭圆型面，大缸径中速机型也较多采用中凸变椭圆型面。裙部横截面为椭圆，椭圆度为销轴截面内的型面对圆周最大直径的偏差值，且椭圆度沿活塞裙部变化。冷态活塞的中凸形状，裙部上端收缩量较下端收缩量大，可使活塞在热状态下裙部不同高度有不同的热膨胀时，与缸套贴合良好；有利于活塞与缸套间的液体，改善活塞裙部表面的磨擦和磨损；当活塞发生倾斜，特别是换向时，可避免产生裙部边棱负荷，减少活塞对缸壁冲击。油层最小厚度值取决于裙部上端桶形变化值。当型面呈直线或变化不大时，油层厚度将急剧减少。
（二）活塞裙部
横截面规律因侧压力作用下的裙部变形和裙部不均匀的热膨胀，裙部横截面可以取作单一椭圆、双椭圆、椭圆和偏心圆、椭圆和椭圆的不同组合。椭圆规律应据发动机的具体情况进行设计、修正，比较常用的设计为单椭圆形状规律，
式中ΔR为相对于椭圆长轴的半径收缩量；G为椭圆度，G=椭圆长轴处直径-椭圆短轴处直径；α为ΔR处所在位置与椭圆长轴的夹角。考虑到制造过程工艺性，采用双椭圆公式，式中β为椭圆修正系数。在椭圆设计过程中，β一般应取-0.25G/2范围内的椭圆曲线修订为ΔR=G/2。即αgΦαΦ90°在范围内按正圆加工（αg为ΔR=G/2位置处的角度）。由ΔR=G2=G4[（1- cos2αg）+β（1-cos4αg）] ，得αg=12arc cos（1-12β）当β
（三）活塞裙部横截面椭圆设计
1、椭圆度G及修正系数β的确定
目前发动机活塞裙部椭圆度值G一般取0.5左右。统计表明，活塞裙部椭圆度一般为0.15～0.55mm。活塞由于结构强度弱、柔性大，工作状态下裙部的弹性变形相对增强，裙部与缸套间的侧向推力相对柴油机要小，接触面积不需要太大。所以为保持活塞与缸套间合理的表面比压，通常使长轴两侧椭圆收缩量比标准椭圆（单椭圆）大，一般β取0.1～0.15。
2、裙部主、次推力面不对称椭圆设计
为了改善磨损情况，活塞裙部椭圆设计有主、次推力面不对称设计形式。汽油机活塞主推力面椭圆收缩量一般要大于次推力面的椭圆收缩量，即Δ1>Δ2，主推力面瘦一些。柴油机活塞则相反，即在主推力面上E圆度较小，活塞与缸壁接触面积较大，侧压力产生的弯矩也较小，因而能承受较大的负荷。这样裙部推力面与销座平面接转角处的总直径间隙增大了，，工作可靠性因而提高。
3、裙部椭圆度的轴向变化
根据活塞的工作状况和结构特点，G上
（四）活塞裙部纵截面规律
裙部纵截面现在多采用中凸型线规律。中凸型线规律一般采用反复修正法或复合材料法获得。活塞裙部纵向型线方程可如下描述：上半段纵向基线方程Y=AnXn+An- 1Xn- 1+An- 2Xn- 2+An- 3Xn- 3+…+A1X+A。下半段纵向基线方程Y=K（Z1-Z）n，式中K为系数； Z0为从裙部上端点到最大点的距离； Z为从裙部上端点起的裙长值。也可设计纵向中凸型线，如图所示。1、活塞在高温下成正圆柱，中凸型线呈现超越函数RZ=R0+Δ0（1- e-MZ），式中R0为活塞裙部上端半径；M为材料物理性能系数。2、按流体动力的概念，设计成中凸鼓形，在高温工况下适应活塞与缸壁的贴合。表达方程式为RZ=R1-d|Z-Z1|n，式中R1为裙部最大直径；d，n为按同类活塞的理想类型选取。工作状态下，中凸点的位置接近于活塞销孔中心或稍偏高一些，有利于油膜的压力分布，使围绕活塞销孔中心的油膜支承力矩改变，有利于缸内倾斜角的减少和平稳运动性的提高，但在活塞机械变形和热变形的影响下，裙部中凸点的位置将向销孔中心方向上移一段距离。
（五）活塞表面微观轮廓设计
通过试验表明，裙部表面加工成有规则状凹凸刀纹，凹纹可储油，向摩擦表面带去足够的油，凸纹可加速磨合，自动适应裙部与缸套的尺寸配合。现代活塞设计中，镀锡活塞的粗糙度值多采用Ra1.6～Ra3.2左右。印刷石墨活塞在表面处理前一般为Ra3.2左右，或直接标注刀纹形状。
三、结语
活塞结构的局部细微改进直接影响发动机的性能，裙部形状影响着动态油膜的形成与保持。因此，对活塞裙部型面设计的研究、改善与缸套间的配合，在提高发动机动力性、经济性和可靠性等方面，有着重要意义。具体到各类发动机的活塞设计，应根据其承受的负荷来采取不同的设计方案，更好地满足发动机低机油耗、高性能、低排放等要求，为开发高新性能活塞奠定良好基础。
参考文献：
椭圆形面积范文5
一、案例
如图，直线y=kx+b与椭圆■+y2=1交于A、B两点，记AOB的面积为S。
（1）求在k=0，0
（2）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程。
本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
（1）解：设点A的坐标为（x1，b），点B的坐标为（x2，b），由■+y2=1，解得x1.2=±2■，所以S=■b|x1-x2|=2b■≤1，当且仅当b=■时，S取到最大值1。
（2）解：由■+y2=1y=kx+b，得（k2+■）x2+2kbx+b2-1=0，
得：=4k2-b2+1>0x1+x2=■x1x2=■，由|AB|=■|x1-x2|=2，
得■=2。
设O到AB的距离为d，则d=■，又■，所以b2=k2+1，代入上式，整理，得k4-k2+■=0，解得k2=■，b2=■，经检验，>0，符合题意。
故直线AB的方程是：y=■x+■或y=■x-■或y=-■x+■或y=-■x-■。
教师再提示解题重在用方程观点研究几何，用设而不求整体代换方法分析问题和解决问题，培养较强的运算能力和不懈的毅力；再布置相关练习，一节课也就结束了。
这样的教学仅在于搞清题意，解决了题目，为解题而解题；对学生更深层次的学习、理解、探究还未到位，与新课标的要求还有距离。因此，笔者继续带领学生向问题的原型探索。
二、本题在日常教学中的原型
原型1：圆x2+y2=1上两点A、B，圆心为O，求AOB面积S的最大值。
学生：当OAOB时，Smax=■|OA||OB|=■
原型2：椭圆■+y2=1上A、B两点，记AOB的面积为S，求S最大值。
学生1：当直线AB斜率不存在时，设点A（x1，y1），点B（x1，-y1），|AB|=2|y1|，记O到AB的距离为d，d=|x1|，S=|x1||y1|=2■■≤■+y12=1，当且仅当|x1|=■，|y1|=■时取“=”；
当直线AB斜率存在时，设AB：y=kx+b，
联立■+y2=1y=kx+b，得（k2+■）x2+2kx+b2-1=0，
得：=4k2-b2+1>0x1+x2=■x1x2=■，
由|AB|=■|x1-x2|=■
设O到AB的距离为d，则d■，S=■■=2■≤1（当仅当4k2+1=2b2时，式子取“=”）Smax=1。
学生2：设A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ），■，■的夹角为θ，则：
|OA|=■，|OB|=|■，
sinθ=■
=■
S=■|OA||OBsinθ=|cos（α+β）|≤1（当α=-β时式子可取“=”），
Smax=1。
学生3：圆x2+y2=1到椭圆■+y2=1变换矩阵为■ 00 1，变换行列式的绝对值为■，而圆x2+y2=1上两点A、B，圆心为O，AOB面积S的最大值为■，所以椭圆■+y2=1上A、B两点，AOB的面积为S的最大值为1。
三、高考题与教材原型的链接
当明确原型结论后，回头再看看2007年这道考题，由S=1，不难发现：AOB的面积S正是取得最大值时，因此：4k2+1=2b2，结合：|AB|=1，即■，易得：k2=■，b2=■，从而顺利解决问题。
再链接：
问题（1）：椭圆■+y2=1上两顶点A、B两点，M为椭圆上动点，记AMB的面积为S，求S最大值。
解析：思路很明显，应分情况讨论。
A）A，B为同轴上两顶点时：|AB|=4时，Smax=2；|AB|=2时，Smax=2。
B）A，B为长、短轴上各取一个顶点时，不妨设A（0，-1），B（2，0），|AB|=■，由数形结合思想可知：只需将直线AB平移至与椭圆相切时，结论将产生。
设椭圆切线：y=■x+b，代入椭圆方程，可得：■x2+bx+b2-1=0，由=0，可得：b=±■，由图可知，当b=■时，该切线与直线AB距离最远，最远距离为■（■+■），
此时，Smax=■+1；综上所述：S最大值为■+1。
问题（2）：椭圆■+y2=1上两焦点为F1，F2，M为椭圆上动点，记MF1F2的面积为S，求S最大值。
解析：由椭圆图像易知：M（0，±1）时，Smax=■。
问题（3）：椭圆■+y2=1上两焦点为F1，F2，直线AB过焦点F1且交此椭圆于A，B两点，记ABF2的面积为S，求S最大值。
解析：不妨设AB：x=ny+■点A（x1，y1），点B（x2，y2）， S=■|y1-y2|=■・■，
联立■+y2=1x=ny+■，得（n2+4）y2+2■ny-1=0，得：y1+y2=■y1y2=■ .
可得：S=■■=■・■
=■≤2
当且仅当n=±2■时，式子取“=”，所以：S最大值为2。
问题（4）：椭圆■+y2=1上A、B、C两点，记ABC的面积为S，求S最大值。
解析：令x=2x'y=y'，则x'2+y'2=1有，而圆的内接三角形为等边三角形时面积为最大，S'max=■，由线性变换，可知Smax=■×2=■。
问题（5）：椭圆■+■=1（a>0，b>0）上A、B、C两点，记ABC的面积为S，求S最大值。
解析：令x=ax'y=by'，则有x'2+y'2=1，而圆的内接三角形为等边三角形时面积为最大，S'max，=■由线性变换，可知Smax=■ab。
问题（6）：椭圆■+■=1（a>0，b>0）（内接四边形面积为S，求S的最大值。
解析：令x=ax'y=by'，则有x'2+y'2=1，而圆的内接四边形为正方形时面积为最大，S'max=■，由线性变换，可知Samx■。
问题（7）：椭圆■+■=1（a>0，b>0）（内接n边形面积为S，求S的最大值。
解析：令x=ax'y=by'，则有x'2+y'2=1，而圆的内接n边形为正n方形时面积为最大，S'max=■sin■，由线性变换，可知Smax=■sin■。
四、教学反思
1.教师要重视课本
高考数学“年年岁岁题不同，岁岁年年题相似”，高考命题是“源于课本，高于课本”，课本是试题的根。在教学中，教师要重视课本，充分挖掘好课本的例习题的功能，加强学生对知识的理解。
2.注重数学本质的教学
本题的本质确实是用方程观点研究几何，注重解析思想、数形转换，同时加强问题内在的联系，引导学生重视方法的同时，努力提高数学本质的认识和理解。
3.注重问题的通解通法的教学
高考的命题趋势在本质上是考查学生对知识的理解和数学思想方法的掌握程度及灵活应用知识的能力。在问题教学中拓展学生思维的同时，让学生学会总结、学会反思、学会感悟，促进学生完善认知结构。
椭圆形面积范文6
关键词： 层合板； 分层损伤； 等矩当量； 形状等效； 能量释放率； 屈曲载荷
中图分类号： V257 文献标志码： A
Equal moment elliptic equivalent method for composite material
delamination damage characteristic analysis
CHENG Zheng’aia， YAO Weixingb， WU Fuqianga
（a. Key Laboratory of Fundamental Science for National Defense-Advanced Design Technology of Flight Vehicle；
b. State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures，
Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China）
Abstract： As to the mechanics characteristic analysis of delamination in composite laminate plate structure， an equal moment equivalent method is proposed， by which the arbitrary irregular delamination shape is simplified as the equivalent ellipse with the same area， the first order moment and the second order moment. The mechanics characteristics are analyzed respectively for the delamination with irregular shapes， the minimum envelope equivalent elliptic delamination and the equal moment equivalent elliptic delamination by finite element method， and the parameters of the delamination with different depth are compared including the front energy release rate and the buckling load. The results show that the equal moment equivalent eclipse can decrease the parameter calculation error greatly with better consistency， which is more suitable for engineering application.
Key words： laminate plate； delamination damage； equal moment equivalent； shape equivalence； energy release rate； buckling load
收稿日期： 2013-01-24 修回日期： 2013-02-28
基金项目： 国家自然科学基金（11202098）
作者简介： 成正爱（1988—），女（朝鲜族），辽宁沈阳人，硕士研究生，研究方向为复合材料损伤容限，（E-mail）；
姚卫星（1957—），男，江苏南通人，教授，博导，博士，研究方向为飞行器结构设计、疲劳寿命，（E-mail）
0 引 言
复合材料优越的力学性能，相对于金属较轻的质量和铺层方向带来的可设计性使其在减轻飞机质量，改善气动性能中具有很大的优势.[1]近年来，先进复合材料逐步取代传统的金属材料，已逐渐从附属件和次承力件应用到一些重要结构的主承力件.但是，复合材料的各向异性和非匀质性以及远低于层内性能的层间性能，导致其损伤模式多、机理复杂.根据统计资料显示，分层失效是最严重也是复合材料特有的一种损伤形式，约占各种损伤模式总和的60%.[2]无论是单调静载荷还是循环疲劳载荷，分层的产生和扩展都会显著地降低复合材料结构的强度，缩短寿命，甚至对结构造成灾难性的毁坏，从而带来严重的安全问题.[3]
在工程问题的分析中，需要将实际无损检测[4]得到的实际分层形状进行工程简化之后，通过解析[5]或有限元法[6]进行屈曲分析，计算分层前缘断裂参数并判断分层的扩展，以此预测结构的剩余强度和寿命.
在工程实际中，对复合材料结构的损伤评定主要分4个步骤[7]：（1）使用无损检测技术检测得到损伤的深度位置和平面几何尺寸；（2）确定损伤部位的材料数据和应力-应变水平；（3）计算临界损伤尺寸，判断是否可以接受；（4）根据载荷条件进行失效形式的安全评定.本文根据分层扩展，针对形状和载荷的敏感性提出一种对不规则分层损伤的简化方法，并与目前常用的最小包络算法进行比较.针对不同参数，将2种方法在工程上对不规则分层形状等效得到椭圆的适应性给予评估.
1 分层损伤形状等效方法
对于复合材料层合板中分层损伤的起始、扩展直至破坏过程，分层损伤的形状和受载方式是非常重要的影响因素.因此，选取严重载荷方向作为研究试件的轴向，并对分层损伤的形状进行当量处理，简化为规则形状以便于分析.
1.1 最小包络椭圆算法
OBDRLEK等[8]用最小包络算法研究屈曲载荷下的复合材料分层形状简化问题.最小包络算法的基本思想是用体积稍大且特性简单的几何体近似代替复杂的几何对象.[9]分层损伤形状当量为二维平面问题，且由于分层损伤扩展问题为复杂力学问题，在尖锐处易形成应力集中，对计算结果影响很大，所以一般选择平滑的圆形和椭圆形逼近不规则几何形状.
图 1 分层损伤不规则形状的包络当量椭圆
Fig.1 Irregular envelope equivalent ellipse of
delamination damage
WELZL[10]在求解最小包络椭圆的算法上做了很多工作，对最小包络椭圆的分层损伤进行后屈曲分层扩展分析，经过对面外位移、扩展方向和屈曲载荷的比较，得到以下结论.
（1）与最小包络圆相比，最小包络椭圆计算得到的结果与原始不规则形状的结果更加接近，准确性更高，更好地体现不规则形状的方向性，对扩展方向的预测结果更好地与原不规则损伤保持一致.采用最小包络椭圆比最小包络圆保留更多几何形状的载荷信息.
（2）虽然最小包络椭圆对屈曲载荷的预测误差较大，但在分层起始的预测上具有良好的一致性.
（3）最小包络椭圆的误差比最小包络圆的误差小，但在对屈曲载荷和能量释放率等参数的预测上误差依然较大.
1.2 等矩椭圆当量方法
本文应用一种新的等矩当量方法[11]对不规则几何形状的分层损伤进行当量简化.
对于不规则分层形状的简化，分层面积是很重要的影响因素.其次，分层边界的曲率变化对分层前缘的应力集中影响较大.本文将不规则分层损伤简化为0阶矩（面积）、1阶矩（平移位置）和1阶矩（主轴转角方向性）相等的椭圆.
若一个任意形状的分层缺陷边界可以用函数f（x， y）描述，则其j + k阶矩为
Mjk=∫+∞-∞ ∫+∞-∞xjykf（x，y）dxdy，
j，k=0，1，…，n（1）
缺陷的面积为0阶矩M00=∫+∞-∞ ∫+∞-∞f（x，y）dxdy（2）缺陷的形心（x-，y-）为x-=M10M00， y-=M01M00（3） 要使2阶中心矩μ11变得最小，只需将缺陷绕形心旋转角度θ.tan 2θ=2μ11μ20-μ02
μjk=M′jk（M00）r， r=j+k2+1（4） 将x和y轴分别旋转θ角度，得到的坐标轴x′和y′即为该不规则图形的主轴.
椭圆的主轴长度a和b可通过0阶矩和2阶矩联立求解得到.πab=M′00
a3bπ/4=M′20（5）
2 等效模型的比较分析
通过算例评估等矩当量方法在含分层损伤复合材料层合板力学分析中的准确性.
2.1 算例
不规则形状取自文献[12]，为冲击损伤碳纤维环氧树脂复合材料层合板内形成的内嵌式层间分层.
将不规则形状及等效得到的2个椭圆分层置于80 mm×80 mm×1.83 mm层合板中，形心与层合板形心重合于原点，并在层合板中选取3个厚度方向：分层位置A为1-2层间、B为2-3层间、C为3-4层间.研究分层深度对当量简化得到的椭圆分层扩展行为的影响.层合板由铝板和碳纤维复合材料铺成，铺层为[Al/0/0/Al/0/0/Al]，材料参数见表1.
表 1 材料参数
Tab.1 Material parameters
层合板受到面内压缩载荷作用，边界条件见图2.
2.2 不规则形状的简化
冲击造成复合材料中内嵌式层间分层损伤，通过超声扫描得到其形状轮廓线.应用2种方法将其等效为椭圆，见图3.2种当量椭圆几何尺寸见表2，可知，2种当量方式简化得到的椭圆形状有些差异，角度相似，但是面积不同，等矩当量椭圆比最小包络椭圆面积小22%，长短轴的比例也不同.
图 2 边界条件
Fig.2 Boundary conditions
（a）最小包络当量椭圆
（b）等矩当量椭圆
图 3 2种方法得到的当量椭圆
Fig.3 Equal ellipses obtained by two methods
表 2 2种当量椭圆几何尺寸
Tab.2 Geometry sizes of two equivalent ellipses2.3 有限元模拟
在Abaqus中建立三维有限元模型，单元为基于1阶剪切变形理论的壳单元SC8R.整个层合板由上、下2个子板组成.分层前缘网格细化且满足自相似扩展，见图4.使用虚拟裂纹闭合技术分析分层扩展行为.
图 4 有限元模型网格划分
Fig.4 Mesh of finite element models
2.4 计算结果
3种形状的应力云图和位移云图见图5，可知，含当量椭圆分层的层合板变形规律基本上与原不规则形状一致，但由不规则形状导致的应力分布情况与椭圆分层有一定区别.
（c）等矩当量椭圆
图 5 有限元模型应力云图和位移云图
Fig.5 Stress and displacement contours of finite element model
将分层中心点处的面外位移达到5 μm时的载荷定义为层合板子层屈曲载荷.含3种形状分层损伤层合板的子层屈曲载荷见表3.
表 3 不同深度界面的屈曲载荷
Tab.3 Buckling loads of interfaces in
different depth kN
含分层复合材料层合板所处的屈曲模式（以局部屈曲L，混合屈曲M和整体屈曲G区分）以及分层扩展的方向（以有限元坐标系为准）见表4.可见在3种分层形状情况下，层合板均呈现混合屈曲状态，且对分层扩展方向的预测也均较为准确.
表 4 不同深度界面的屈曲模式和扩展方向
Tab.4 Buckling modes and growth directions of
interfaces in different depth
由表3和4可知，等矩当量椭圆在屈曲载荷的预测上较最小包络椭圆有较大提高，误差减小至10%以内，但分层处于中面时并没有较好的表现.越接近层合板中面，对分层扩展的预测即对最大能量释放率的预测误差越大，深埋分层的预测往往与试验值有较大偏差，所以对深埋分层的预测需要进行特别研究.
形状的简化对分层扩展的影响可以通过分层前缘能量释放率分布比较.3种形状A界面处分层前缘各型释放率见图6.其中不规则分层形状的x轴坐标为对不规则周长归一化后的坐标，等矩当量椭圆和最小包络椭圆的x轴为θ对360°做归一化处理.
图 6 分层前缘总能量释放率
Fig.6 Total energy release rate of delamination front
各模式下A界面分层前缘最大能量释放率见表5，可知2种方法等效椭圆与不规则形状的一致性.
表 5 各模式下A界面分层前缘最大能量释放率
Tab.5 Maximum energy release rate of delamination front in A interface under different modes
等矩当量方法等效得到的椭圆与不规则形状分层前缘的能量释放率表现出更好的一致性；相对于最小包络椭圆体现出非保守性，但与不规则形状预测结果相比依然保守.各型能量释放率的误差仍然较大，但等矩当量椭圆的总能量释放率的误差较最小包络椭圆减少约20%.
3 讨 论
通过算例，对2种方法在不同方面的预测表现 有直观的了解.
（1）屈曲载荷.在屈曲载荷的预测中，等矩当量椭圆相对于最小包络椭圆有较大提升，但当分层深度增加时预测受到较大影响，需进一步研究.
（2）屈曲模态和扩展方向.对于层合板整体的行为趋势，2种方法均表现良好.
（3）能量释放率.在能量释放率的预测中，对于总能量释放率的峰值位置、各型能量释放率的最大值以及沿分层前缘的分布，等矩椭圆的表现均优于最小包络椭圆，误差也维持在较小的范围内.
综上所述，等矩当量椭圆等效方法的整体表现优于最小包络椭圆，预测更加贴近实际不规则形状分层.在确保预测安全的基础上减少因过分保守而造成的浪费，在不同力学参数的预测中都有良好表现.同时，此方法考虑复合材料的材料方向特性，适合用于复合材料层合板中的分层损伤形状的工程等效.
4 结 论
提出一种将不规则形状的分层简化为当量椭圆的等矩方法，并分析简化后的椭圆分层，同最小包络椭圆一起与原始不规则形状进行比较.结果发现等矩方法当量得到的椭圆分层与原始分层的一致性更好.
（1）等矩当量方法得到的简化椭圆分层的力学行为和变形与初始形状计算结果的误差较小，较最小包络椭圆有较大提高.
（2）含分层层合板的屈曲和后屈曲行为受分层在层合板中的法向位置影响较大，准确性也受到影响，需要进一步研究深层分层的预测.
（3）分层扩展方向与屈曲模态相关性很大，对于U形整体屈曲，扩展方向与载荷方向相同；对于其他屈曲模式，扩展方向与载荷方向垂直.参考文献：
[1] 沈观林， 胡更开. 复合材料力学[M]. 北京： 清华大学出版社， 2006： 4-28.
[2] 沈真， 章怡宁， 黎观生. 复合材料飞机结构强度设计和验证的特点[J]. 结构强度研究， 2005（B04）： 77-86.
SHEN Zhen， ZHANG Yining， LI Guansheng. Composite aircraft structure strength design and validation characteristics[J]. Struct Strength Res， 2005（B04）： 77-86.
[3] 王远达， 梁永胜， 王宏伟. 飞机结构的耐久性与损伤容限设计[J]. 飞机设计， 2009（1）： 37-43.
WANG Yuanda， LIANG Yongsheng， WANG Hongwei. Design of durability and damage tolerance for aircraft structure[J]. Aircraft Des， 2009（1）： 37-43.
[4] 魏勤， 张迎元， 乐永康， 等. 超声C扫描成像系统在SiC_p/Al复合材料无损检测中的应用[J]. 材料开发与应用， 2003， 18（4）： 38-41.
WEI Qin， ZHANG Yingyuan， LE Yongkang， et al. Application of ultrasonic C-scanning system in SiC_p/Al composite nondestructive inspection[J]. Dev & Application Mat， 2003， 18（4）： 38-41.
[5] KHARAZI M， OVESY H R， TAGHIZADEH M. Buckling of the composite laminates containing through-the-width delaminations using different plate theories[J]. Composite Structures， 2010， 92（5）： 1176-1183.
[6] 王瑜， 赵美英， 余明. 复合材料层压板分层损伤扩展与压缩强度预测[J]. 机械科学与技术， 2011， 30（7）： 1051-1055.
WANG Yu， ZHAO Meiying， YU Ming. Delamination propagation and compressive strength prediction of laminate composite[J]. Mech Sci & Technol Aerospace Eng， 2011， 30（7）： 1051-1055.
[7] 沈真.复合材料结构设计手册[M].北京： 航空工业出版社， 2004： 312-367.
[8] OBDRLEK V， VRBKA J. On the applicability of simple shapes of delaminations in buckling analyses[J]. Composites Part B： Eng， 2011， 42（3）： 538-545.
[9] 陈学文， 丑武胜， 刘静华， 等. 基于包围盒的碰撞检测算法研究[J]. 计算机工程与应用， 2005（5）： 46-50.
CHEN Xuewen， CHOU Wusheng， LIU Jinghua， et al. Collision detection algorithm based on bounding box[J]. Comput Eng & Applications， 2005（5）： 46-50.
[10] WELZL E. Smallest enclosing disks （balls and ellipsoids）[J]. New Results & New Trends Comput Sci， 1991， 5（3）： 359-370.
[11] 付立思， 刘朋维， 李丹丹. 一种改进的不变矩特征与物体识别[J]. 计算机工程与应用， 2012， 48（31）： 183-185.