通知函格式范文1
【关键词】导数 中值定理
1.关于微分中值定理的应用。
1.1 利用拉格朗日中值定理证明恒等式或不等式。
例1.证明:
证:设,求导得,可以根据拉格朗日中值定理的推论知(常数)
令x=0得,可知C=,所以。
方法归纳:①证明等式时,将恒等式转化为,利用证明或设辅助函数,使;②若,则有恒等式其中是区间中的某一个数。
例2.对,,证明:
证:令,则在上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在使成立,即有
方法归纳:当证明不等式时,关键是找到适当函数,然后对其在所给范围内应用中值定理,再将作适当的放大或缩小即可得证。
1.2 在函数满足在上的假定条件下,要证至少存在一点,使得(其中G表示与的某个已知表达式)成立。有以下类题型:
题型1:在要证明的原表达式基础上构造辅助函数F(x),要求F(x)满足罗尔或拉格朗日中值定理,然后从F(x)中分离出需证明的表达式或与其相近的式子。
例3.已知上的二阶可导函数,,证明:
(1)存在,且,,成立;
(2)存在,使成立。
证:(1)令,在上满足罗尔定理条件,故存在,使成立,即成立;同理在上可以证明存在,使得成立,且知是分离的。
(2)令,在上满足罗尔定理条件,故存在,使成立,即,整理得。
方法归纳:此题采用原函数法,其一般步骤为:①将欲证结论中的换为;②通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式;③用观察法或积分法求出原函数,为便于积分常数取为零;④移项使等式一边为零,则另一边即为辅助函数。
例4.设,在上连续,在内可导。
证明:存在,使得 成立。
证:①令
整理得。
由此令,则在上满足罗尔定理条件,故存在,使得成立,即
故
证:②可令,则有在上满足拉格朗日中值定理,
即即为所要证明的表达式。
方法归纳:此题采用常数k值法,其一般步骤为:①另常数部分为K;②恒等变形,使等式一端为及构成的代数式,另一端为及构成的代数式;③分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式,若是只要把端点改成,相应的函数值改成,则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数。
题型2:当不易找到如一中的辅助函数,则引入新的函数,构成柯西条件。
例5.设函数在上连续,在内可导,其中,证明:存在,使。
证:由于
因此要证明的等式可以改写为①②
①
②
引入函数,且对和应用柯西中值定理知,存在使得①成立。引入函数,且对和应用柯西中值定理知,存在,使得②成立,从而证明了要证明的等式。
例6.设函数在上连续,在内可导,且。证明:存在,使得成立。
证:要证的等式可以改写为
①
②
对应用拉格朗日中值定理,存在使得①成立;对和应用柯西中值定理知存在,使得②成立,从而证明了要证的等式。
题型3:当在整个区间上不易找出此时,采纳区间连分法,并利用闭区间上连续函数的性质。
例7.设函数在上连续,在内可导,且,,求证:对任给的满足的正数存在互不相等的使得成立。
证:由正数满足知,于是由连续函数的介值定理知,存在,使得。
分别在和上应用拉格朗日中值定理知,存在和,使得
例8.设函数在上二阶可导,且,,求证:则至少存在一点使得成立。
证:首先分别在和上应用拉格朗日中值定理知,存在和,使得,。
于是由得:
由要证的等式作辅助函数,显然在上连续,因此,由连续函数的最大值定理知,存在,使得。如果能证明,则。
有,而,有同理,由得。由(如果,则和相矛盾),得知。
方法归纳:在解答一个综合证明时,其往往是多部分知识(不等式,证明方法,闭区间上函数性质等)的联合运用。因此,在复习此部分内容时有必要将有关部分熟悉。
2.泰勒中值定理的一些综合应用。
题型1:用泰勒公式作计算或证明
例9.若函数在有二阶导数,且,则存在,使得成立。
证:以分别带函数在处的泰勒公式得
例10.设函数在(其中)上有二阶导数,且对任意有,
证明:对任意,有。
证:为将的一阶导数与及其二阶导数联系起来,利用的一阶泰勒公式。
由假定知,对中的c和x相应的存在介于c与x之间的,使得
方法归纳:用泰勒公式作计算或证明此类问题应当注意两点:其一要展开到第几项,由题目条件而定;其二是用那种余项,若为极限多用佩亚诺余项,反之多用拉格朗日余项。
题型2:用泰勒展开式求极限,应当结合诺必达法则进行分析代换、求解,并且应当熟练掌握常用函数的迈克劳林公式。
例11.用带有佩亚诺型余项的迈克劳林公式,求极限。
解:由于分式的分母,我们只需将分母中的和分别用带有佩亚诺型余项的迈克劳林公式表示,即,,于是,对上式作运算时,把两个比高阶的无穷小的代数和仍记作,故。
例12.用泰勒公式求。
方法归纳:用泰勒公式求极限时应当根据题目的具体形式,把某些初等函数展成相对应阶数的泰勒形式,并结合等阶无穷小,诺必达法则进行分析、代换、求解。熟练的掌握常用的函数的迈克劳林公式会使其极限过程变得简单。
3.谈泰勒中值定理与微分中值定理的联系与区别。
联系:泰勒中值定理的一阶表达式即为拉格朗日中值定理,可以看出泰勒中值定理是更为广泛、更为普通的拉格朗日中值定理形式;不论是泰勒中值定理还是微分中值定理,都是微分学的理论基础,是研究函数性质的重要工具,是沟通函数及其导数的桥梁;其间的联系十分紧密。
差别:而泰勒中值定理使我们能利用高阶导数,较微分中值定理更深入地研究函数的性质与形态。因此,当给了函数或其导数及其高阶导数的某些条件而要求证明关于函数或其导数及高阶导数的一个比较复杂的中值关系时,往往需用泰勒中值定理。因泰勒公式的精度极高,在求解极限时常常得到巧用。同样在利用微分中值定理时,关于低阶导数的证明也显得简单。
参考文献
1 汪光先主编.高等数学习题课教程.苏州大学出版社,2005
通知函格式范文2
关键词 克里格插值；SST；应用检验
中图分类号P208 文献标识码A 文章编号 1674-6708（2010）33-0207-02
0 引言
卫星遥感数据反演得到的海面温度（SST）数据，往往因云覆盖等原因造成某些区域缺少有效SST数据，即使经过数据融合处理后，这种情况也不能完全杜绝，可能依然存在云边缘等缺少数据或数据奇异的区域。
克里格插值也称局部估计或空间局部插值，是空间统计学中地质统计学的两大主要内容之一[1-4]。最早由南非矿山工程师克里格和统计学家西舍尔用于考察样品空间位置与样品的相关性[5]，是一种常用的空间预测方法，当前在降雨量、GPS高程、温度等物理量的空间研究中有广泛应用[6-8]。它建立在变异函数理论以及结构分析的基础上，在有限区域内对变量进行无偏最优估计，其实质是利用了区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知的区域化变量进行线性无偏估计。与普通估计相比，其最大限度的利用了空间取样所提供的所有信息。
为了消除融合SST数据中的奇异点，本文尝试应用克里格插值方法对SST数据中的奇异和空缺位置进行插值，对插值精度进行了检验。
1 普通克里格
克里格插值的主要方法有普通克里格、协同克里格、泛克里格、指示克里格和对数克里格等。本文对普通克里格法进行了检验。
克里格方法基于空间的观测样本Z（xi），估计特定位置处的考察变量ZV，得到其估计值ZV*。普通克里格方法要求分析结果是无偏的，也即，从而使估计方差尽可能小，基于上述原则来确定权重系数，得到分析变量的估计值：
简单克里格对权重系数没有限制，但是需要知道变量均值，普通克里格对权重系数限定为式（2），但是不需要知道变量均值，克里格空间预测方法基于空间中各点之间的相关性来进行，具体的围绕变异函数γ展开。空间中相距h的两点，其测量序列的相关性可以用协方差函数来表示。变异函数同样基于相关性来进行定义，一维条件下的变异函数定义为：
普通克里格认为测量序列是二阶平稳的，同时由于观测样本的有限性，对变异函数进行内蕴假设，在上述假设下可以得出结论：
上述假设下得到的结论说明变异函数和协方差函数均与位置x无关，仅仅与距离向量h有关。
根据变异函数定义，由式5，h=0时，变异函数应为0；但是由于取样误差、小尺度变化等原因，h很小的情况下变异函数依然有差异，此时的差异值称为块金值。当γ（h）随距离h的增大而增大并趋于平稳时，称为有基台模型或可迁模型，此时变异函数趋近的值称为基台值，当γ（h）并不趋于某特定值时，称为无基台模型。达到基台值的样本间距称为变程，其反映了空间数据的自相关距离尺度。当h>a时，除非变异函数具有周期性，否则样本之间不具备相关性。因此变程也表示了空间插值的极限距离，只有在变程范围内进行插值才有意义。另外变程可能具有各向异性，在复杂多维问题中需要考虑。
获取变量在区域中的变异函数是进行克里格插值的关键步骤之一。变异函数分为试验变异函数和理论变异函数。试验变异函数根据已有资料利用变异函数的计算公式推求而来，往往存在一定的离散性和趋势性；理论变异函数是拟合试验变异函数中的趋势性得到可表达的连续性解析函数，常用的拟合函数有球状函数、高斯函数、指数函数等。在满足平稳性假设前提下，数据量越大则试验变异函数的趋势性越明显，否则试验变异函数点分布散乱无规则，将直接影响到理论变异函数获取的准确性和可靠性。因此，可认为当试验变异函数不具趋势性时，理论变异函数不可信，即克里格方法的结果不可信。
常用的理论变异函数经验模型有块金效应模型、指数模型、高斯模型、球状模型等，式（6）和式（7）分别为高斯模型和球状模型的变异函数。
高斯模型：（6）
当时，，因此高斯模型的有效变程为。时，称为标准高斯模型。
球状模型:（7）
具体到实际问题中，变异函数经验模型的选择往往需要结合实际，进行大量的比较之后来确定。根据已知的样本数据确定了变异函数模型中的未知参数后，根据式（1），如果要确定估计值ZV*，需要求出权重系数。基于普通克里格对权重系数限定（见式2），可以得到矩阵关系式[9]：
[K]称为克里格矩阵，为对称矩阵。当[K]、[M]矩阵确定后，即可得到[λ]矩阵。而[K]、[M]矩阵的确定，需要实现选择合适的变异函数模型。
2 方法检验
为了检验克里格插值是否可以用于SST数据空间插值，我们以NOAA的OISST融合数据作为原始数据，将数据块中部分位置处的数据剔除，采用高斯模型进行普通克里格插值，将插值后的数据与原始数据进行比对。原始数据为时间范围2010年1月至2010年6月上旬的162天数据；空间区域为15N~19.5N，120E-124.5E，数据网格点数为20×20；数据时间分辨率为一天，空间分辨率为0.25°×0.25°。剔除数据（待插值数据）的位置见图1，分别位于四角，中心，以及集中在某一角。
图1数据网格及待插值数据位置
定义误差评估参量如下：
相对误差：，平均相对误差：，
最大相对误差：，最小相对误差：，
OISST和KSST分别为NOAA的融合SST数据值和插值的数据值，i、j、t分别为坐标位置和时间。
检验结果如表1所示。
从检验结果来看，如果待插值位置处周围存在充足的数据，可以保证插值后的精度；如果待插值位置周围数据量不足或仅在某个方向有数据，会造成插值结果的不稳定，这应该是没有足够的数据提供相关信息造成的。即使周围数据充足，也可能出现误差较大的插值结果，这可以在后期的SST数据检验中通过梯度阈值进一步的平滑处理。
3 结论
从本文的检验结果来看，采用克里格插值进行小面积的SST数据空间插值是可行的，运算速度和精度均可以满足需求。克里格插值的精度很大程度上依赖于变异函数与实际的吻合程度，而由于海洋各区域存在不同的温度变化趋势，因此通过对实际温度的分析，对不同区域选取不同的变异函数是提高插值精度的一个途径。
参考文献
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考向一、函数的定义域
因为在解答函数题时要时时遵循“定义域优先”的法则，所以定义域经常作为基本条件或工具出现在广东高考试题的客观题中，分值为5分左右，常借助基本代数式的意义及函数的性质来解决，而理请其中的关系是解题的关键，解答这类题有一定的规律可遵循，难度系数一般都不算大，同学们可要把这5分牢牢拿到手呵！不要轻易丢失!
例1． 求函数f（x）=＋的定义域.
解析：由x+1>0，｜x｜-x≠02－x2≥0，，可得x>－1，x
点评：本题主要考查函数的定义域,利用对数函数的真数为正数，分母部分不等于零，根式中的被开方数（式）大于（等于)零是解题的关键，给定函数的解析式求函数的定义域，往往归结于解不等式或不等式混合组，在解不等式组时要特别留心，可结合数形结合思想借助数轴求交集，并且要留心端点值或边界值的取舍.
考向二、函数的求值
函数的求值问题，在广东新课标高考试题中也是频繁出现，常常与其他知识进行交汇，具有一定的综合性，尤其是分段函数、复合函数的求值问题等，是考查考生能力的好题材，要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力.
例2． 已知实数a≠0，函数f（x）=x+2a,x
f（1-a）=f（1+a），求a的值.
解析：a>0时，1-a+2a=-2（1+a）-a,解得a=-，舍去；a
点评：本题主要考查分段函数的求值问题，理解分段函数的概念是解题的关键，注意分段函数是一个函数，不是两个或者三个函数，是自变量在不同取值范围内对应法则也不同的函数，求解分段函数最基本的策略就是“分段处理”.
考向三、函数的性质
函数的性质主要是指函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性，它们往往形影不离，近年来广东新课标高考对函数的性质的考查也是常考常新的，题型方面有客观题，也有主观题.预测2012年高考对函数性质的考查还是以单调性与奇偶性为重点，解答的方法以通性通法为主，当然，若是选择题，我们也可一些特殊的解法（如特殊值代入检验法，排除法），能起到快速解题的作用，但是大前提还是要熟练把握基本定义.
例3． 下列函数中，既是偶函数又是区间（0，＋∞）上的减函数的是（）
A. y=x3+1B.y=-｜x｜+1C.y=x2+1D. y=()-｜x｜
解析：方法1：常规法：由偶函数的知识容易排除A，因为y=x2+1在（0，＋∞）上是单调递增，排除C；因为 y=()-｜x｜=2｜x｜在（0，＋∞）上是增函数，排除D，故选B.
方 法2：特殊值代入检验法：分别取x=1与x=-1代进上述四个选项，可得13+1≠（-1）3+1，由奇偶性的定义可知A不合题意;分别取x=1,x=2,代入剩下的三个选项，可得12+1
点评：本题考查复合函数的奇偶性和单调性，熟练掌握函数的单调性与增减性定义是解答问题的关键，另外结合题目的特点（是选择题）能用特殊值代入检验法解答也不失为一种比较好的办法.
例4． 设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-2x，则f（-1）=()
A.-3B.-1 C.1D.3
解析：方法1：因为f（x）是定义在R上的奇函数，故f（-x）=-f（x），则有f（-1）=-f（1）=-（1-2）=1，选C.
方法2：因为f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=x2-2x，当x
-f（x），故f（x）=-x2-2x，则有f（-1）=-1+2=1，选C.
点评：本题考查函数的奇偶性，思路一是直接利用奇函数的性质，直接通过f（-1）=-f（1）计算；思路二是先利用奇函数的性质，先求出x
例5． 已知函数y=f(x)是定义在（-∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，且f（x＋3）•f（x）＋1＝0，f(x)在区间（-3，0）上单调递增，若a=f（20.3），b=f（5），c=f（－2012），则a，b，c的大小关系是（）
A. a
解析：由f（x＋3）•f（x）＋1＝0，可得f（x＋3）=-，故f（x＋6）=-=-f（x），所以6是函数f（x）的一个周期.因为偶函数f（x）在区间（-3,0）上单调递增，所以函数f（x）在（0,3）上是单调递减的，而b=f（5）＝
f（－1＋6）＝f（－1）＝f（1）；f（-2012）=f（2012）=f（6×335+2）=f（2），因为20
点评：本题主要考查抽象函数的单调性、奇偶性、周期性的推导与性质的综合应用.先根据已知条件推导函数的周期性，根据函数的奇偶性与周期性确定函数在（0，3）上的单调性，然后利用函数的周期性和奇偶性把自变量转化到该区间中，利用单调性比较函数值的大小.
考向四、指数函数、对数函数、幂函数
从近几年的考题来看，广东高考对这三个函数的考查主要是以客观题的形式，主要考查指数函数、对数函数、幂函数的定义域、值域、单调性、图像三个方面的问题，也常与其他问题相结合进行综合性地考查，如与数值的大小比较、求取值范围相结合等，均属中等题目，难度都不算大.
例6． 设函数f（x）=2x-1,x≥1x2-1，x
A. （0,2]B. （0,1]C.[2,+∞）D.[1,+∞）
解析：方法1：常规法：不等式等价于x≥1，2x-1≤2或x
方法2：特殊值代入检验法：不妨取x＝4，则有
24－1＝23＝8>2，不合题意，排除C,D;又因为x＝2时，22－1＝2，符合题意，排除B,故选A.
点评：常规解法尽管思维严谨，但是运算过程比较复杂，“正难则反”，对于某些正面难于解决的问题，若从方面考虑，往往能峰回路转，迎刃而解，本题采用特殊值代入检验法，从排除选择项入手，逐个排除，能快速找到答案.
例7． 若函数f（x）=loga（x2-ax+3）（a>0且a≠1）满足对任意的x1，x2,当x10，求实数a的取值范围.
解析：依题意可得函数在x11,g（）>0，解得1
点评：解决与对数函数有关的问题要特别注意对数函数的定义域，这是研究对数函数的性质、判断与对数函数相关的复合函数图像的重要依据，在运用对数函数的单调性时要注意底数的大小.
考向五、函数图像及其特征
函数图像是从“形”的方面刻画函数的变化规律，既可以看成是函数的一种特定表示方法，又是用来分析和解答函数问题的重要途径，因而函数的图像题也成为高考命题的热点，考查的方式主要以下几种：知式选图、知图选式、图像变换，以及运用图像解题等,预测2012高考的命题方向主要有以下几个：（1）指数、对数、幂函数的图像的有关问题；（2）二次函数图像的有关问题；（3）导数图像的有关问题；（4）函数图像的综合应用.
例8． 函数y=（0
（）
解析：因为y==ax,x>0-ax,x
点评：本题是与指数函数有关的知式选图问题，是高考的常见题型，解答这类题目的关键是先从已知的函数式入手，看看已知函数满足哪些性质，若是奇函数，则函数的图像关于原点对称；若是偶函数，则函数的图像关于轴对称；我们也可以判断函数是否具有单调性，从图像的上升与下降角度来判断；还可以从特殊点，特殊值入手来检查函数是否经过某一个点.
例9． 已知函数f（x）=, x≥4（x-3）3,x
是 .
解析：设g(x)=k，如下图，画出f（x）与g(x)的图像，由图像可知f（x）在[4,+∞)上单调递减且值域为(0,1]，f（x）在（-∞,4）单调递增且值域为（-∞,1），g（x）的图像是一系列平行于轴的直线，关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根等价于两个函数的图像有两个不同的交点，根据图像我们可得实数k的取值范围是（0,1）.
点评：本题是知式画图，图像变换问题，主要考查利用函数的图像来处理方程的根问题，解答这类问题的关键是熟练画出函数的图像，掌握函数图像变换的规律，如f（x）=(x-3)3(x
f（x）=x3(x
考向六、函数模型的应用
函数的模型的应用是高考数学考查函数知识的又一个热点，函数的模型应用问题就是与函数知识为背景设计的，涉及一次函数、反比例函数、二次函数、分段函数，以及形如y=ax+等语言函数的实际应用问题，解答此类问题的关键是从建立函数表达式入手，将实际问题数学化，即把文字语言向数学的符号语言或图形语言转化，最终构建函数的数学模型，在题目给出的实际定义域内求解，要注意仔细分析，捕捉题目中的重要信息.
例10． 一种特色农产品上市时间能持续5个月，预测上市初期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而后期又将出现供大于求使价格连续下跌，现给出三种价格模拟函数：
① f（x）＝p•qx；② f（x）＝logqx+p；③ f（x）＝-x2+px+q；
（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数？
（2）若f（1）=9，f（6）=2（其中表示第1个月，6表示第6个月），试求函数f（x）的解析式，并求出价格的最大值？
解析：（1）由已知特色农产品的价格先上涨，再下跌，反映到函数的图像上就是先是增函数，然后是减函数，根据我们所学过的知识可以知道 f（x）＝p•qx与 f（x）＝logqx+p要么是单调增函数，要么是单调减函数，不可能是先增后减，为此我们选f（x）＝-x2+px+q为价格模拟函数.
(2)依题意可得-1+p+q=7…… （1）-36+6p+q=2…… （2），解得p=6，q=2.
所以f（x）=-x2+6x+2=-（x-3）2+11，当x=3时，取得最大值11，故价格的最大值为11.
点评：函数模型选择问题的最主要方法是待定系数法，本题通过利用所学过函数的性质来确定模拟函数.在分析实际问题的题意的基础上建立函数的模型时，一定要选择好自变量，同时要注意自变量的取值范围，这是解决实际问题的关键,将实际问题转化为数学问题时，在转化的过程中容易产生漏洞，往往只是就某几方面去讨论，忽略了全面地看问题，容易导致错误.
考向七、利用数学思想方法解答函数问题
数学思想是数学知识在更高层次上的概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中.数学思想主要有化归与转化思想、整体化思想、特殊与一般化思想、数形结合思想、函数与方程思想、补集思想等，数学思想在函数问题中的应用是相当广泛的，在解答函数问题时能适时利用数学思想方法解题能起到快速解题的作用.
例11． 已知函数f（x）=3x2-mx+3m-5对满足-1≤m≤1的一切m的值，恒有f（x）
解析：令g(m)=（3-x）m+3x2-5，-1≤m≤1,函数
f（x）=3x2-mx+3m-5对满足-1≤m≤1的一切m的值，恒有
f（x）
点评：在解题过程中能否熟练进行转化是题目“明朗化”的关键所在，本题通过主元、客元之间的转化，起到了化繁为简的作用，化归与转化思想在解题中的作用是相当大的，自觉地利用化归与转化思想解答函数问题有助于提高解题的能力和速度.
例12．函数f（x）=｜ln（2-x）｜在其上为增函数的是
（）
A.（－∞，1] B. ［－1，］
C.［0，） D.［1，2）
解析: 解法1:通性通法:当1
解法2：特殊与一般的思想方法：不妨取x=0，得f（0）=ln2,取x=1,得f（1）=ln1=0，显然f（0）>f（1），因为选项A,B,C都包含有x=0与x=1这两个值，故排除A,B,C，选D.
点评：本题主要考查带绝对值符号的函数的单调性，通性通法是根据绝对值意义去绝对值符号，涉及到分类讨论，过程相对比较复杂，而解法2则是抓住区间[0,1]是A,B,C选项的子区间，取两个特殊值进行代入检验不失为一种解题的快捷途径，对于选择题来说这样解题更好，时间短，速度快，但是同学们一定要加强这类题的训练才能达到这样的要求.对于具有一般性的数学问题，如果在解答过程中感到“进”有困难或无路可“进”时，不妨利用特殊与一般化思想，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊情况，从而更顺利地解答问题.
通知函格式范文5
关键词：拉格朗日插值；Matlab算法程序
[中图分类号]O29;O174.42[文献标识码]A[文章编号]1009-9646（2011）11-0066-02
一、绪论
众所周知，在诸多实际问题中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是由观察与测试得到一些离散数值。如：给定历年职工工资，要求出指定年代的数据。有时，即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，不仅使用不便，而且不易于进行计算与理论分析。由此，插值法便应运而生。下文将详述其插值原理及Matlab算法的实现。
二、正文
插值的定义：设函数在区间[,]上有定义，且已知在点≤
拉格朗日插值：用多项式函数来近似代替的插值方法，称之为多项式插值。设函数在区间[]上有定义，且在[])上个不同点…上的函
其中 为实数。
先构造函数，它们的次数不超过，且满足
然后以对应点处得函数值为系数作线性组合，即得所要求的多项式。由多项式个根故它必有如下形式：
这些函数称为拉格朗日插值基函数，而则是次多项式，且满足
称其为次拉格朗日插值多项式。
插值余项：在上有 阶连续导数，在上存在，则其余项为
, .
三、应用举例
设有观测数据为：
20 4 5
5 1 31
构造三次拉格朗日插值多项式，同时试求出的值
解：
算法实现：由上例可看出，应用拉格朗日插值算法可以在不知道具体函数表达式的情况下得出近似解。这对解决实际问题具有非常重要的意义。只是，当观测所得数据过于复杂且众多时，人工分析计算就显得不合时宜了。由此引入拉格朗日插值算法的计算机实现。
Matlab代码实现:
四、结束语
上述拉格朗日插值原理及举例可看出，采用拉格朗日插值算法，其计算精度在一定范围内能满足要求且便于计算机编程运算，较之一般估值计算确实方便快捷。然而我们也不难看出，拉格朗日插值法却只考虑了单一因素对结果的影响，由此，其应用范围也受到了一定的限制。因此，在实际应用中只能作为一种辅助参考工具，提供一定的参照价值。
参考文献：
[1]刘九州,王昆.功能重置成本法与拉格朗日插值[J].检疫检验科学,2001.5.
[2]徐萃薇,孙绳武.计算方法引论[M].高等教育出版社,2001.4.
通知函格式范文6
函，即信；公函即公务信件。它是上下级和平行机关或不相隶属机关之间在商洽和联系工作、询问和答复问题时所使用的文体。函的特点是不受公文规定的严格限制，如不用正式文件头，也可不编文件号，有时还可不拟标题，因此用起来极为简便。
公函大体有以下几种用法：
1、下级机关向上级机关询问一般事宜，或上级机关答复或催办下级机关有关事宜。
2、平行机关或不相隶属机关之间商洽有关事宜，
3、用函来通知一般事项。如通知开一般性的会议、要求下级机关报送某项材料或统计某些数字等时，也常用公函。
4、向上级机关请示较小事宜也常用函。
函件采用书写、复印、打印、传真等传递方式均可。
函的结构、内容和写法
由于函的类别较多，从制作格式到内容表述均有一定灵活机动性。主要介绍规范性公函的结构、内容和写法。
公函由首部、正文和尾部三部分组成。其各部分的格式、内容和写法要求如下：
（一）首部。主要包括标题、主送机关两个项目内容。
1、标题。公函的标题一般有两种形式。一种是由发文机关名称、事由和文种构成。另一种是由事由和文种构成。
2、主送机关。即受文并办理来函事项的机关单位，于文首顶格写明全称或者规范化简称，其后用冒号。
（二）正文。其结构一般由开头、主体、结尾、结语等部分组成。
1、开头。主要说明发函的缘由。一般要求概括交函的目的、根据、原因等内容，然后用“现将有关问题说明如下：”或“现将有关事项函复如下：”等过渡语转入下文。复函的缘由部分，一般首先引叙来文的标题、发文字号，然后再交代根据，以说明发文的缘由。
2、主体。这是函的核心内容部分，主要说明致函事项。函的事项部分内容单一，一函一事，行文要直陈其事。无论是商洽工作，询问和答复问题，还是向有关主管部门请求批准事项等，都要用简洁得体的语言把需要告诉对方的问题、意见叙写清楚。如果属于复函，还要注意答复事项的针对性和明确性。
（三）结尾。一般用礼貌性语言向对方提出希望。或请对方协助解决某一问题，或请对方及时复函，或请对方提出意见或请主管部门批准等。
（四）结语。通常应根据函询、函告、函商或函复的事项，选择运用不同的结束语。如“特此函询（商）”、“请即复函”、“特此函告”、“特此函复”等。有的函也可以不用结束语，如属便函，可以像普通信件一样，使用“此致”、“敬礼”。
（五）结尾落款。一般包括署名和成文时间两项内容。
署名机关单位名称，写明成文时间年、月、日；并加盖公章。
撰写函件应注意的问题
函的写作，首先要注意行文简洁明确，用语把握分寸。无论是平行机关或者是不相隶属的行文，都要注意语气平和有礼，不要倚势压人或强人所难，也不必逢迎恭维、曲意客套。至于复函，则要注意行文的针对性，答复的明确性。
其次，函也有时效性的问题，特别是复函更应该迅速、及时。像对待其他公文一样，及时处理函件，以保证公务等活动的正常进行。
中国科学院××研究所关于建立全面协作关系的函
