除法的计算方式范文1
一、由已有计算经验入手，初步感悟算法
计算教学的安排一般是每个课时都会出示一幅场景图，目的是引出某种运算，写出一个运算式。其实，我们可以从计算的本身出发，让学生写出几个与今天学习内容有关的计算式，引导学生进行知识间的迁移和应用已有的知识经验学习新知，这样的导入更具有针对性。因此，我每次教学计算内容时，课前都为学生准备几道和本节课所学有一定关联的练习题，让学生通过做复习题回忆已有的计算经验，为学习新知打下基础。如教学“整十数除以整十数”时，有这样一道例题：“60本《科学天地》，每20本一包，能打成几包？”课堂上，我先出示6÷2、8÷2 9÷3、16÷4等口算题，在学生利用乘法口诀很快算出结果后提问：“60里面有几个十？6里面有几个一？6÷2=3，那60÷20等于多少呢？你是怎么想的？”因为已经有6÷2=3的学习经验，学生纷纷说道：“6个十除以2个十等于3个十，就是30。”“60和20后面的0先不管，6÷2=3后，再把0填上。”……学生通过复习旧知自然地过渡到新知的探究中去，轻松地掌握了整十数除以整十数的口算方法。
其实，各种计算就是口算的重新组合，口算能力的高低直接影响计算能力。所以，每节课伊始，我会给学生出示一些有针对性的口算题、心算题、笔算题。尤其是教学计算单元时，我会设计一些与本节课教学内容有关的复习题。如教学“三位数除以两位数的笔算除法”时，由于学生已学过三位数除以一位数，且三位数除以两位数的笔算除法与三位数除以一位数的计算原理基本相同，只是试商方法略有不同而已，所以我设计了以下几道复习题：“192比较接近几百几十呢？32比较接近几十？29接近几十？145接近几百几十？”
口算：160÷20 190÷30
笔算：124÷4 146÷3
教学：192÷32
先让学生尝试计算，并说说自己是怎么算的，我再引导学生说出：192可以看成180，32可以看成30，所以可以商6。学生因为有之前的复习基础，所以对这些不难理解，自然地掌握了试商的方法，类似的算式都轻松解决，收到了事半功倍的教学效果。
二、回忆已有的计算经验，自主探究算法
计算不是简单机械的运算，而是要在理解的基础上进行计算。在进行计算之前，教师要引导学生认真读一读每个算式，当然，这里的读不是一般的、无目的的读，而是要认真分析算式，解读算式的本质。如计算35+23时，各数位上的数分别相加，应用的是进位和不进位的口算加法，这时学生只有熟练掌握口算技巧和具备较强的口算能力才能提高笔算能力。学习笔算乘除法，其实就是在熟练掌握加减法的口算和表内乘法口诀的基础上，掌握正确的计算方法，才能使计算又对又快。
如教学“三位数乘两位数”时，我先出示144×5、116×5这两道三位数乘一位数的算式，在学生板演后让他们回忆总结三位数乘一位数笔算乘法的方法，再将这两道算式变式为144×15、116×15，并提问：“这样的算式你还会算吗？试一试，并说一说自己是怎么想的。”对144×15这道算式，可以引导学生分解为144×5=720、144×10=1440、720+1440=2160。这里，学生利用已有的学习经验将笔算化为口算。然后我通过课件出示144×15=2160的竖式，如下。
144
× 15
720
144
2160
此时，学生更容易理解用十位上的1去乘144时，积的末位为什么要和乘数的十位对齐的道理了。在全班交流汇报后，我指出：“这里的1表示1个十乘4等于4个十，应该写在十位上。”然后让学生用口算的方法写出这三个式子，再引导学生写出竖式，这样有利于学生理解为什么要这样列竖式的理由，并且很好地理解和掌握“用十位上的数去乘时，得数的末尾要和乘数的十位对齐”的知识点。这样教学，既突破三位数乘两位数的计算重、难点，又使学生轻松地掌握了计算的方法和算理，而不需要提醒并反复强调“得数末位要和乘数的十位对齐”，收到了意想不到的教学效果。因此，我们教学计算时可先引导学生解读算式，用口算分步计算，再将每一步的结果写到竖式上，这样由横式――竖式的过渡会更自然些，使学生更容易理解，进而熟能生巧了。
三、新旧知识间对比练习，发现运算规律
小学生的年龄特征和心理特征会导致他们对重复的活动感到厌倦，因此我们要避免机械重复的练习，设计多样化的习题，激发学生的学习兴趣。尤其要利用好课后的习题，让学生在对比练习中掌握计算的本质，不断归纳总结出隐藏其中的运算规律，形成计算技能，进而能熟练准确地进行计算。
如教学“三位数除以一位数的笔算除法”一课的“想想做做”时，我重点让学生对比以下练习的第（3）题，要求学生先不计算，再引导他们观察每一组算式，并提问：“你发现了什么？”
（1）378÷2 （2）465÷3 （3）532÷4 （4）846÷6
378÷6 465÷5 532÷7 846÷9
这样教学，使学生明白它们的被除数相同，除数不同。接着我又问：“不计算，你能说出它们的商各是几位数吗？”在学生回答后，我追问：“为什么上面一组算式的商是三位数，而下面一组算式的商是两位数呢？”因为上面一组算式的除数等于或小于被除数最高位上的数，商的最高位在百位上，所以商是三位数；下面一组算式的除数都大于被除数最高位上的数，因此商的最高位在十位上。最后，我再让学生验证计算，看看自己的想法是否正确。这样进行对比性练习，既避免了枯燥单一的计算，又让学生在比较中掌握计算的方法，收到了事半功倍的教学效果。
计算教学中，除了让学生掌握计算方法、了解算理外，更要让学生在练习中自主发现一些隐含其中的运算规律。这样使计算学习有章可循，让学生真正了解计算的内在本质，提高学生的学习兴趣。如教学“除数是整十数的笔算除法”一课中练习一的第6题时，我让学生先填表（如下），再在小组里说说自己的发现。
[被除数＼&20＼&40＼&80＼&160＼&320＼&除数＼&5＼&10＼&20＼&40＼&80＼&商＼&＼&＼&＼&＼&＼&]
在学生发现“被除数和除数同时除以2，商不变”后，我再让学生举例验证，得出结论：被除数、除数同时除以一个相同的数，商不变。最后，我让学生应用发现的规律（商不变规律）去解决问题，培养学生自主探究学习的能力。
除法的计算方式范文2
关键词 建模思想 小学数学 除法竖式计算教学
中图分类号：G623.5 文献标识码：A
0 引言
小学属于学生形成一定的数学思维意识、初步感知数学学习魅力的关键阶段。若老师教学时，还沿用古板的教学理论、教学方式，则很难提升的学习积极性及热情。在此种情况下，建模思想在小学数学教学中起到的作用就渐渐显现出来，它应用事物规律，经简化、假设的方式，在未知量和已知量间构建相应的数学模型，可清晰地解释各种数学现象、规律，以简单、通俗的方式将一些复杂的数学知识展现给学生，便于逻辑思维能力要求强的数学知识展现出来，便于学生学习及掌握相应的数学知识。因此，深入了解建模思想在小学竖式计算教W中的应用效果，对提升小学生的学习能力起到积极作用。
1 融入建模思想，培养小学生的思考能力
建模思想在小学竖式计算教学中，可帮助学生学习数学理论知识的同时，还能使学生对数学模型有一定基本的了解，在之后的学习中也相对容易。而且，在实际教小学竖式计算教学中，老师需了解建模特点，并协调好数学理论知识点和数学模型间存在何种联系，使学生了解学习重点，同时将建模过程简化，促进学生学习。
例如，以“9？”的竖式计算为例展开讲解，方法为：第一，老师先安排4位学生尝试着在黑板上用竖式写出9+3，，9-3，9？，9？，在计算除法时，大多数学生会选择和9？相似的竖式计算9？；第二，老师肯定了学生的类推后，指导学生使用工具操作、符号操作来建构9？的数学竖式计算模型（加、减、乘、除）。老师拿出9本书，问学生若将99本书平均分给2个同学，1个可以分几本？，并把竖式中涉及的除数、被除数、除号、商写出来；第三，老师提问学生1人分得3本书，3人共有几本书？如何求解所分出的9本书？学生得出答案3？=9与竖式计算的积9。之后提问分掉9本书之后，老师还剩余几本书？学生回答0，板书9-9=0与竖式内代表“0”横线和0；第四，老师让学生试着将竖式计算过程表达出来，9除以3商3，三三得九，9减去9等于0；第五，老师让学生仔细观看除法的竖式计算过程，回想自己在黑板上写的过程，这样可使学生经实际操作后，在大脑中积累一定的操作方法，在之后的学习中，慢慢学会将操作方法和符号构建构建相应的联系，逐层深入学习“加、减、乘、除”的简单数学计算模型，这对之后学习如何构建除法竖式计算模型有很大帮助。
2 优化建模过程，提高小学生的解题能力
数学课程学习过程中，对学生思维能力、逻辑能力的要求相对高，而数学语言作为数学思维的核心工具之一，在实际学习中，若学生的数学语言表达能力相对差，则在学习中，对于数学思维的理解也会有一定的难度。这就要求在小学竖式计算教学中，老师通过有序表达，促进数学模型应用，同时优化建模过程，便于学生理解的同时，还能培养其思维能力，促进学习。
例如，小学数学老师为学生讲解“乘除法竖式计算”这部分内容时，老师可先让学生表述之前笔算学习中，构建的“加、乘、乘”、“减、乘、商”的竖式算法过程，并以“864？”这一式子为例展开如下讲解：第一，根据问题与“减、商、乘”的竖式计算模型，指导学生思考迁移，如864最高位属于什么位？（百位）；第二，根据以前学习习惯，思考先选用几个100来除以2，怎样“减、乘、商”？再运用几个10除以2，如何“减、乘、商”？而后应用几个1除以2，如何“减、乘、商”？第三，在老师和学生的互动过程中，学生会潜移默化地生成下述竖式计算方法：先使用8个100除以2，商4得4个100，运用我们学过的乘法口诀“二四得八”，而后8减8得0，后用6个十除以2，商3得3个10，运用口诀“二三得六”，而后6减6得0，最后用4个1除以2，商2，口诀“二二得四”，最后4减4得0。在以上表述过程中，让学生明白除法的计算先从高位开始算起，然后一步一步的开始往下计算，使整个建模过程变得更加简单化，通过简明的表述与简约的板书，使小学生清楚地理解并掌握一个三位数除以一个一位数的具体竖式计算方法，步骤为：第一步先用几百去除，第二部再用几十去除，第三步用几个1去除，各步骤均要进行“商、乘、减”。若被除数高位上的数字比除数小不够除，则需和十位上的数字结合起来一起去除，经过长时间学习后，可慢慢生成相应的竖式计算模型。
3 优化建模方式，简化小学数学问题
小学竖式计算教学中，利用建模思想把一些抽象的问题，变得更加简单化，这样有利于学生学习并掌握相应的解题方法。这就要求老师应在协调建模理论的同时，简化数学知识点，使小学生在学习数学知识时，学会融合数学（下转第94页）（上接第80页）建模。
例如，以某一习题为例展开讲解：“桌子上放着13颗糖果，一个盘子放6颗糖果，请问可以放几盘，还剩下几颗？”老师要学生做相应的思考如何求解以上问题，并适当提点学生该问题属于平均分问题，将13颗糖果6个6个地分，列出式子为13？。老师让学生自己来计算结果，并说出自己的想法。学生可以先思考13这个数里面包含有2个6，这样可以分出12颗糖果，还剩下1颗没有放入盘子，计算式子可列为：13？=2（盘）……1（颗）。学生通过计算以上式子，老师做仔细讲解后，可将计算方法分成以下几个步骤计算：第一，13里面包含有多少个6（所得出的结果为商）；第二，分出几个（老师可以用图表演示出来，这一步骤很关键，学生需要记住）；第三，还剩下几个（所得出的结果就是余数）。学生通过以上分析，可将复杂的问题进行分解，计算简化，可使小学生理解及体验数学竖式计算中，建模方法的优化流程，这对小学生之后学习一些复杂的运算帮助很大。
4 结语
综上阐述，在小学数学竖式计算教学中，有效利用建模思想，不仅能优化竖式计算流程，还能使一些复杂的数学计算问题变得更加简单化，具体表现在：优化建模方法，简化小学数学问题、优化建模过程，提高小学生的解题能力、融入建模思想，培养小学生的思考能力等方面。通过构建数学建模，可大大吸引小学生对数学学习积极性及兴趣的同时，还能帮助学生掌握学习重点、掌握数学计算方法，这对今后进一步提升小学生的数学解题速度、保证答案准确等方面具有重要参考意义。
参考文献
[1] 林大鹏.基于建模思想的“列方程解决实际问题”的教学与思考[J].小学教学参考，2013.14（26）：40.
除法的计算方式范文3
教学“竖式除法计算”一课时，我以为很简单的一个知识点，学生学习应该很顺利，没想到在新授课上却发生了意外。在口算48÷2时，学生都能得到计算结果为24，但到了竖式计算的环节，学生却出现了错误。如下：
■
显然，这两种错误很离谱，也有些莫名其妙，我很快打了大大的红“×”号。可在批改作业时，发现仍有一部分学生犯同样的错误，这让我对学生的解题思路产生了好奇。于是，我认真询问了学生的想法。学生回答：第一个竖式，从个位算起，先看8除以2等于几，二四得八，8÷2=4，从48里边去掉8还剩40，40除以2等于20，十位上是2，这样就得到商是24;第二个竖式，先从个位算起，二四得八，8除以2等于4，从48中减去8还剩下40，40除以2等于20，刚好除尽，所以商为24。从学生的想法来看，显然是有道理的，可为什么要从个位开始进行除法计算呢？学生认为，以前学习竖式计算时，加法、减法、乘法都是先从低位算起的，那么除法应该也不例外。根据学生的这一算法，我觉得很有道理，但是否能够适用所有的竖式除法呢？于是，我追问：“如果被除数的个位不能被除数整除呢？你还能采用这样的方法来进行竖式计算吗？如45÷3，你怎么计算？”学生立刻写出答案，并说出了自己的想法：“因为个位上的5除以3除不尽，所以要从十位上借1，这样个位上的数变成了15，三五一五，15÷3=5;从45中去掉15剩下30，30除以3等于10，正好除尽，所以商是15。”
分析及对策：
上述学生的错误虽然从程序上不符合教材所要求的从高位入手进行竖式计算，但学生能够进行独立思考，将以往的数学经验顺利迁移到新知学习中，这足以说明学生具有合情推理的能力。那么，如何将这一合理思考顺利地迁移到从高位入手进行竖式计算这一思路上来呢？我认为，不管是从高位入手进行竖式计算，还是从低位入手进行竖式计算，由于学生的数学经验相对较少，所以他们无法进行独立的抽象思考。作为教师，如果只是强制性地给学生指令，告诉他们必须从高位入手进行竖式计算，那么势必导致学生被动接受知识，虽然也会收到效果，但不利于学生数学思维的发展。于是，我决定从学生已有的知识经验出发，运用对比，让学生直观体验，分析哪种计算方法更便捷、更优越。
我先让学生用从低位入手的方法计算72÷3，学生计算过程如下：先算2除以3，不够整除，所以要从十位退1，加上个位上的2就是12，12除以3，三四十二，12÷3=4;71减去12还剩下60，再计算60除以3，60除以3等于20，正好除尽，所以商就是24。我追问：“想一想，可以从低位入手算起，那么能不能从高位入手开始算呢？”学生经过思考后写出算式，并汇报计算过程：72÷3，十位上的7除以3商为2，二三得六，7减去6还剩下1，其实是10;10加上个位上的2就是12，再计算12除以3，三四十二，商为4，正好可以整除，最后的得数十位上为2，个位上为4，所以72÷3的结果为24。接下来，我让学生分析比较两种计算方法的思维过程，学生认为从高位算起简单便捷，从低位算起比较复杂。于是我让学生重新计算48÷3，经过讨论后，学生发现从高位算起直接快速，从低位入手更适合口算，而口算则不需要进行竖式计算。由此，学生明确了竖式计算要从高位算起的一般规律。
思考：
不可否认，教师教学中往往会遇到一些另类的学生，他们有时会运用独特且富有创造性的思维方法来解决问题，但往往因为和教材设定的范本有所不同而被教师忽略，甚至被教师定位为错误，画上红红的“×”号。面对错误，教师为何不给学生一个辩解的机会，从学生的辩解入手展开教学呢？其实，教学中类似的情形并不鲜见，这让我有了以下的思考。
1.积累错误资源，发展思维
课堂教学中，无论是学生的作业还是发言都会出现错误，而这些错误正是宝贵的教学资源。教育家奥加涅相曾经指出：“教师忽视解题过程，把习题作为评价知识和技能、技巧等的主要手段，忽略数学思维能力的培养和发展，这已经成为数学教育的顽疾。”《数学课程标准》中也指出：“教师应当引导学生充分呈现和暴露自己的思维过程，使学生在自主思考中获得抽象思维的发展和对数学概念的建构，提高数学能力。”学生的错误既是呈现和暴露思维过程的最佳途径，也是展开思维过程的资源所在。
2.辩明错误思维，顺势而导
如上述案例中，学生的错误都是因为从低位算起导致的。在小学数学知识体系中，整数范围内的笔算加法、减法、乘法都是从低位算起的，只有除法是从高位算起的。学生之所以会出现这样的错误，说明受到笔算加、减、乘竖式计算的负迁移影响，导致整数除法的经验出现断层。此时，教师就要给学生一个机会，让他们为自己的错误辩解，说明自己的解题思路，展现自己的整个思维过程。教师则可以顺藤摸瓜，顺着学生的思维因势而导，这样既能有的放矢地对学生进行针对性的教学，又能使学生得到不同的发展。
除法的计算方式范文4
1．加强小数与整数的联系。由于小数与整数在计数形式、计算方法等许多方面联系非常紧密，所以教材注意在已学的整数有关知识的基础上，教学小数乘、除法的计算法则。如通过具体例子，着重说明小数乘、除法的计算法则与整数乘、除法基本一致，不同的主要是小数点的处理。讲整数乘法运算定律推广到小数时，指出对小数同样适用。由于突出了小数和整数的联系，很多内容就不需要完全当作新知识讲，可以引导学生把已学的整数知识迁移到小数中去，然后区分与整数不同的地方。这样既节省教学时间，又使学生易于掌握小数知识，还有利于培养学生迁移类推的能力。
2．改进应用题的编排，加强解题方法的教学。本册教材在应用题方面，先复习已学过的两步应用题和比较容易的三步应用题，在此基础上总结解答应用题的一般步骤，并适当扩大应用题的范围，出现一般的三步应用题以及有相遇关系的行程问题，进一步提高学生分析和解答应用题的能力。
3．加强动手操作，渗透数学思想方法，进一步发展学生的空间观念。加强实际操作是发展学生空间观念的有效途径。教材继续通过实际观察、制作、测量、拆拼等活动，使学生获得有关图形大孝特征的深刻印象，清楚地理解各种图形的面积计算公式的来源，能够根据所给的已知条件正确地计算有关图形的面积。
同时，教材注意在操作过程中渗透数学的思想方法，如数学变换思想，使学生把有关的图形知识很好地联系起来，促进新旧知识的转化，既可以帮助学生总结概括出计算公式，又可以发展空间观念，为以后进一步学习几何知识积累直观经验。
4．适当加强简易方程。简易方程属于代数知识。在小学数学中适当引入一些代数初步知识，有利于学生巩固和加深对已学过的知识的理解；可以使一些整数、分数、百分数的应用题（主要是逆思考的）化难为易，减轻学生学习负担，提高学生解题能力；有助于培养学生的抽象思维能力；有利于加强中小学数学的街接。下面就本册教材各单元的主要内容和编写意图作一简要介绍。
一、小数的乘法和除法（一）小数乘法这部分内容主要包括小数乘以整数和一个数乘以小数，积的近似值，连乘、乘加、乘减和整数乘法运算定律推广到小数。小数乘以整数和一个小数乘以小数，教材都是先讲意义，再讲计算方法。在教学小数乘法的计算方法时，先启发学生想怎样把小数乘法的计算转化成整数乘法，然后根据因数扩大倍数引起积的变化的规律过程，最后再引导学生分析积的小数位数与被乘数、乘数的小数位数的关系，帮助学生总结出小数乘法的计算法则。学生在做整数乘法时已经形成积总是大于被乘数的印象。学过小数乘法后，发现乘积有时比被乘数反而小，有些学生会产生困惑。
为此，教材在本节的最后引导学生把例题中的积和被乘数的大小进行比较，启发学生自己发现，积与被乘数的关系。这样可以使学生对小数乘法的意义认识得更清楚。在小数乘法中，求积的近似值，是在求小数的近似数的基础上进行教学的。教材通过实例说明在小数乘法中求积的近似值的方法。要根据实际需要确定保留一定的小数位数。教材中的练习题一般都注明得数要保留几位小数，但是也有些题目没有注明要求，而让学生根据实际情况确定，以培养学生运用所学的知识解决简单的实际问题的能力。小数的连乘、乘加、乘减是在整数四则运算顺序的基础上进行教学的。
教材首先复习整数的连乘、乘加、乘减的计算，然后再进一步说明小数的运算顺序同整数是一样的。接着通过一道例题教学小数连乘的计算方法。小数的乘加和乘减没有单设例题讲解，而是让学生在已有的知识的基础上类推的。整数乘法运算定律对于小数乘法同样适用。这部分教材的安排同小数加减法基本相同，教学时要启发学生想怎样计算比较简便，应用了哪条乘法运算定律，以培养学生思维的逻辑性。此外，还要提醒学生，以后在做练习时能用简便运算的就要用简便运算。
（二）小数除法这部分内容主要包括小数除法的意义，除数是整数的小数除法，一个数除以小数，商的近似值，循环小数和简便计算。小数除法的意义是在整数除法的意义的基础上进行教学的。
教材首先是通过一组应用题，让学生直观地看到，小数除法的意义和整数除法的意义相同，也是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。然后，通过一道要求根据小数除法的意义写出小数除法计算式的商，使学生进一步熟悉小数除法的意义。小数除法的计算可以分两种情况：一种是除数是整数的，另一种是除数是小数的。由于除数是小数的除法计算要通过商不变的性质变化成除数是整数的小数除法来计算，所以除数是整数的小数除法是学习小数除法计算的基矗除数是整数的小数除法，教材先通过例题着重说明除数是整数的小数除法的计算步骤与整数除法基本相同，唯一不同的是解决小数点的位置问题。除数是小数的除法是小数除法教学的重点。教材通过一道例题着重说明如何把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法这一关键问题，再通过一道例题讲解被除数的小数位数比除数的小数位数少的情况。最后再引导学生根据上面两个例题总结概括出除数是小数的除法的计算法则。商的近似值的教学，由于前面已经教学过一个小数的近似数和求积的近似值，在这个基础上，教材通过一道计算题，让学生自己想象商的近似值。然后再帮助学生总结出取商的近似值的一般方法。取近似值的方法除了“四舍五入法”以外，还有“去尾法”和“进一法”。
这些方法在实际生活中也有一定用处。考虑到学生年龄较小，生活经验又少，对后两种方法不作为共同要求，只在练习题中安排了星号题，为学有余力的同学增加一点知识。循环小数这部分内容概念较多，又比较抽象，是教学的一个难点。教材通过两道除法计算，使学生看到由于余数重复出现，商也重复出现，而且这样的重复是循环不断的。从而，引出循环小数的概念。循环节、纯循环小数和混循环小数等概念都是本册教材的选学内容。
二、整数、小数四则混合运算和应用题（一）整数、小数四则混合运算整数、小数四则混合运算是在学生已经掌握的整数四则混合运算和小数四则运算的基础上，对整数、小数四则混合运算进行概括、总结和提高。通过教学要使学生进一步掌握整数、小数四则混合运算顺序，学会使用中括号，能够正确地计算整数、小数四则混合运算式题。四则混合运算的顺序学生在前面已经学习过，但没有用第一级和第二级运算来叙述，本节教材通过例题明确提出第一级运算和第二级运算的概念，并在此基础上对四则混合运算的顺序进行了概括总结。为了提高学生灵活运用知识的能力，教学时，可以结合例题告诉学生，在计算混合运算式题时，为了提高学生灵活运用知识的能力，有时虽然整个题目不能每一步都用简便计算，但是有的步骤能用简便计算的，要尽量用简便计算。在列综合算式时怎样使用中括号，本册教材是在教学列综合算式解答文字题和应用题时引入的，以进一步提高学生列综合算式解答文字题和应用题的能力。学生在列综合算式解答三步应用题时，特别要注意括号的使用，如果有的学生直接列综合算式有困难，也可以让他们先分步列式，再改成列综合算式。
（二）应用题这一节主要包括两部分内容：前一部分是在已有知识的基础上总结解答应用题的一般方法和步骤，进一步扩展一般应用题的解题范围。后部分教学以反映两个物体运动为内容的相遇问题。通过教学，要使学生掌握解答应用题的一般方法和步骤，会列综合算式解答三步计算的应用题，初步掌握两个物体同时运动时速度、时间和路程之间的数量关系，会解答一些比较容易的行程应用题，进一步提高学生解答应用题的能力。解答应用题的一般方法和步骤，教材是在学生已有知识的基础上，通过解答一道应用题总结整理出来的。通过这样的归纳、整理和总结，便于学生较系统地掌握解答应用题的一般方法和步骤，提高学生的分析问题和解答问题的能力。
教学解答应用题的一般步骤时，可以按照教材提出的问题，依次引导学生思考和解答。关于应用题的检验，教材在原有检验方法的基础上，进一步介绍了第二种方法（把得数当作已知数，一步步逆推，看得数是否符合其中的一个已知条件）。由于这种检验应用题的方法比较难，要给学生讲解一下，同时还应向学生强调，检验是解答应用题的重要一步，既使题中没有要求检验，自己也要先检验，再写答案。归一、归总的三步应用题是在归一、归总的两步应用题的基础上教学的。
教材先通过复习题复习已学过的两步计算的归一题，然后通过改变其中的一个条件引出归一的三步应用题。之后，教材还在“做一做”中进一步提出：如果把复习题的问题改变该怎样解答？使学生明确在两步题的基础上，不仅可以通过改变条件把它变成三步题，而且还可以通过变化问题的问法把原来的两步题改为三步题，以加深学生对两步题与三步题的联系的理解。有关计划与实际完成数相比的应用题，在实际生产和生活中应用比较广泛，有必要让学生学习和了解。但是考虑到学生对这类问题接触不多，理解起来有一定的困难，因此教材专门安排了一个例题进行讲解，并在例题和练习题的选取上注意选取学生比较容易理解的和常见的数量关系。有关行程问题的应用题，这里以相遇问题为主，研究两个物体在运动中的速度、时间和路程之间的数量关系。两个物体运动的情况是多种多样的，有方向问题、出发地点问题，还有时间问题。学生要全部掌握这些是较困难的。
本册教材的重点是教学两个物体相向运动的应用题。其中又以“相遇求路程”和“相遇求时间”两种为主。学好两物体相向运动的相遇问题，关键是弄清每经过一个单位时间，两物体之间的距离变化。由于学生在这方面的生活经验较少，往往不易理解相向运动的变化特点，为此教材首先出现准备题，说明什么叫“相向而行”和“相遇”。然后再通过例题教学“相遇求路程”和“相遇求时间”的应用题。四步计算的应用题，大纲中规定不作共同要求，也不作考试内容。但考虑到教学这些应用题不仅可以复习、巩固已学过的应用题，而且还可以进一步提高学生分析解答应用题的能力。
因此，本册教材把这些应用题专门作为一段，安排在本单元的最后，供有条件的学校和班级选学。
除法的计算方式范文5
关键词：CORDIC算法；除法器；FPGA；数字信号处理
中图分类号：TN710文献标识码：B
文章编号：1004-373X(2008)24-027-04
Complex Divider FPGA Implementation Based on CORDIC Algorithm
WANG Jingcun,WANG Yingbo
(College of Information Science and Engineering,Wuhan University of Science and Technology,Wuhan,430081,China)
Abstract：In the modern digital signal processing circuit design,the divider has a wide application.A complex division of the design thinking and methods are described,CORDIC algorithm is applied in the complex division operation,the use of CORDIC rotating operation to replace multiplication and addition operation,finally result is gotby two-bit-shift operation.After CORDIC rotating,data enlarged two interfaces at most,thereby reducing the hardware devices in the number of iterations.FPGA verification results show that the whole design computing speed,saving devices,and high precision.
Keywords：CORDIC algorithm;divider;FPGA;digital signal processing
1 引 言
现代数字信号处理中，通常信号以复数形式出现并进行各种处理，这样就无法避免复数信号进行除法运算。国内外关于除法器的研究已经进行了很长时间，并且一直都在研究发展当中［1］。目前已经有多种算法，比如：恢复余数法、不恢复余数法［2］、双比特算法［3］、SRT算法［4］、牛顿叠代算法［5］等。在一般的单片机中，主要采用恢复余数法和不恢复余数法两种算法，它们的优点是算法简单且容易通过硬件实现，但处理速度比较慢。牛顿算法需要用到查找表，那么肯定通过大量ROM来实现，会消耗大量的器件，但其整体结构简单，容易实现。SRT算法硬件规模较小，运算精度很高，但该算法比较复杂，硬件实现比较困难。双比特算法是基于不恢复余数法的基础上出现的，每个周期可以左移2位，运算速率提高1倍。以上这些都是针对实数除法器提出的算法思想，复数除法器正是在这些实数除法器算法基础上来实现的。为此提出了一种基于CORDIC算法并结合双比特算法在FPGA上实现复数除法器的方法。
该方法大量节省了器件，并能得到较高的性能。它具有如下2个重要特征：
(1) 减少运算量。乘法器、加法器是很耗器件的，这里运用CORDIC算法来避免乘法操作、减少加法操作；
(2) 减少迭代级数。双比特除法算法减少了实现的迭代级数，提高了效率，节省了器件。
2 复数除法器算法描述
设计的复数除法器用到了CORDIC算法和双比特算法。在接下来的部分先分别介绍它们基本原理，然后说明如何运用二者到复数除法当中去。
2.1 CORDIC算法的一般原理
CORDIC (Coordinate Rotation Digital Computer) ［6］，又名：坐标旋转数字计算，是J.Voider等人于1959年在设计美国航空导航控制系统的过程中提出来的算法。CORDIC算法适用于解决一些三角学的问题，如平面坐标的旋转和直角坐标到极坐标的转换等。该算法的基本思想是通过一系列固定的、与运算基数有关的角度的不断偏摆以逼近所需的旋转角度［7］。
例如：计算OQ=OP・ejθ。即将向量OP逆时针旋转θ度角得到向量OQ，假设分n次旋转，第i次旋转角度为δiθi，并且满足关系tan θi=2－i，约定δi代表向量的旋转方向，第i次旋转时与目标角度的差为Zi，可令Z0=θ，Zi+1=Zi-δiθi，于是Zn0。当Zi≥0，δi=1；当Zi
xi+1=xi－δi×yi×2－i
yi+1=yi+δi×xi×2－i
zi+1=zi－δi×arctan 2－i(1)
经式（1）的n级旋转迭代，这里会有一个幅度的畸变因子k=∏∞n=01+2－2i1.646 768。用该叠代方程组进行运算，结果会放大k倍，得到的新向量的数据位宽最多会放大2位。
运用上面提到的CORDIC原理，可方便求任一向量的模。只需将向量逐步旋转，直至新向量无限接近于x轴，那么新向量的虚部就接近于零，而实部就是所要求的模放大了k倍的值。如果直接用实部、虚部平方，再开方运算，硬件实现起来相当复杂。而用CORDIC旋转来求得，硬件实现起来简单得多，因而耗器件很少。
2.2 双比特移位算法
双比特算法是在不恢复余数法的基础上实现的。在介绍双比特算法之前，有必要先简单介绍一下不恢复余数法的原理。不恢复余数法又称加减交替法，其基本原理是，先做被除数x与除数y的减法得到余数rm。若余数为正,够减，商“1” ，余数左移1位，接下来继续减除数再判商；若余数为负,不够减，商“0”，余数左移1位，接下来的操作变为加除数再根据结果判商，如此重复操作。该操作次数等于除数的位数。
采用双比特算法后，从每次左移1位变成移2位了，移位相减操作次数减少了一半。每次移2位后变为新变量newrm，这样每次操作就要产生2位商，这2位商的取值是通过对3个减法器的结果进行判断来得到的［8］。这3个减法器结果分别为：
rm1=newrm-y
rm2=newrm-2y
rm3=newrm-3y(2)
对应的商值如下所示:
quo［2i+1∶2i］=11，rm3≥0;
quo［2i+1∶2i］=10，rm3
quo［2i+1∶2i］=01，rm2
quo［2i+1∶2i］=00，rm1
由于双比特算法每次移动2位，所以它的执行周期比不恢复余数法降低了近一半。它非常适合高性能的运算。同时因为能减少器件，所以在面积上也有其优越性。
2.3 引入CORDIC算法后的复数除法思想
复数p=x1+y1j除以复数q=x2+y2j，计算公式如下：
x1+jy1x2+jy2=
(x1x2+y1y2)+j(x2y1－x1y2)x22+y22(4)
由式（4）可知，硬件实现该除法运算需要做6次乘法，3次加法，最后还有做2次除法，耗大量器件是可想而知的。这样的运算可以运用CORDIC算法来使其简单化。
引入CORDIC算法，将向量q=x2+jy2做旋转使之无限接近x轴，变为新的向量q2=x22+jy22（此时：y220）。p=x1+jy1跟着旋转相同角度变为新的向量p2=x11+y11j。那么新的计算公式如下：
x1+jy1x2+jy2x11+jy11x22+jy22=x11x22+jy11x22(5)
由式（5）可知，经过CORDIC旋转之后，向量q2和p2同时放大了1.646 768倍，这并不影响除法结果。然后只需做x11/x22，y11/x22两次实数除法，这里引入双比特算法来实现。硬件上可以复用1个实数除法器来完成2次除法运算，就得到了最终结果。
注意，CORDIC旋转只适应一、四象限的向量。如果这里的除法向量不在一象限或四象限，可以给该向量加负号使之调整到一、四象限。同时被除数向量做同样调整，使它们保持一致
性。这样的调整方法可覆盖各个象限，适用任何情况数据的运算。
3 复数除法器的结构设计
3.1 整体体系结构
基于CORDIC算法的复数除法器的总体结构框图如图1所示。
图1 复数除法器的总体结构框图
该系统主要由CORDIC旋转模块和实数除法器模块组成。被除数向量x1+jy1和除数向量x2+jy2经CORDIC旋转模块旋转相同角度得到新的向量X11+jY11和X22+jY22，此时，Y220；X11与X22，Y11与X22再经过实数除法器模块得到最终的除法结果Quo1，Quo2。其思想可在式（5）中表现出来。
3.2 CORDIC旋转模块
该模块实现被除和除法向量的旋转，得到2个新的旋转向量。这里根据式（1）的逻辑思想进行改进，每级的旋转方向由上一级的输出除法向量的y值符号进行判断来旋转。按新逻辑思想可在FPGA上设计实现一级旋转单元。本模块设计可以根据性能要求来确定旋转单元迭代的级数。本设计用到了12级旋转单元迭代，结构框图如图2所示。
图2 CORDIC模块框图
图2采用的是流水线设计，该设计可以达到较高的速率。第一组数据经过第1级模块延时1级；接着经过第2级模块又延时1级，同时第二组数据经过第1级模块延时1级；依此类推，第一组数据经12级延时从最后一级出来，而第二组数据经13级延时从最后一级出来，后面数据照这样延时输出。可见，整体数据延迟是一级延迟。
在对设计的时间要求不严格的前提下，可采用复用一级旋转单元，这样可以节省器件。如要实现12级迭代，那么复用的旋转单元的输出数据需返回给单元的输入，再次进行旋转操作。这样返回操作11次，在第12次取单元的输出作为结果输出。可见，整体数据延迟是12级。
复用设计与流水设计相比，所用器件大为减少，但数据延迟却增加了很多。
3.3 实数除法器div模块
为了使本设计的除法器适应各种情况，应用性强。这里分2种情况进行考虑。第一，被除数大于除数，那么它们的商就会有整数部分和小数部分；第二，被除数小于除数，那么它们的商只要小数部分。另外，被除数等于除数可归于第一种考虑。这2种考虑分两种情况进行实现：第一种情况，计算商的整数部分，说明此时被除数大于除数，则需要将除数左移到最接近被除数，得到一个新除数，记下所移的次数n，接下来进行n次被除数与新除数左移位相减或加的操作，可得到商的整数部分。第二种情况，计算商的小数部分，利用前面操作里的余数与原除数进行小数位次移位相减或加来得到商的小数部分。其结构框图如图3所示。
图3 实数除法器模块框图
图3中模块1用来记录除数y左移到最接近被除数x时所需要的次数；模块2用来得到商的整数部分；模块3用来得到商的小数部分。由于模块2和模块3思想是一样的，在这里只对模块2进行说明。
模块2用来实现求商的整数部分。输入是被除数x、经左移调整后的新除数Y和记录的左移次数n；输出为余数X、原除数y和所得商的整数部分qu。该模块为了有较高的计算精度，也采用了12级流水迭代结构。每一级的功能，就是完成式（2）的减法，然后根据式（3）来进行判商，其内部结构框图如图4所示。
图4 模块1中一级迭代模块内部结构框图
同理，为了节省器件，可采用第3.2节中提到的复用单元模块的结构设计。
4 设计性能分析
4.1 器件分析
根据前面提到的复数除法器算法思想和结构设计来实现22位的复数除法器。为了证明本设计的优越性，另外采用原始的直接计算方案来设计并与之对比。对比方案不采用CORDIC算法的设计，直接做多次乘法和加法操作，然后进行实数除法操作。2种设计分别经Verilog语言在ISE上进行逻辑描述，通过Synplify综合工具综合得到2种不同的复数除法器整体系统。然后，分别经ISE工具映射成网表文件后，查看映射报告可知道两种设计的器件使用情况，如表1所示：
表1 复数除法器器件使用情况表
设计方案Flip Flop数目LUT数目Slice数目器件使用率
采用CORDIC2 3263 9312 7688%
不采用CORDIC3 5176 6314 76514%
比较2种方案，可见不采用CORDIC方案所耗器件比采用CORDIC方案多很多。原因除了多次乘法、加法操作所耗器件比CORDIC操作多外，最主要的是采用CORDIC方案旋转后数据只放大了2位位宽，而不采用CORDIC方案经乘法操作后的数据位宽增加了1倍，那么造成实数除法计算商模块迭代次数增加了1倍，所耗器件那么多是理所当然的。得出结论：设计采用CORDIC方案具有其优越性。
设计在旋转模块、实数除法模块中的求商模块中都采用了迭代的实现方法。如果在时间速度要求不高的前提下，可以重复使用一级迭代，实现器件上的复用。例如，旋转模块中可以使用一级迭代结构来完成6级的迭代操作，当然该复用结构要做一些小的调整，但改动不大。与6级流水迭代所用器件想比，节省了很多器件。采用复用迭代方案后，系统时钟频率仍可以达到69.87 MHz。
除法的计算方式范文6
关键词：小学；计算；策略
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）11-086-01
计算在生活中随处可见，在小学计算教学更是贯穿于数学教学的全过程，可见计算教学的重要性。但是小学生计算的正确率常受到学生的兴趣、态度、意志、习惯等因素的影响。在做计算题时，学生普遍有轻视的态度，一些计算题并不是不会做，而是由于注意力不够集中、抄错题、运算粗心、不进行验算造成的。在计算教学中，我比较重视培养学生良好的计算能力，我是从以下几个方面进行的，特提出来与大家分享。
一、使学生理解和牢固掌握有关基础知识。
学生的计算离不开数学概念、运算定律、运算性质、运算法则和计算公式等内容。对学生不易理解的某些计算法则，往往成为教学的难点。在教学中教师不能急于求成，应帮助学生以掌握基础知识为突破口，分散、突破难点。例如教学异分母分数加减法时，首先要让学生领会分母不同即分数单位不同，而分数单位不同，就不能直接相加减，懂得了这个道理，再引导学生运用通分的知识，化异分母分数为同分母分数，于是问题就转化为已学过的同分母分数相加减了。
二、理解算理和算法优化至关重要
在计算过程中，理解算理是计算的前提，而算法优化则是计算的关键。学生计算错误的原因常常是算理在学习的过程中没有理解到位。在计算教学中根据知识体系之间的联系可以在迁移中帮助学生理解算理。例如教学除数是小数的除法，学生已经学习了除数是整数的除法，积累了以下的两点认识：计算时就按整数除法的方法算出结果；商的小数点和被除数的小数点对齐。这些认识是学生学数是小数除法的基础，在实际教学中教师可以先复数是整数的除法，如：“38.4÷24”，在学生明确商的小数点是如何确定后，把复习题改成“3.84÷2.4”，在学生尝试计算中着重引导学生分析怎样把除数是小数转化成除数是整数的除法，在学生初步理解算理的基础上进行“试一试”的教学： 0.12÷3= 0.12÷0.03=
学生在两组题目的练习比较中发现：先运用商不变规律把除数是小数的转化成除数是整数的除法，再按除数是整数的除法的方法来计算。如果教师直接通过例题的教学就让学生尝试计算，学生将缺少再次理解算理的机会。所以“试一试”的教学为学生提供了自主迁移的机会，对学生更深刻地理解算理是十分必要的，加强练习和基本技能训练。
传统的计算着眼于算法的单一化和最优化，学生是在教师亦步亦趋牵引状态下无条件地吸收教师讲授的知识。而新课程倡导算法多样化，所以在现今的课堂中每当探索计算方法时，教师不断地鼓励学生从不同的角度思考算法，尊重学生的个性差异，提倡思维方法的多样化。但往往一节课下来，方法是“多样化”了，但学困生连基本的方法都没掌握好。所以应该将学生自主探索多样化与教师引领算法优化巧妙结合起来，在诸多算法的基础上突出最优的算法，在学生理解这种算法的算理基础上，以这种算法为主进行训练，从而来提高学生的计算能力。
例如：在两位数乘整十数探索“24×10”的口算方法时，有的学生联系情境图，先算9箱有多少瓶：24×9=216，再加1箱的24瓶：216+24=240；先算5箱有多少瓶：24×5=120再算10箱有多少瓶：120×2=240；把每箱中的24瓶分成20瓶和4瓶，先算10个20瓶是200瓶，再算4个10瓶是40瓶，再用200+40=240；还有利用24×1=24迁移出24×10=240。在发散的基础上引导学生着重理解最后一种算法“24乘1个十得24个十就是240”，在比较中引领学生进行算法的优化，在练习中重点运用这种算法，从而让学生掌握这种基本的算法。
在计算中不仅要着眼于学生“会算”，还应重视学生对计算方法的“再创造”。特别是在高年级的计算中学生对计算方法的“再创造”显得尤为重要。例如：计算“2.1÷0.25”，在学生掌握基本算法的基础上引导学生观察算式，思考探究合理、灵活的计算方法，发现还可以根据“商不变规律”把2.1和0.25同时乘4转化成“8.4÷1”来口算，或者把0.25化成最简分数后转化成“2.1×4”来口算，从而实现了使学生能综合应用知识进行“再创造”。算法的优化收到了事半功倍的实效，不仅提高了学生的计算能力，又促进了学生的思维发展。
三、加强练习和基本技能训练。
教师设计练习时最好分层进行，形式多样。特别是练习的内容要注意有针对性，有层次，有坡度，练习的形式要多样，学生在进行计算练习时才不会觉得枯燥，才会觉得有兴趣。在设计练习题时要注意围绕重点与难点来设计一些有针对性的练习，尽量让学生能够练习有所收获。比如在教学除数是小数的除法时，就可以设计根据除数的小数位数，移动被除数的小数点和为商的小数点定位的练习，对学生进行一些专项的训练。还可以将一些容易出错的习题进行对比练习，让学生能够在对比的练习中得到提高，以提高学生计算的水平。在计算练习中，加强基本技能训练是提高计算能力的重要一步。
