二元一次方程范文1
同学们，随着我们升入九年级，新的知识正等待着我们去学习和探索.第四章学习一元二次方程，作为工具的一元二次方程将为我们学习其他知识带来方便，我们也可以解决更多的以前我们无法解决的问题.现在你一定迫不及待地要学习一元二次方程了吧！
一元二次方程的主要内容分为三个部分.第一部分是一元二次方程的概念：学习一元二次方程的一般形式、成立的条件，会求一元二次方程的根（或解），会检验一个数值是否是一元二次方程的解；第二部分是一元二次方程的解法：理解一元二次方程的解法的数学思想是降次，由降次的不同方法得出一元二次方程的不同解法，掌握一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）；第三部分是一元二次方程的应用：利用一元二次方程来解决实际应用问题、数学综合问题等.一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具，并且对学习函数尤其是解答二次函数的综合问题起着决定性的作用，它在中考试题中占有一定的比例.
本章学习重点是正确理解一元二次方程的有关概念及二次项系数不为0这一前提条件，掌握化一元二次方程为一般形式的方法及一元二次方程的解法.难点是熟练求一元二次方程的解，并会将实际问题抽象为单纯的数学问题（列一元二次方程）来解决，掌握一元二次方程根的判别式的应用.
在本章的学习中我们将经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型.本章遵循“问题情境——建立模型——应用”的模式，在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，理解并掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，并形成利用语言文字规范地表达方程思想和方程知识的过程.通过对一元二次方程解法的探索与思考，进一步体会“化归”与“转化”的数学思想的重要地位，解一元二次方程实际上是转化为解一元一次方程，达到降次的目的.
另外，本章在阅读内容中安排了一元二次方程根与系数的关系，这个关系是一种约定.一元二次方程的求根公式、一元二次方程两根的和、差、积、商都与其系数之间存在着一定的关系，但是，我们本节所学的根与系数的关系是一种约定，即专指方程两根之和、两根之积与方程系数之间的关系，是把两根之和（x■+x■）、两根之积（x■·x■）看作一个整体用方程系数（a、b、c）来表示的关系，即x■+x■=-■，x■·x■=■.由于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）都可以转化为x2+px+q=0的形式，因此其根与系数之间的关系，就由方程一般形式下的关系转化为特殊形式下的关系了，即x■+x■=-p，x■·x■=q.这样一来，若已知一个一元二次方程的两个根，就可以写出这个一元二次方程了，即以x■、x■为根的一元二次方程为x2-（x■+x■）x+x■x■=0.
二元一次方程范文2
§11.1二元一次方程
【教学目标】
【知识目标】了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。
【能力目标】通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。
【情感目标】通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。
【重点】二元一次方程组的含义
【难点】判断一组数是不是某个二元一次方程组的解，培养学生良好的数学应用意识。
【教学过程】
一、引入、实物投影
1、师：在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？
2、请每个学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言）
这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程x-y=2，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍，得方程：x+1=2(y-1)
师：同学们能用方程的方法来发现、解决问题这很好，上面所列方程有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？（含有两个未知数，并且所含未知数项的次数是1）
师：含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程
注意：这个定义有两个地方要注意①、含有两个未知数，②、含未知数的次数是一次
练习：（投影）
下列方程有哪些是二元一次方程
+2y=1xy+x=13x-=5x2-2=3x
xy=12x(y+1)=c2x-y=1x+y=0
二、议一议、
师：上面的方程中x-y=2，x+1=2(y-1)的x含义相同吗？y呢？
师：由于x、y的含义分别相同，因而必同时满足x-y=2和x+1=2(y-1)，我们把这两个方程用大括号联立起来，写成
x-y=2
x+1=2(y-1)
像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
如：2x+3y=35x+3y=8
x-3y=0x+y=8
三、做一做、
1、x=6,y=2适合方程x+y=8吗？x=5,y=3呢？x=4,y=4呢？你还能找到其他x,y值适合x+y=8方程吗？
2、X=5,y=3适合方程5x+3y=34吗？x=2,y=8呢？
你能找到一组值x,y同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解
x=6,y=2是方程x+y=8的一个解，记作x=6同样，x=5
y=2y=3
也是方程x+y=8的一个解，同时x=5又是方程5x+3y=34的一个解，
y=3
二元一次方程各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
四、随堂练习、（P103）
五、小结：
1、含有两未知数，并且含有未知数的项的次数是一次的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解。
3、含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组，它的解是两个方程的公共解，是一组确定的值。
二元一次方程范文3
类型一 新定义型
例1 （2012年菏泽卷）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线记为a bc d，定义a bc d=ad-bc，上述记号就叫做2阶行列式?郾 若x+1 x-11-x x+1=8，则x= ?郾
解：根据2阶行列式的定义，由x+1 x-11-x x+1=8得
（x+1）（x+1）-（x-1）（1-x）=8，
即（x+1）2+（x-1）2=8，化简得x2=3?郾
解得x1=■，x2=-■?郾
温馨小提示：理解新定义，把新问题转化为常规问题即可解决?郾
类型二 整体思考型
例2 （2012年资阳卷）先化简，再求值：■÷（a-1-■），其中a是方程x2-x=6的根?郾
解：原式=■÷■
=■×■=■?郾
a是方程x2-x=6的根， a2-a=6. 原式=■?郾
温馨小提示：这里利用整体思想，将a2-a=6整体代入，十分简捷，可见数学思想在解题中的威力?郾
类型三 作业批改型
例3 解方程x（x-1）=2?郾
有学生给出如下解法：
x（x-1）=2=1×2=（-1）×（-2），
x=1，x-1=2；或x=2，x-1=1；或x=-1，x-1=-2；或x=-2，x-1=-1?郾
解第一、四个方程组，无解；
解第二、三个方程组，得x=2或x=-1?郾
x=2或x=-1?郾
请问：这个解法对吗？试说明你的理由?郾
解：答案一 对于这个特定的已知方程，解法是对的?郾
理由是：一元二次方程有根的话，只能有两个根，此学生已经将两个根都求出来了，所以对?郾
答案二 解法不严密，方法不具有一般性?郾
理由是：为何不可以利用2=3×■等得到其他的方程组？此学生的方法只是巧合，求对了方程的解?郾
温馨小提示：与传统的作业批改题不同，此题的解答更具有开放性，不管判断解法是对还是错，只要所述的理由充分都对，这恰好是该题设计的精妙之处?郾
类型四 阅读理解型
例4 （2011年十堰卷）请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍?郾
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=■?郾 把x=■ 代入已知方程，得（■）2+■-1=0?郾
化简，得y2+2y-4=0?郾 故所求方程为y2+2y-4=0?郾
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”?郾
请用“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数?郾
解：（1）由于所求方程的根与已知方程的根互为相反数，可设y=-x，所以x=-y，代入x2+x-2=0，可得y2-y-2=0；
（2）设所求方程的根为y，则y=■ （x≠0），于是x=■ （y≠0），把x=■ 代入方程ax2+bx+c=0，得a（■）2+b·■+c=0 ，去分母，得a+by+cy2=0?郾 若c=0，有ax2+bx=0，于是方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不符合题意， c≠0. 故所求方程为cy2+by+a=0（c≠0） ?郾
温馨小提示：读懂材料是解答本题的关键?郾 “换根法”的本质是“整体代入”?郾 对于第（2）题要注意说明c≠0?郾
类型五 方案核算型
例5 （2011年六盘水卷）小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花园，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如下的四种方案供妈妈挑选，请你选择其中的一种方案帮小明求出图中x的值?郾
方案一 ?摇 ?摇 方案二?摇 ?摇方案三?摇 ?摇方案四
解：方案一 根据题意，得（8-x）（6-x）=■×8×6?郾
解得 x1=12，x2=2?郾 x1=12不合题意，舍去?郾 x=2?郾
方案二 根据题意，得（8-2x）（6-2x）=■×8×6?郾 解得 x1=6，x2=1?郾 x1=6不合题意，舍去?郾 x=1?郾
方案三 根据题意，得■×（8-x）（6-x）×2=■×8×6?郾 解得x1=12，x2=2?郾 x1=12不合题意，舍去?郾 x=2?郾
方案四 根据题意，得■×（8-2x+8）（6-x）=■×8×6?郾 解得x1=12，x2=2?郾 x1=12不合题意，舍去?郾 x=2?郾
温馨小提示：结合各种方案的图形，利用面积建立一元二次方程?郾 在求出一元二次方程的解后，由于两个根都是正数，容易产生不符合题意的解，需要验根?郾
类型六 综合应用型
例6 （2012年杭州卷）中国国际动漫节以“动漫的盛会，人民的节日”为宗旨，以“动漫我的城市，动漫我的生活”为主题，已在杭州成功举办了七届?郾 目前，它成为国内规模最大、交易最旺、影响最广的动漫专业盛会?郾
下面是自首届以来各届动漫产品成交金额统计图表（部分未完成）：
（1）请根据所给的信息将统计图表补充完整；
（2）从哪届开始成交金额超过百亿元?相邻两届中，哪两届的成交金额增长最快?
（3）求第五届到第七届的平均增长率，并用它预测第八届中国国际动漫节的成交金额（精确到亿元）?郾
解：（1）根据统计图得到答案，表格中填33，补全的统计图如右图；
（2）第六届；从第五届到第六届的成交金额增长最快；
（3）设第五届到第七届的平均增长率为x，由题意得：65?郾3（x+1）2=128，解得x1≈0?郾4，x2≈-2?郾4（不合题意，舍去），128（1+0?郾4）≈179?郾
二元一次方程范文4
二次函数通用解析式为：y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），单从形成上看就很像。当二次函数的值为零时，也就是说求解二次函数与x轴交点问题时，可转化为一元二次方程来解决。
一、一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c图像与x轴的交点
1.>0 时，方程有两个不相等的实数根x1、x2，二次函数与x轴有两个不同的交点，其坐标分别为（x1，0）和（x2，0）；
2.=0 时，方程有两个相等的实数根，函数与x轴只有一个交点，该交点就是函数图象的顶点，坐标为（-■，0）；
3.
二、二次函数中，若≥0
1.a>0，抛物线y=ax2+bx+c开口向上，顶点纵坐标■≤0，故抛物线与x轴必有交点；
2.a
以上结论反过来亦成立，所以一元二次方程根的情况，可以用抛物线与x轴关系形象地反映。
兹举数例应用之。
例1：已知抛物线y=-x2+2（m+1）x+m+3与x轴正半轴交与M，与负半轴交于N，求m的取值范围。
分析：因为抛物线与x轴有两个交点，所以方程-x2+2（m+1）x+m+3=0有两个不同的实数根，且一正一负，所以>0x1x2
解：由题意可得4（m+1）2+4（m+3）>0①-m+3
由①得：m取全体实数
由②得：m>-3
m>-3
例2：已知二次函数y=2x（kx-4）-x2+6的图像与x轴无交点，求k的最小整数值。
分析：抛物线与横轴无交点，所以方程2x（kx-4）-x2+6=0无根。
解：二次函数y=2x（kx-4）-x2+6可变形为y=（2k-1）x2-8x+6
图像与x 轴无交点
=64-4（2k-1）×6=88-48k
k>■
k=2
k的最小整数值为2
例3：已知抛物线y=x2-（2m-1）x-m-3
①证明：抛物线与x轴有两个不同的交点；
②分别求出抛物线与x轴交点M、N的横坐标xM、xN以及与y轴的交点P的纵坐标yP（用含m的代数式表示）。
分析：要证明抛物线与x轴有两个不同交点，只要证明方程的判别式>0即可。图像与x轴的交点坐标可用求根公式解出两个根即可。
解：①=（2m-1）2-4（m2-m-2）=9>0
抛物线与x轴有两个不同的交点
②x=■
xM=m+1
xN=m-2
与y轴交点纵坐标为：yP=-m-2
二元一次方程范文5
1． 有下列方程：
① x2－x=0；② 2x2+3x+1=0；③ x2+5x－6=0；④x2－x+3=0.
其中1是方程的解的是（）.
A． ①②B． ①③C． ②③D． ①④
2． 下列方程中，没有实数根的是（）.
A． x2+5=2 xB．x2－ = x
C．x2－2x+1=0 D． 2x= x2+
3． 设x1，x2是方程3x2+6x+2=0的两个实数根，则 + 的值是（）.
A． 16 B． 10 C． 4 D． 8
4． 已知3是关于x的方程 x2－2ax+1=0的一个根，则a的值是（）.
A． 1 B． 3 C． D． 13
5． 如果2n是方程x2－mx+n=0的一个实数根，则m－2n的值是（）.
A． 4 B． 2 C． 1 D．
6． 如果关于x的方程x2－2 x－1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）.
A． m≥0 B． m＞－1
C． m≤0 D． m＜－1
7． 若一元二次方程x2+bx+c=0（a≠0）存在两个不等的负实数根，则应具备的条件是（）.
A． b2＞4c B． b>0且c>0
C． b＜0且c＞0 D． c＞0
8． 已知方程3x2－6x+m=0的两个实数根为x1，x2，且3x1+x2=0，则m的值为（）.
A． －3 B． 3 C． －9 D． 9
二、填空题（每小题4分，共24分）
9． 方程（x－3）2=3-x的实数根是 .
10． 某商品连续两次降价10％后的价格为81元，则该商品的原价为 .
11． 已知一元二次方程x2+px+1=0的一个根为2+ ，则另一根为 .
12． 若方程（m－4）x2－（2m－1）x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是 .
13． 方程组x2+y2=5，2x2-3xy-2y2=0的实数解的组数是 .
14． 若x1，x2是方程x2+2x+m2=0的两个实数根，且 - =2，那么m的值为 .
三、解下列方程（组）（每小题5分，共20分）
15． （x+2）（x-2）=2 x. 16．+ = .
17． 2x+y-3=0，（x-2y）2-1=0.18． 14（x2+3）2-69（x2+3）-5=0.
四、解答题（每小题8分，共32分）
19． ABC的三个内角之比为1∶2∶3，最大边为c，且关于x的方程cx2+8x+c-6=0有两个相等的实数根，求这个三角形的另两边a，b的值.
20． 小明开了一家超市，经过长期对某种商品进行调查统计，发现将进货价为40元的商品按50元出售时，能卖出500个，若该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，如要达到8 000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？
21． 如右图，矩形ABCD中，AD=9 cm，AB=3 cm，将其折叠使点D与点B重合，求折叠后DE的长.
22． 已知关于x的方程5x2-2 px+5q=0（p≠0）有两个相等的实数根.
（1） 求证：方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根.
（2） 设方程x2+px+q=0的两个实数根为x1，x2，且|x1|
参考答案
1． B 2． C 3． C 4． C 5． D 6． A 7． B 8． C
9． 2或3 10． 100 11． 2－12． m≥- 且m≠4 13． 4 14． ±
15． x1= - ，x2= + .
16． 设m= ，原方程变为m+ = .解得m=2或m= .
当m=2时， =2，解得x=2或x=- ；
当m= 时， = .解得x=3- 或x=3+ .
经检验，它们都是原方程的根.
17． 由（x-2y）2-1=0，可得x1=2y+1，x2=2y-1.
得两个方程组2x+y-3=0，x=2y+1； 2x+y-3=0，x=2y-1. 解为x1=1，y1=1， x2= ，y2= .
18． 原方程分解因式，得［14（x2+3）+1］［（x2+3）-5］=0.解为x=± .
19． 易得C=90°，其余两个角为30°和60°.故三边之比为1∶ ∶2.
显然64-4c（c-6）=0，即c2-6c-16=0.解得c=8或c=-2（舍去）.
a，b的值分别为4和4 或为4 和4.
20． 设涨价x元，则售价为（50+x）元，进货为（500－10x）个，获得利润为（10+x）（500-10x）.
可列方程（10+x）（500-10x）=8 000.解得x=10或x=30（舍去）.
故售价定为60元时，进货400个.
21． 设DE的长为x cm，则AE=（9－x） cm，BE=DE=x cm.
在直角三角形ABE中，AE2+AB2=BE2，即（9-x）2+32=x2.解得x=5.
22． （1） 由Δ=（-2 p）2-4×5×5q=0，解得q= p2.
在方程x2+px+q=0中，Δ′=p2-4q=p2-4× p2= p2.
因p≠0，故Δ′＞0，所以x2+px+q=0有两个不相等的实数根.
（2） 解方程x2+px+q=0，得x= = .
二元一次方程范文6
本题的求解比较容易，故从略.
【演变过程】这是判断二次函数图像与x轴交点情况的问题，我们知道x轴上的点的纵坐标都是0，即y=0.当y=0时二次函数y=ax2+bx+c就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0，因此判定二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点个数情况就转化为判定一元二次方程ax2+bx+c=0实数根个数的情况，即由根的判别式Δ=b2-4ac的符号来确定：Δ>0[?]抛物线与x轴有两个交点；Δ=0[?]抛物线与x轴有一个交点；Δ
【考题在线】
变式1：（2016・湖南永州）抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）.
A.m2
C.0
【思路分析】抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同交点，即对应的一元二次方程有两个不等的实根，因此可由Δ>0确定m的取值范围.
【解答】由题意可知方程x2+2x+m-1=0有两个不等的实根，Δ=22-4（m-1）=8-4m>0，解得m
【解后反思】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系，应用这种联系将二次函数问题转化为一元二次方程问题是解题的关键.
变式2：（2016・湖北荆州）若函数y=（a-1）・x2-4x+2a的图像与x轴有且只有一个交点，则a的值为 .
【思路分析】由于题目中没有说明是二次函数，因此需要分a=1、a≠1两种情况进行分类思考，分别找出解题思路.
【解答】当a=1时，函数y=（a-1）x2-4x+2a=-4x+2，其图像与x轴有交点；当a≠1时，由Δ=（-4）2-4×2a×（a-1）=0，解得a=2或-1.因此a的值为1、2或-1.
【解后反思】解决本题的关键是要明确函数的类型，进而分类运用相关的知识来求解.
变式3：（2016・四川泸州）若二次函数y=2x2-4x-1的图像与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则[1x1]+[1x2]的值为 .
【思路分析】首先根据二次函数与一元二次方程的关系得到x1和x2是一元二次方程2x2-4x-1=0的两个根，然后由根与系数的关系求出对称式的值.
【解答】x1和x2是一元二次方程2x2-4x-1=0的两个根，x1+x2=2，x1x2=[-12]，[1x1]+[1x2]=[x1+x2x1x2]=-4.
【解后反思】二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，因此二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的两个横坐标也满足一元二次方程根与系数的关系.
变式4：（2016・江苏泰州压轴题）已知两个二次函数y1=x2+bx+c和y2=x2+m.对于函数y1，当x=2时，该函数取最小值.
（1）求b的值；
（2）若函数y1的图像与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；
（3）若函数y1、y2的图像都经过点（1，-2），过点（0，a-3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图像共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4，且x1
【思路分析】这是一道以一次函数和二次函数为背景的综合题，难度适中，入口宽，解法多，考查一次函数、二次函数、一元二次方程、不等式（组）、勾股定理等核心知识和转化、方程、分类、模型、配方等数学思想方法.
【解答】（1）由二次函数的对称轴为x=2有x=[-b2]=2，b=-4.
（2）由函数y1的图像与坐标轴只有2个不同的公共点，知有两种情况：①图像与x、y轴都只有一个公共点，此时Δ=0，解得c=4，两个公共点分别为（2，0）、（0，4），两公共点间的距离为[22+42=25]；②二次函数的图像与y轴必有公共点，要使二次函数的图像与坐标轴只有两个公共点，则其中必有一个是原点，即c=0，此时y1=x2-4x，两公共点间的距离为[x1-x2]=[x1+x22-4x1x2]=[42]=4.
（3）函数y1、y2的图像都经过点（1，-2），c=1，m=-3，y1=x2-4x+1，y2=x2-3，如图所示.
①当a>0且a-3
由x2-4x+1=a-3有x2-4x+4-a=0，x3+x4=4，x3・x4=4-a，x4-x3=[x3+x42-4x3x4]
=[16-44-a]=[2a]，x4-x3+x2-x1=[2a]+[2a]
=[4a].0
②当a-3>-2，即a>1时，x2、x4在y1上，x1、x3在y2上，由x2-4x+1=a-3有x2-4x+4-a=0，x2+x4=4；由x2-3=a-3有x2-a=0，x1+x3=0，x4-x3+x2-x1=（x4+x2）-（x3+x1）=4-0=4.
综上所述，x4-x3+x2-x1的最大值为4.
