正弦定理教案范文1
关键词： 解三角形 正弦定理 余弦定理
在学习解三角形的内容中，我们学到最重要的两个工具――正弦定理和余弦定理，并且归纳出正弦定理和余弦定理的使用情况。目的是让学生能够更准确地使用两个定理，但是一旦根据条件解出一个条件之后，再利用什么定理求解，教师并没有特别强调。所以在学生完成作业的过程中出现了这样一个问题：
已知a=2，b=1+■，c=60°，求c，∠A，∠B.
正解：已知两边及其夹角，首先使用余弦定理求边c，代入公式进行计算得：
c■=a■+b■-2abcosC=2■+（1+■）■-2×2×（1+■）×cos60°=6
c=■
cosA=■=■=■
∠A=45°
∠B=180°-45°-60°=75°
错解：已知两边及其夹角，首先使用余弦定理求边c，代入公式进行计算得：
c■=a■+b■-2abcosC=2■+（1+■）■-2×2×（1+■）×cos60°=6
c=■
■=■
■=■
sinB=■
0°
∠B=75°或105°
当∠B=75°时，∠A=45°
当∠B=105°时，∠A=15°
b>c
∠B>∠C
两解均可
起初看到这样的求解，觉得是计算错误，才会出现这样的情况。后来经过验算发现，从公式运用到推理说明都没有任何问题。先求出边c后运用正弦定理先求角B的度数，然后用“大边对大角”的方法进行检验。只是这个检验不能删去多余的错误结果。
如果换个做法，求出边c后还是用正弦定理先求角A的度数，那么也能舍去一解，从而得到正确答案。
■=■
■=■
sinA=■
∠A=45°或135°
a
∠A
∠A=45°
∠A=75°
这样的问题说明：解三角形的问题在正弦定理和余弦定理都能用的情况下，如果没有选择正确，就会影响问题解决的速度和运算的难易程度，甚至会产生错误的结果。同样还有一例，也有类似的情况。
已知AB=6，BC=2■，∠C=60°，求AC.
分析已知件属于“两边一对角”，首先选用正弦定理解决。
■=■
■=■
sinA=■
∠A=45°或135°
AB>BC
∠C>∠A
∠A=45°
∠B=180°-45°-60°=75°
接下来求AC边的长，又有方案1。
方案一使用正弦定理
■=■
■=■
正弦定理教案范文2
我们的课堂虽然是学案导学教学方法，但学案仍是我们上课用到的工具，我们需要对学案进行二次开发，才能更好地利用学案，使它为课堂教学服务，所以想上好课仍在于精心备课.首先，备学生如何面对课堂上的“学生”，如何巧妙启发“学生”，引导“学生”，激发“学生”呢？通过教学的实践与探索，我感到备课中备学生是最重要的，教师在备课过程中，应用系统方法分析预估学生的预习情况，学生在预习学案的过程中不会的是什么，易错的是什么，学生在课堂教学中可能提出的问题是什么？进而确定教学目标，设计解决问题的步骤，选择相应的教学策略和教学媒体，分析评价其结果的过程.其次，备教材，也就是整个课堂教学目的明确、主线要清晰，重点要突出、要淡化和避开次要的和难懂的，以使学生能集中精力，把主干内容掌握好，并能综合应用.最后，备时间，完成各个学习目标的时间应合理.所以一堂课下来评价的标准：一是教师是否完成教学目标；二是是否让学生最大效率掌握本节课知识；三是关注各个环节是否做到最优化.例如我上《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》这节复习课，围绕学习目标和重点、难点结合对学生预习情况的估计做出如下课堂设计：
学习目标：
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
4.熟悉公式的结构及角的结构，能灵活应运公式.
重点与难点：
重点：公式间的推导及联系
难点：公式正用，逆用，变用
教学过程：
第一，让学生用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，因为学生预习了，推导不是问题，那我就会设计问题：
C（α-β）为什么和向量的数量积建立起关系，如何确立关系？
第二，利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.再导出两角和的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式，让学生了解它们的内在联系.
差角公式：sin（α-β）=cos［（■+β）-α］ tan（α-β）=■
和角公式：sin（α+β）、cos（α+β）、tan（α+β），以-β代替差角公式中的β.
二倍角公式：sin2α、cos2α、tan2α.让和角公式β=α.
第三，熟悉公式的结构（正用、逆用、和变形结构）并通过求值、求角两例题体会公式正用中对角的结构的关注.
辅助角公式：asinθ+bcosθ=____________；
（当■是什么数时，配角为特殊角？它是通过上述哪个公式推导出来的呢？）
降幂公式：
sin2α=___________； cos2α=______________；
tanα+tanβ=________； 1+tanαtanβ=_____；
1+cos2α=__________； 1-cos2α=______；
1+sin2α=__________； 1-sin2α=__________.
例1.（1）已知tan（α+β）=■，tan（β-■）=■，求tan（α+■）的值.
分析：求值题体会角的结构：如何把要求的角α+■用已知角α+β和β-■表示？目的转化成两已知角的和或差或二倍的关系，进而体现和差角公式和二倍角公式的正用.
（2）已知tan（α-β）=■，tanβ=■，α，β∈（0，π），求角2α-β的值.
分析：求角题转化求值题，需要确定2α-β角的范围，求值后需要2α-β角的范围.所以如何压缩2α-β的范围成为这节课的难点.
最后，结合课前对预习情况的检查确定某一位学生做好课堂小结.
正弦定理教案范文3
圆这部分内容涉及到平面几何的重要概念、性质、定理. 在解题过程中综合应用初中阶段所学几何以及代数知识，既考查数学的“双基”，又考查数学能力与创新思维，是历年中考的必考内容.
【知识梳理】
知识点一 圆的定义及有关概念.
重点掌握圆的定义及有关概念.
难点熟练掌握运用概念.
1. 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.
2. 有关概念：弦、直径; 弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距；等圆、同圆、同心圆.
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦.
在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧.
例1已知点P为O内一点，OP＝3cm，O半径为5cm，那么在经过P点所以弦中，最长弦的弦长为cm，的最短弦长为cm.
解题思路经过圆内一点的弦中，最长的弦是经过这一点的直径，而最短的弦是则是和这条直径垂直的弦.
答案10 cm，8 cm.
知识点二平面内点和圆的位置关系
重点掌握平面内点和圆的位置关系及数量关系.
难点运用点和圆的位置关系及数量关系.
平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内.
当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点在圆外；
当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点在圆上；
当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点在圆内.
例2如图，在RtABC中，直角边AB＝3，BC＝4，点E，F分别是BC，AC的中点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，则点E在圆A的
，点F在A的. （填“外部”或“内部”或“圆上”）
解题思路利用点与圆的位置关系.
答案外部，内部.
练习在直角坐标平面内，O的半径为5个单位长度，而圆心O的坐标为（－1，－4）. 试判断点P（3，－1）与O的位置关系.
答案点P在O上.
知识点三圆的基本性质
重点掌握垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及推论.
难点定理及推论的运用.
1. 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧.
3. 圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
4. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
圆周角定理推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
例3如图，在半径为5cm的O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（）
A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm
解题思路在一个圆中，若知圆的半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离为d，根据垂径定理，有R2＝d2＋（）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个.
答案C.
例4如图，A，B，C是O上的三点，∠BAC＝30°，则∠BOC的大小是（）
A. 60°B. 45°C. 30°D. 15°
解题思路运用圆周角与圆心角的关系定理.
答案A.
例5如图1和图2，MN是O的直径，弦AB，CD相交于MN上的一点P，∠APM＝∠CPM.
（1） 由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由.
（2） 若交点P在O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由.
解题思路对于（1）要说明AB＝CD，只要证明AB，CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等. 对于（2），上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的. 解法略.
例6如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到C，使AC＝AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？
解题思路BD＝CD，因为AB＝AC，所以这个ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD，然后证明AD是高或是∠BAC的平分线即可. 解法略.
练习
1. AB是O的直径，AC，AD是O的两弦，已知AB＝16，AC＝8，AD＝8，求∠DAC的度数.
2. 如图，以?荀ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC，AD于E，F，若∠D＝50°，求的度数和的度数.
3. 如图，C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO＝120°. （1） 求证：AB为C直径； （2） 求C的半径及圆心C的坐标.
答案1. （1） AC，AD在AB的同旁，∠DAC＝30°. （2） AC，AD在AB的异旁，∠DAC＝90°.
2. BE的度数为80°，EF的度数为50°.
3. （1） 略；（2） 4，（－2，2）.
知识点四圆与三角形的关系
重点掌握确定圆的条件、三角形的外心、内心.
难点确定圆的条件、三角形的外心、内心等知识熟练运用.
1. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
2. 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆.
3. 三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心.
4. 三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆.
5. 三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心.
例7如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图所示，A，B，C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址.
解题思路连结AB，BC，作AB，BC的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位置.
例8如图，点O是ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝（）
解题思路解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点.
答案A.
例9如图，RtABC，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ）
A. 5cmB. 2.5cmC. 3cmD. 4cm
解题思路直角三角形外心的位置是斜边的中点.
答案B.
练习
1. 如图，ABC内接于O，AB是直径，BC＝4，AC＝3，CD平分∠ACB，则弦AD长为（）
A. B.C.D. 3
2. 设I是ABC的内心，O是ABC的外心，∠A＝80°，则∠BIC＝°，∠BOC＝°.
答案1. A2. 130°160°.
知识点五直线和圆的位置关系：相交、相切、相离
重点直线和圆的位置关系的性质和判定.
难点直线和圆三种位置关系的性质及判定.
当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d＜r时，直线和圆相交.
当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d＝r时，直线和圆相切.
当直线和圆相离时，d＞r；反过来，当d＞r时，直线和圆相离.
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径.
切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角.
例10在ABC中，BC＝6cm，∠B＝30°，∠C＝45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的A与直线BC相切？相交？相离？
解题思路作ADBC于D，在RtABD中，∠B＝30°， BD＝AD. 在RtACD中，∠C＝45°. CD＝AD. BC＝6cm， BD＋CD＝AD＋AD＝＋1）AD＝6. AD＝3(－1)cm. 当r＝3（－1）cm时，A与BC相切；当r＞3（－1）cm时，A与BC相交；当r＜3（－1）cm时，A与BC相离.
例11如图，AB为O的直径，C是O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB＝∠A.
（1） CD与O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由.
（2） 若CD与O相切，且∠D＝30°，BD＝10，求O的半径.
解题思路要说明CD是否是O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C.
答案（1） CD是O的切线；（2） O的半径是10. 解法略.
练习
1. 如图，AB为O直径，BD切O于B点，弦AC的延长线与BD交于D点，若AB＝10，AC＝8，则DC长为.
2. 如图，P为O外一点，PA，PB为O的切线，A，B为切点，弦AB与PO交于C，O半径为1，PO＝2，则PA＝，PB＝，PC＝，AC＝，BC＝，∠AOB＝°.
3. 如图，P为O外一点，PA切O于点A，过点P的任一直线交O于B，C，连结AB，AC，连PO交O于D，E.
（1） 求证：∠PAB＝∠C.
（2） 如果PA＝PD•PE，那么当PA＝2，PD＝1时，求O的半径.
答案1. 2. 1203. （1） 提示：作直径AF，连BF；
（2） O的半径为.
知识点六圆与圆的位置关系
重点两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用.
难点探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题.
外离：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部.
内含：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部.
外离和内含统称为相离.
外切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部.
内切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部.
外切内切统称为相切.
相交：两圆只有两个公共点.
设两圆的半径分别为r1，r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系可得d与r1和r2之间的关系.
外离d＞r1＋r2；外切d＝r1＋r2；相交│r1－r2│＜d＜r1＋r2；内切 d＝│r1－r2│；内含0≤d＜│r1－r2│. （其中d＝0，两圆同心）
例12两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP，NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小.
解题思路需要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示. 解法略.
例13如图1所示，O的半径为7cm，点A为O外一点，OA＝15cm，求：
（1） 作A与O外切，并求A的半径是多少？
（2） 作A与O相内切，并求出此时A的半径.
解题思路（1） 作A和O外切，就是作以A为圆心的圆与O的圆心距d＝rO＋rA；（2） 作OA与O相内切，就是作以A为圆心的圆与O的圆心距d＝rA－rO. 解法略.
答案（1） A的半径为8cm；（2） A的半径为22cm.
练习
1. 已知两圆的半径分别为5cm和7cm，圆心距为8cm，那么这两个圆的位置关系是（）
A. 内切B. 相交C. 外切D. 外离
2. 半径为2cm和1cm的O1和O2相交于A，B两点，且O1AO2A，则公共弦AB的长为（）
A. cmB. cm
C. cmD. cm
3. 如图所示，半圆O的直径AB＝4，与半圆O内切的动圆O与AB切于点M，设O的半径为y，AM＝x，则y关于x的函数关系式是（）
A. y=x2+xB. y=-x2+x
C. y=-x2-x D. y=-x2-x
4. 如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上.
（1） 若点B坐标为（4，0），B半径为3，试判断A与B位置关系；
（2） 若B过M（－2，0）且与A相切，求B点坐标.
答案1. B2. D3. B4. （1） AB＝5＞1＋3，外离. （2） B（0，0），B（4，0）.
知识点七正多边形和圆
重点讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系.
难点使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系.
正多边形的中心：所有对称轴的交点；
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径.
正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径.
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角.
正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形.
例14如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积.
解题思路要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OMAB于M，在RtAOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长. 正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的. 解法略.
答案正六边形的周长为6a，面积为a2.
例15在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于ABC的矩形水池DEFN，其中D，E在AB上，如图的设计方案是使AC＝8，BC＝6.
（1） 求ABC的边AB上的高h.
（2） 设DN＝x，且=，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
（3） 实际施工时，发现在AB上距B点1.85m的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.
解题思路要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值. （3）的设计要有新意，应用圆的对称性就能圆满解决此题. 解法略.
答案（1） h＝4.8；（2） 当x＝2.4时，S矩形DEFN最大；（3） 方案如图，此时，这样设计既满足条件，又避开大树.
1. 如图，若O的周长等于6πcm，求以它半径为边长的正六边形ABCDEF的面积.
2. 若半径为5cm的一段弧长恰好等于一个半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（）
A. 18°B. 36°C. 72°D. 144°
答案1. 正六边形的面积为设正六边形边长为cm22. D.
知识点八弧长和扇形、圆锥侧面积面积
重点n°的圆心角所对的弧长l＝?摇，扇形面积S＝?摇，圆锥侧面积面积及其它们的应用.
难点公式的应用.
1. n°的圆心角所对的弧长l＝；
2. 圆心角为n°的扇形面积是S＝；
3. 全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积＝πrl＋πr2.
例16操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转. 求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.
解题思路如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB，AD分别交于点M，N，连结OA，OD. 解法略.
例17已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm2.
（1） 求扇形的弧长；（2） 若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
解题思路（1） 由S＝
求出R，再代入l＝求得.
（2） 若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，圆锥母线为腰的等腰三角形. 解法略.
答案（1） 扇形的弧长为20π；（2） 这个圆锥的轴截面面积为200cm2.
【练习】
1. 已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）
A. 3B. 4C. 5 D. 6
2. 已知圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（）
正弦定理教案范文4
关键词： 数学教学 创新思维 教学艺术
目前，随着教学理论研究和教学实践的深入，中学数学创新思维能力的培养与研究的教改在全国各地学校如火如荼地开展着。笔者身临其境，感同身受，深刻体会到学生创新思维能力培养的关键在课堂，而运用新型中学数学课堂教学艺术，让学生感到学习数学是一种艺术欣赏的过程。学生认识数学的科学意义和文化品位，体会数学的美学价值，有利于促进创新思维能力的形成。因此，笔者就数学课堂教学中运用“以境激情”、“研探论证”、“反馈矫正”、“总结评估”四个环节进行了有益的探讨。
一、运用以境激情的艺术
以境激情即教师引导学生尽快进入创设的问题情景，使学生尽快把握教学方向，领悟教学全貌，营造一个良好的氛围。
1.开门见山的激情艺术
“问题是数学的心脏”。“问题解决”的教学已成为数学教学的重要模式之一。教师精心、巧妙地设置问题，开门见山地明确提出问题，引导学生主动分析问题、解决问题，有利于促进学生主动探索、积极思维，充分发挥学生的主体作用，让学生在动脑、动口、动手的活动中掌握知识和方法，提炼规律。
案例1：面面垂直的判定定理
在面面垂直的判定定理教学中，笔者开门见山提出问题：前面我们学习了线面垂直的判定，今天来探讨面面垂直如何判定。
这样开门见山的提出问题，有利学生把握教学的前貌，旨在激发学生探求新知识的欲望。学生自然会主动探讨以下问题：
（1）什么叫面面垂直？面面垂直如何画？如何表示？
（2）教室里有哪些面面垂直的例子？如何从这些实例中得出面面垂直的判定？
2.情感激情的艺术
案例2：函数的概念
笔者从一个有趣的“绕圈子”问题谈起（多媒体显示）：在世界著名水城威尼斯，有一座马尔克广场，广场的一端有一座宽82米的雄伟教堂，教堂的前面是一片开阔地，这片开阔地吸引着四方游人到这里做一种奇特的游戏：先把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端教堂走去，看谁能到达教堂的正前面。你猜怎么着？尽管这段距离只有175米，却没有一名游客能到达目的地。他们全都走成了弧线，或左或右，偏斜到了另一边。1986年，挪威生理学家解开了这个谜团，他分析了大量事例，发现：这一切都是由于人自身的两条腿在作怪。由于习惯，每个人一只脚迈出的步子，要比另一只脚迈出的步子长一段微不足道的距离，而正是这一段很小的步差x，导致人们走出了一个半径为y的大圈子。设某人两脚踏线间相隔0.1米，平均步长为0.7米，当人在打圈子时，圆圈半径y与步差x为如下关系：y=0.14/x(0＜x＜0.1)。
上述生动和趣味的学习材料是学习的最佳刺激，在这种情景下，复习初中函数定义，引导学生分析以上关系也是一个映射，将函数定义由变量说（传统定义）引向集合、映射说（近代定义）。学生在这种情景下，乐于学习，有利于信息的贮存和概念的理解。
3.设置激情的艺术
案例3：形如asinx+bcosx的三角函数的化简（尤拉公式）
教材把它放在三角函数和差化积之后，对于这一教学内容，笔者在教学上作了灵活处理：把它提前到两角和差的正、余弦公式之后。因为和角公式就是尤拉公式的思维最近发展区，从逆用和角公式出发，引入形如asinx+bcosx的三角函数的化简，使学生能沿着思维台阶拾阶而上，逐层设置，这样可使和角公式与尤拉公式浑然一体，衔接自然。
案例4：三垂线定理
学生原有的认知结构中已有直线与平面垂直的定义和判定定理。从思维的最近发展区出发，平面的垂线垂直于该平面内的所有直线，那么，平面内的哪些直线垂直于平面的斜线呢（激发认知冲突）？
分析问题：（如图1）设L是平面α的斜线，O是斜足，P是L上异于O的一点，PA是α的垂线，A是垂足，于是直线AO是斜线L在平面α上的射影，从思维的最近发展区即直线和平面垂直的判定和性质出发，如果平面内的直线a垂直于斜线L，又aPA，那么a平面POA，从而aAO，即只要平面内的直线垂直于斜线在平面上的射影即可。问题从而得以解决，实现了学生的思维顺应。笔者在学生原有知识和所要完成的学习目标间搭建“支架”，使问题序列形成台阶，以便学生逐级攀升，让学生以已经具备的经验为基础主动建构。
以境激情的方法很多，总的原则是创设情景，激趣激疑，营造清新的学习环境。
二、运用研探论证的艺术
研探论证是数学课堂教学中最重要的环节，它是课堂教学的主体。教学的全过程，是学生活动的全过程，教师指导与辅导的全过程，要让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程，经过严密的推理论证，形成良好的思维品质，培养学生的创新意识，发展学生的思维能力。
案例5：两角和的余弦公式
推导这一公式有大量的思维活动要展开：
（1）提出问题：求cos（45°+60°）的值。由此学生猜想：cos（α+β）与cosα、cosβ的关系。在验证cos（α+β）≠cosα+cosβ后，提出cos（α+β）究竟等于什么？笔者明确要研究的问题：将两角和的余弦用单角α、β的三角函数（正、余弦）来表示，即研究三个角：α+β、α、β的正、余弦之间的关系，而不急于将结论和盘托出。
（2）为什么要用直角坐标系中的单位圆来研究？直角坐标系中的单位圆是我们研究三角函数问题的最有利工具，而根据任意角的三角函数的定义，角的余弦和正弦就是角的终边与单位圆交点的坐标，也就是用坐标来研究我们的问题。上述三角函数之间的关系可转化为点的坐标之间的关系问题来研究。
（3）为什么要作-β角？这是难点，需要突破。笔者先作出α、β、α+β角后，角α、β、α+β的终边与单位圆分别交与点P2、P3、P4，角α、β、α+β的余弦和正弦已转化为点的坐标。要寻找α+β、α、β的正、余弦之间的等量关系，即寻找等角、等长线段。与α+β的三角有关的一条弦，故可寻找与线段P1P4相等的线段（如图2）。此环节为了更好地突破教学难点，利用计算机辅助教学，将∠OP1P4进行旋转，在旋转的进程中，线段P1P4长度不变（P1P4是与α+β，α、β的三角有关的一条弦），为了找到α+β、α、β的等量关系，须将∠OP1P4的边OP4旋转到α的终边OP2的位置，即作出角-β。
三、运用反馈矫正的艺术
为了更好地巩固与深化教学，笔者充分揭示教学知识的本质特征，使之纳入学生的认识系统，教学中设置的“质疑答辩”教学段，充分调动学生提出疑义，提出争执，提出反问，师生共同解析易错误易混淆的问题。爱因斯坦曾说过：“提出一个问题比解决一个问题更重要。”学生敢于反问，敢于质疑是探究能力的基础，可以促进学生思维的批判性和创造性的形成。
四、构建总结评估的艺术
课堂小结和课外作业，有利于促进全体达标，培养学生个性，促进思维品质的发展。良好的开端和发人深省的结局会给人带来预想不到的效果，所以小结不等同于一节课的简要复述，也可以新颖别致，有所升华。
案例6：直线方程的两点式
这节课的小结采用列表的方法进行编码(含四种形式的条件、方程、局限性)帮助识记，界定适用范围，同时对不能用这四种形式表示的直线即特殊位置的直线方程另外编码，为进一步解决矛盾，即下节课“直线方程的一般形式”埋下了伏笔，起到承上启下的作用。
课堂小结可以让学生畅所欲言课堂的收获，这些收获包括知识的收获，也包括非智力品质方面的收获。
案例7：两角和与差的余弦
上完两角和与差的余弦这堂课，笔者让学生谈课堂的收获，学生畅所欲言，总结了很多。笔者将学生的总结摘录出以下几点：
（1）不用查表求cos105°、cos75°、cos15°等值。
（2）直角坐标系中的单位圆是我们研究三角函数问题的最有利的工具，研究三角函数问题可借助单位圆。
（3）等量关系体现到图形中是等角、等长线段。
（4）作-β角是思维优化过程。
教师也可以精心设计一些课后动手题，通过问题的解决来小结课堂教学。
例如“正弦函数的图像”这一节课的结尾，笔者给学生留下了这样一个问题：两个直径相同的圆柱形纸筒粘在一起，每个纸筒展开后接口的形状如何?这是一个实际动手操作问题，展开后接口的形状是正弦函数图像（如图3，图4）。这样的结尾，既培养了学生的思维品质，又为下一节课“正弦函数的性质”的掌握奠定了基础。
总之，以上四个教学环节，相互联系，互相渗透，不能将它们截然分开，它们共同形成数学课堂教学的统一体。立足课堂，运用新型数学课堂教学艺术，培养学生创新思维能力，是一个不断实验的过程。新形势下的中学数学教师应与时俱进，强化创新意识，反复实践，把培养学生的创新思维能力落到实处。
参考文献：
［1］邵瑞珍.教育心理学［M］.上海教育出版社，1997.
正弦定理教案范文5
就拿和弦的识别与构成来说，和弦知识点的讲授顺序可以这样：
基本概念：原位三和弦和弦的根音（1度音）、三音、五音各种类别三和弦的三度、五度具体的类别（究竟是大三度还是小三度；纯五度、减五度还是增五度）和弦低音是几度音和弦转位及其标记。
识别方法：判断是否原位，若是原位，则确定三度和五度的具体类别，得出结论；是转位，则先转回原位进行识别。识别过程的本质是判断三度和五度究竟是什么音程、低音是几度音。
构成方法：原位和弦直接构成三度和五度，如果是转位，先（根据转位数字）确定所给低音是几度音，究竟是什么音程，然后就可以从所给音向下构成这种音程，得到根音，再用另一个音程构成另一个和弦音，至此，将所有求出的音写在所给音上方就完成了。三和弦构成的本质：正确构成根音和其它和弦音的两个音程。构成原位和弦是以（所给音）根音为音程的下方音向上构成两个音程，构成转位和弦则是先以所给音为上方音向下构成音程得到根音，然后以根音为音程的下方音向上构成第二个音程。
三和弦的构成顺序：
三和弦：根音三音五音
六和弦：三音根音五音
四六和弦：五音根音三音
例：以b为低音构成小六和弦。这里，b是三度音，小三和弦中三度音是小三度，那么，从b向下小三度是升g（根音），再从根音向上纯五度得到升d，最后答案是b-升d-升g。
同样，七和弦则是需要完成三个音程。把握好每个几度音和根音究竟是什么音程，就可以很轻松地完成，先找到根音，再构成其他音。这里似乎需要记忆的信息量比三和弦多，但实际上可以看成两个部分，也就是和弦类别名称的两个字。如大小七，大（大三和弦）包含了大三度、纯五度的信息，小指小七度音程，这样就不会担心要记忆的信息量太多，而且和弦名称也是“组合”出来的，并不需要额外的记忆。如，f为低音构成减小五六。f是小三度音（其他和弦音到根音要向下构成音程），根音就是d，五音（减五度，从根音构成，所以向上减五度）就是降a，七度音（小七度，从根音向上）就是c，最后答案是f-降a-c-d。
七和弦的构成顺序：
七和弦原位：根音三音五音七音
五六和弦：三音根音五音七音
三四和弦：五音根音三音七音
二和弦：七音根音三音五音
综上所述，无论是三和弦还是七和弦，在构成时总是需要先确定根音，进而确定其他和弦音。
很多学生可能会表现出对于七和弦结构的学习很不清楚，或者虽然很清楚，却总是不能更高地提高速度。这时教师可以用另一种更加形象的方法进行训练：以sol、la、si三个音对应大小七、小小七、减小七，即
大小七就是sol（sol-si-re-fa）
小小七就是la（la-do-mi-sol）
减小七就是si（si-re-fa-la）
然后再稍作一些问答练习，如小小三四是什么？
小小七是la-do-mi-sol，小小三四就是mi-sol-la-do（把二度放在中间），就是小三度、大二度、小三度。
再如以c为低音构成减小五六和弦。
减小七是si，si是si-re-fa-la，五六就是re-fa-la-si（把二度放在上面），由此可见，减小五六就是小三度、大三度、大二度，以c为低音构成这些音程，答案是do-降mi-sol-la。在这个过程中，思维分五个部分进行工作：1.在sol、la、si中选择；2.将一个音变成一个和弦的四个音；3.将这个和弦转换到要求的转位形式；4.抽象出和弦的音程构成；5.在指定音级上完成这些音程。在反复多次的构成、构唱练习后，前四项逐渐合并为一项，最终会做到一步到位。
无论碰到什么问题，学生都可以快速反应出此种和弦的具体三个连续的音程，构成也就很容易了。
至于减减七和弦，则只需记住二度都是增二度，三度都是小三度则立刻会牢牢记住了。
使用这种方法，首先要让学生把三种和弦所对应的三个音记牢，然后通过练习使学生把每个音代表的四个音熟练掌握，在这个过程中，可能会出现一个变四个时不能严格按照三度进行排列，从而无法得到原位组合，一般练习几个就基本能够掌握了。下来，熟练掌握转位时，可能会出现不能把二度音程放在合适位置，只要稍加练习即可掌握，和弦结构问题就变得很简单了。这种方法是“模仿思维”方式。这种“模仿思维”虽然能较快解决七和弦的构成问题，但还是应该进一步掌握和弦结构中的各种基本概念，才能避免考试中题型或提问角度稍作变化就无所适从的现象，才能为以后学习和声学中和弦排列、和声功能的基本计算打好基础。
某些老师由于在讲解过程中感到学生理解上有困难，就要求学生采用死记硬背的学习方式，归根结底是教师没有对这些知识点进行举一反三的思考，对知识本身规律性现象没有充分进行总结归纳。要求学生死记硬背每个和弦的“公式”，表面上看立竿见影，但是对其所以然就不甚了然了，以至于题型稍作变化就无法解答、如果出现大大七和弦、增大七和弦、小大七和弦就无法识别和构成等等。笔者以为，“乐理”教学一定要重“理”，道理、理性、原理，而不是简单地罗列一大堆表格、公式让学生去死记硬背那样粗暴简单。
为了说明乐理教学中的“举一反三”问题，再举调号教学的例子来说明。
调号的识别相对简单，确定调号则要难一些。
基本的概念要讲清楚，如大调式和小调式的音级之间的音程构成，学生应掌握从某一音级按照这些音程构成规律使用临时记号写出大小调音阶的能力，这也是调号的来历。
进入练习环节，在熟记七升七降的顺序之后，除了传统的快捷方法如大调升号调最后一个升号音级向上小二度是主音、倒数第二个降号音级是大调主音等方法之外[1]，这里介绍一种更加统一、对称的方法。
升号调从c向上构成升号数量的纯五度，降号调从c向下构成降号数量的纯五度，所得到的音级为大调主音，如果从a音开始向上或向下构成则所得到的音级为小调主音。
如三个升号调是什么大调？大调从c开始，升号调向上，三个升号，连续生成三个纯五度，分别是do-sol，sol-re，re-la，最后得到A，由此可见，三个升号是A大调。
再如两个降号是什么小调？小调从a开始，降号向下，两次纯五度，分别是la-re，re-sol，由此可见，两个降号是g小调。
前面说过，确定调号比识别调号要困难，这主要体现在不知道所指定的调是升号调还是降号调。这里有一些可以遵循的规律：大调以c、小调以a为下方音，指定调主音音名为上方音，如果构成大音程或增音程，则是升号调，如果构成小音程或减音程，则是降号调。如：不知道f小调是升号调还是降号调，那么从a到f是一个小六度音程，一个小音程，所以是降号调，四个降号。b小调是什么？从a到b是一个大二度音程，大音程是升号调，可见b小调是升号调，两个升号。
参考文献：
正弦定理教案范文6
【关键词】高中数学；探究教学；自主学习；实际应用
新的数学课程改革旨在改善传统的数学课堂教学，倡导在教学活动中要以学生的主动发展为重点，注重培养学生的自主意识，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师的指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习.新的课程标准更加注重突出学生的主体地位，培养学生的参与意识，情感体验，探究发现和创新能力，充分体现了“让学生主动发展”的理念.20世纪50年代，美国芝加哥大学的教授施瓦布首先提出了探究式教学的理论，认为在教学过程中要引导学生像科学家一样去发现和解决问题，在探究过程中主动去获取新的知识，以培养学生的创造能力和创新精神.
一、在高中数学教学中运用探究式教学法的必要性
探究式教学是指在教学中教师精心安排数学问题，启发学生的数学思维，让学生自主探究、独立思考、自主发现和解决数学问题，获得对知识的理解和数学能力的养成.高中数学新课程标准指出，在高中数学教学中教师要注重引导学生主体意识的发展，创新利用教材，合理创设问题情境，让学生自主探究、独立思考、自己解决问题，培养学生的创新意识和创造能力.教育部也曾明确指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿和记忆，动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方法.”因此，在高中的数学教学中，特别针对高考的数学复习课中采用探究式教学方法，正是新课程改革理念的内在要求和素质教育的价值目标，对于改善我们传统的教学模式，提高数学课堂教学效率，培养学生的创新意识和数学创造能力，都具有重要的作用和现实意义.
二、探究式教学法在高中数学教学中的实际应用
1.在数学教学中利用学生认知上的矛盾质疑，引导学生积极进行数学探究和思考
应用探究式教学法开展高中数学教学首先要引导学生积极进行数学探究和思考，让学生先处在矛盾状态，以矛盾深深扣动学生的心弦，在发现矛盾、发现疑点的过程中提出质疑，寻找答案.通过引导学生对问题进行分析、对比、演绎、归纳、总结，找到解决问题的方法，激起学生的思维，主动思索数学问题，使学生的学习由“被动接受”转换成“主动探究”.
教学实践表明，通过矛盾质疑，使学生的探索发现意识在“冲突——平衡——再冲突——再平衡”的循环和矛盾中不断强化，能激发学生主动探索，还能有效地促进学生“自我反思”和“观念冲突”，形成批判性思维习惯和良好的数学观.
2.引导学生互动交流，面向全体学生展开合作探究
在实际教学中，要多让学生接触一些开放性问题，在对这些问题的认识和理解上，不追求大统一，不搞一言堂，不设计标准答案，不轻率地否定学生的探索，积极鼓励学生向书本挑战，鼓励学生另辟蹊径，多视角、多层面地探索和研究问题.在课堂上组织学生广泛开展合作交流，激发全体学生参与合作探究教学，让学生在立体互动的交往中发展数学能力.
新课标所倡导的新的学习方式是自主学习、合作学习、探究学习的学习方式，通过合作探究教学，让学生在广泛的交流与合作探索过程中主动获得新的知识和解决问题的技巧，树立自主学习的意识和合作探究的精神，提高探究式教学的效率.
3.创设问题情境，引导学生主动发展，自主发现数学命题，培养问题探究的意识
《数学课程标准》指出：“要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程.”在高中数学教学中通过创设问题情境可以让学生初步体验将要学习的数学知识，为理解数学知识做好准备，为发现数学原理提供帮助，并且能够为学生提供与数学有着直接的和重要作用的经验，以及情感性的支持，从而自主地去发现数学命题，培养学生主动发展的意识.
例如，在一些数学公式、定理的教学中，教师通过创设一些开放性、操作性的数学问题情境，提出要解决或研究的问题，让学生利用已有的知识和教师提供的材料进行观察，联想，发散思维，自主探究，独立思考，自主发现数学命题.举个例子，正弦函数y=sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦函数的对称中心.除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，对称中心的坐标是什么？
另外，正弦曲线是轴对称图形吗？
如果是，对称轴的方程是什么？
你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？
对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题.
课堂教学中通过对正弦曲线的图像特征的探究、观察发现正弦函数除原点外，还有其他对称中心，由正弦函数的周期性可知，其对称中心的坐标为（kπ，0），k∈在课堂教学中，教师可引导学生作问题探究，进一步概括出如下结论：
（1）正弦曲线、余弦曲线的对称中心都是曲线与x轴的交点，即平衡点，其对称轴都正好是使正弦或余弦函数值取到最大（小）值.
（2）正切曲线的对称中心包括曲线与x轴的交点，还包括一些其他在x轴上的点.
通过运用这样的情境展开探究式教学引导学生积极探索和思考，通过自主学习和探究，学生对数学知识的吸收和数学命题的理解更加深刻，体验到了自己发现数学命题的快乐，激发了学习兴趣和信心，从而有效提高了高中数学教学效率.
4.纵向深入引导探究，针对数学高考的创新，提高学生解决数学问题的能力和方法
问题解决是一个发现、探索和创新的过程，它也是一种基本技能，是提出问题、建构数学模型、设计求解方法、检验答案等各类技能的整合.采取探究式教学最终就是要提高学生的数学能力，培养学生解疑求难、掌握方法的能力.学生对需要解决的问题首先要进行观察与理解，然后提出各种可以用于问题解决的策略并进行假设检验，最后在教师指导和自己的探索下，形成自己解决问题的理念和策略.
总之，在新课程改革的指导下，我们在高中数学教学中尤其是针对高考的数学复习，应有效采用探究式教学方法，引导学生积极进行数学问题的探究和思考，培养自主学习，提高数学能力，促进学生更好地发展和获取数学知识与能力.
【参考文献】
[1]赵忠彦.关于新课标下高中数学探究式教学的几点思考[J].数学教学研究，2008（10）：50.
