抛物线及其标准方程范文1
关键词：抛物线；翻转课堂；教学设计
一、研究背景及意义
圆锥曲线是高中课程的重要内容，抛物线是圆锥曲线之一，与之前学习的椭圆与双曲线相比相对比较复杂。此外，抛物线在初中阶段学习一元二次函数的时候接触过，学习者很可能将抛物线错误地定义为“二次函数的图像”。因此，如何更好地讲解《抛物线及其标准方程》显得尤为重要。
总结前人[1][2][3]所做的研究可以发现对于抛物线的教学设计研究者大都是在传统课堂的基础上进行的。《抛物线及其标准方程》这一节内容难度较大，整节内容需要学生充分理解和掌握的知识点比较多。因此，仅利用课堂上45分钟时间，学生很难真正掌握这部分内容。
翻转课堂是教学流程变革所带来的，教学环节包括课前、课中、课后三个主要教学环节以及评价、诊断两个辅助教学环节[4]。利用“翻转课堂”进行《抛物线及其标准方程》教学。
通过课前，课中，课后这三阶段的教学，学生可以分步骤掌握这部分内容；另外，可以反复观看视频加深对内容的理解程度。这样可以达到分解知识内化的难度，增加知识内化的次数，从而有利于促进学习者更好的获得知识。因此，在翻转课堂的教学模式下研究抛物线及其标准方程是具有一定意义的。
二、教学案例
（一）教材分析
《抛物线及其标准方程》是选修2-1的第二章《圆锥曲线与方程》。教材内容的顺序是：曲线与方程-椭圆―双曲线―抛物线。可以减少了学生的认知障碍。
（二）学情分析
学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识。并且对圆锥曲线的研究过程和研究方法有了一定的了解和认识。
（三）教学目标
（1）动手实践，体验抛物线的形成过程从中抽象出抛物线的几何特征；（2）掌握抛物线的定义和标准方程；（3）进一步感受类比，数形结合的重要思想方法；（4）感受抛物线的广泛应用与文化价值，体会数学美。
（四）教学重难点
教学重点：1.掌握抛物线的定义与相关概念；2.掌握抛物线的标准方程。
教学难点：1.从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义；2.建立合适的坐标轴求解抛物线的解析式。
（五）教学过程
1.课前教学过程的设计（问题引导，观看视频）
（1）问题引人，温故知新。
教师活动1：思考以下几个问题：？做出函数 的图象。？求到点F（0，2）与直线l： 距离相等的点的轨迹方程，并作出其图象。
设计意图：激发学生的学习兴趣。
教师活动2：根据学生的回答，对以上问题进行总结，并且提出新问题：我们可不可以把抛物线定义为二次函数的图像呢？为什么？
设计意图：纠正学生头脑中“抛物线就是二次函数的图像”这一错误观念。
（2）动手操作，探究新知。
教师活动3：提问：那么抛物线到底是如何形成的呢？播放微视频（首先呈现生活中的抛物线，接着演示抛物线的形成过程，并给出操作步骤）。
设计意图：调动学生的学习兴趣，提高他们的动手实践能力。
教师活动4：提出问题：1.在作图过程中，直尺，三角板，笔尖，点F中，哪些没有动？哪些动了？2.在作图过程中，绳长，|AP|，|PF|，|CP|中，哪些量没有变？哪些量变了？
设计意图：引导学生发现抛物线的几何特征。
教师活动6：提出问题：试着给抛物线下个定义。
2.课中教学设计：（继续探究，小组讨论，观看视频）
（1）类比迁移，自主探究。
教师活动1：给出抛物线的定义。提问：类比之前学过的椭圆以及双曲线，试着选择合适的坐标系并求解抛物线的方程？
学生活动1：学生自己选择建系方式，并求出对应的抛物线方程，然后小组讨论，选出最佳建系方式，并求出其相应的抛物线方程。
教师活动2：播放微视频（总结学生可能会想到的三种建系策略，并用以前学习的二元一次函数图像的平移来解释选择坐标系的原因。）
设计意图：培养学生用类比法解决问题的能力；体现学生的主体地位。
教师活动3：思考：椭圆与双曲线各有两种标准方程，抛物线有几种呢？并思考原因。
学生活动3：小组讨论。并汇报各小组探究的结果。
教师活动4：思考抛物线的标准方程与其焦点坐标与准线方程的关系。
设计意图：加快解题速度。
（2）课堂作业，学以致用。
教师活动5：例1：？抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标与准线方程；
？一直抛物线的焦点是F（0，-2），求它的标准方程。
（3）学生总结，教师提炼。
教师活动6：要求学生回忆本节课的教学，鼓励学生进行总结。对学生的小结进行补充。
3.课后教学设计（问题探究，拓展知识）
拓展作业：
初中我们已经知道对于一元二次方程y=ax2+bx+c的图像是抛物线，a影响其开口方向和开口大小，类比a对一元二次方程y=ax2+bx+c的图像的影响试着研究对于抛物线y2=2px，p对抛物线的影响。
设计意图：将课堂的数学探究活动延伸到课外，使学生进一步体会类比思想方法对于数学研究中的意义。
三、小结
《抛物线及其标准方程》整节内容需要学生充分理解和掌握的知识点比较多。传统课堂的45分钟显然不能使学生完全理解掌握全部知识点。因此，本节课笔者采用翻转课堂。课前，学生通过反复观看微视频进行深入的思考，并在老师的引导下，体会抛物线的基本特征，最后给抛物线下定义；课中，讨论与交流建系策略以及标准方程，通过观点的相互碰撞深化学生的认知。课后，布置相应的探究题，拓宽学生的思维。这样学生可以分阶段分步骤掌握这部分内容；另外，可以反复观看视频加深对内容的理解程度。这样可以达到分解知识内化的难度，增加知识内化的次数，从而有利于促进学习者更好的获得知识。
参考文献：
[1]刘为宏，赵瑜.《抛物线及其标准方程》教学新设计[J].中学数学研究，2013（5）：27-32
[2]武湛.《抛物线及其标准方程》教学实录与反思[J].福建中学数学，2015（12）：26-18
抛物线及其标准方程范文2
一、充分重视信息的反馈
根据学生的知识基础、能力水平等实际情况，我将教学目标分为三个层次：
识记：记住抛物线的定义和有关概念。
理解：理解抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程及其性质；能区分抛物线与椭圆、双曲线之间的联系与区别。
简单应用：（1）能够深刻理解抛物线的定义以及有关概念，掌握抛物线的四种标准；（2）能根据抛物线的标准方程确定其图像的位置，并懂得根据抛物线的方程用“五点法”画出图像；（3）初步懂得应用所学的知识解决实际问题。
通过学生课堂听讲、回答问题、课堂练习、形成性检测等学习活动中反馈的信息，了解学生学习的情况。具体情况如下：
1、仅有个别学生达到“简单应用”的学习目标。他们基本上掌握抛物线的定义、各种标准方程激起性质，能区分抛物线与椭圆、双曲线之间的联系与区别，并能灵活地运用所学的知识解决实际问题。
2、只有一半左右的学生达到“理解”层次的学习目标，存在的问题主要表现在：
（1）能记住抛物线的定义，理解抛物线各种标准方程及其性质，但理解不够深刻；
（2）不能灵活地运用所学的知识解决实际问题。
3、还有一部分学生仅达到“识记”层次的学习目标，存在的问题主要表现在以下几个方面；
（1）对抛物线的定义理解不够深刻；
（2）对抛物线四种标准方程所对应的图形、焦点、准线混淆，不能正确写出焦点坐标、标准方程和大体上对方程的曲线做出估计。
从反馈的信息来看，各个层次学习目标达标的学生比例尚未达到预期的目的，学生的学习效果育教学目标之间存在着一些偏差。
二、利用信息的反馈进行教学诊断
根据教学反馈的信息，我对学生产生学习困难的原因进行分析，主要有以下几个方面：
1、存在学习的自卑感，缺少完成任务的自信心，在学习上态度不认真。
2、基础知识不扎实，如对前面学习的椭圆、双曲线的定义和有关概念理解得不够深刻，特别是没有掌握其标准方程的指导方法，影响到对抛物线标准方程的理解。
3、不明确教师提出的学习任务与要求，学习方法不对头。
三、根据信息反馈因材施教
针对目标教学过程中存在的问题，我采取了一系列教学措施。具体的做法如下：
1、树立信心、明确方向
利用课堂教学信息的反馈，不但教师可以了解自己本节课教得情况，同时注意有针对性地对学生的学习效果进行有效的评价，并指出存在的问题，让学生了解自己学习的效果，明确进一步学习的方向。这样师生都能对下一节课以及今后的学习有了目标，同时也鼓励学生树立起学习新知识的信心，牢牢掌握住基本公式。如：面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点。定直线l叫做抛物线的准线。
抛物线的离心率y2=2px
基本点：顶点，焦点
基本线：准线，对称轴
基本量：P(决定抛物线开口大小)
2、因势利导、巩固提高
对于已达到“简单应用”目标的学生，着重阴道他们区分抛物线与椭圆、双曲线三者之间的定义、图形及几何性质的联系与区别，并配合一些灵活、综合的题目进行练习。如：在抛物线y=1/4x²的上侧，求与抛物线相切于原点的最大圆。这样，可以巩固他们所学的知识，提高他们的解题技巧和综合解题的能力。
对达到“理解”学习目标的学生，要求他们进一步掌握抛物线的基本概念、图形以及几何性质，并有目的地安排一些题目进行练习，加深理解，达到熟练地运用标准的技能技巧。如，从抛物线标准方程中的y、x的取值符号，判断曲线图像所在的象限，以加深学生对标准方程的理解和掌握。
例：已知抛物线的对称轴是x=1，抛物线与y轴交于点（0，3），与x轴两交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。
分析设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c。若按常规解法，则需要解关于a、b、c的三元一次方程组，变形过程比较繁杂；若巧用抛物线的对称性，解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x=1，与x轴两交点间的距离为4，由抛物线的对称性可知，它与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点。于是可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）。又因为抛物线与y轴交于点（0，3），所以3=-3a。故a=-1。y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+2x+3。
3、矫正补救、掌握目标
对尚未达到“识记”目标的学生，我通过补充一些基本题引导他们学习，并加以个别辅导，使他们基本上理解抛物线的定义、图形以及几何性质。
例如：抛物线的标准方程：1、右开口抛物线:y^2=2px；2、左开口抛物线:y^2=-2px；3、上开口抛物线:y=x^2/2p；4、下开口抛物线:y=-x^2/2p。
抛物线及其标准方程范文3
抛物线是三大圆锥曲线之一，由于我们熟知的二次函数图象是抛物线，可以说抛物线是考生学习时间最长，最为了解的圆锥曲线了，很容易结合其它知识综合考查，考题具有很强的灵活性与新颖性.在近几年高考中考查的重点为抛物线的方程，准线及几何性质或与抛物线相关的综合问题（轨迹问题、直线与抛物线综合问题）.选择题、填空题主要考查标准方程、几何性质；解答题则突出对解析几何的思想方法的考查.注意与向量知识、导数知识的交汇考查是高考中的热点.预计在今后高考中客观题主要考查其标准方程和性质，解答题主要有两类：一是轨迹问题，二是直线与抛物线问题.
命题特点
高考抛物线在选填题和解答题中均有出现，每年高考中基本上是一小一大.抛物线在近年高考命题中有以下特点：（1）命题具有非常强的灵活性和新颖性.比如考查抛物线与坐标轴围成的面积的计算，考查抛物线内接正三角形的问题.（2）灵活中强调基础.抛物线的定义及其性质的考查以基础题为主，抛物线的考查通常不会单独命题，大多数是选择题、填空题，属于中难度题，从涉及的知识上讲，常与函数、方程、最值、向量、概率、导数等综合命题.
1. 抛物线的定义及其几何性质是重点
例1 （1）抛物线[y2=4x]的焦点到双曲线[x2-y32=1]的渐近线的距离是 （ ）
A. [12] B. [32]
C. [1] D. [3]
（2）已知抛物线的参数方程为[x=2pt2，y=2pt]（t为参数），其中[p>0]，焦点为[F]，准线为[l].过抛物线上一点[M]作[l]的垂线，垂足为[E].若[|EF|=|MF|]，点[M]的横坐标是3，则[p=] _________.
答案 （1）B （2）2
解析 （1）抛物线的焦点为[F（1，0）]，它到双曲线渐近线[x-3y=0]的距离为[3-01+3=32].
（2）消去参数[t]得，抛物线方程为[y2=2px]，准线方程为[x=-p2]，因[M]为抛物线上一点，所以由抛物线定义知，[MF=ME]，又[MF=EF]，所以三角形[MEF]为等边三角形.
则[EF=MF=2p=3-（-p2）=3+p2]，解得，[p=2].
点拨 解决抛物线的相关问题时，要善于运用抛物线的定义：[PF=d].这种“化斜为直”的转化方法非常有效，如果题目中包含抛物线与其它圆锥曲线（双曲线或椭圆）时，抓住圆锥曲线的基本定义是关键，要注意领会和运用.求抛物线方程时：（1）若由已知条件可得所求曲线是抛物线，一般直接用待定系数法.用待定系数法时既要定位（即确定开口方向），又要定量（即确定参数[p]的值）.关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解.（2）若由已知条件可得所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法.
2. 直线与抛物线的位置关系是热点
例2 过抛物线[E：x2=2py（p>0）]的焦点[F]作斜率分别为[k1，k2]的两条不同的直线[l1，l2]，且[k1+k2=2]，[l1与E]相交于点[A，B]，[l2与E]相交于点[C，D].以[AB，CD]为直径的圆[M]，圆[N（M，N为圆心）]的公共弦所在的直线记为[l].
（1）若[k1>0，k2>0]，证明：[FM・FN
（2）若点[M]到直线[l]的距离的最小值为[755]，求抛物线[E]的方程.
解析 （1）由题意知，抛物线[E]的焦点为[F（0，p2）]，
直线[l1]的方程为[y=k1x+p2]，
联立得，[x2-2pk1x-p2=0]，
设[A（x1，y1），B（x2，y2），]则[x1+x2=2pk1，][y1+y2=2pk12+p].
所以点[M]的坐标为[（pk1，pk12+p2）]，[FM=（pk1，pk12）].
同理可得[N]的坐标为[（pk2，pk22+p2）]，[FN=（pk2，pk22）]
[FM・FN][=p2（k1k2+k12k22）]，
由题意知，[k1+k2=2，k1>0，k2>0，k1≠k2].
所以[0
（2）由抛物线的定义得[FA=y1+p2]，[FB=y2+p2]，
所以[AB=y1+y2+p=2pk12+2p]，
故圆[M]的半径为[pk12+p].
故圆[M]的方程为[（x-pk1）2+（y-pk12-p2）2=][（pk12+p）2.]
化简得，[x2+y2-2pk1x-p（2k12+1）y-34p2=0].
同理可得，圆[N]的方程为
[x2+y2-2pk2x-p（2k22+1）y-34p2=0].
故圆[M]与圆[N]的公共弦所在直线[l]的方程为
[（k2-k1）x+（k22-k12）y=0].
又[k1+k2=2，k1≠k2]，则直线[l]的方程为[x+2y=0].
因为[p>0]，
所以点[M]到直线[l]的距离[d=p[2（k1+14）2+78]5].
故当[k1=-14]时，[d]取最小值[7p85].
由题意知， [7p85=755]得[p=8].
故所求抛物线[E]的方程为[x2=16y].
点拨 以抛物线载体的综合题，一般给出的条件较多，涉及的知识较多，使考生在心理上产生压力.做此类型题时切不可盲目动笔，一定要利用解析几何的思想冷静分析.此类型题具有极强的步骤性：（1）首先突破口在于找到与问题有关抛物线的弦，利用直线与抛物线相交，设交点坐标[A（x1，y1），B（x2，y2）]和直线方程.（2）联立方程组，消元.再利用韦达定理，得出两根之和[x1+x2]，[y1+y2]，两根之积[x1・x2]，[y1・y2].（3）利用交点[A，B]与所求问题的联系建立方程，或不等式，进行化简运算.
备考指南
在平时备考训练中既要注意基础，又要拓宽学生思维.既要注意几何性质本性，又要抓运算基本能力，体现数形结合思想.
限时训练
1. 若双曲线[C：2x2-y2=m（m>0）]与抛物线[y2=16x]的准线交于[A，B]两点，且[AB=43]，则[m]的值是 （ ）
A. 116 B. 80 C. 52 D. 20
2. 如果点[P（2，y0）]在以点[F]为焦点的抛物线[y2=4x]上，则[PF=] （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 过抛物线[y2=2px]的焦点[F]作直线[l]交抛物线于[A，B]两点，[O]为坐标原点，则[ABC]为 （ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.不确定 D.钝角三角形
4. 将两个顶点在抛物线[y2=2px（p>0）]上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为[n]，则 （ ）
A. [n=0] B. [n=1]
C. [n=2] D. [n≥3]
5. 已知双曲线的一个焦点与抛物线[x2=20y]的焦点重合，且其渐近线的方程为[3x±4y=0]，则该双曲线的标准方程为 （ ）
A.[y216-x29=1] B.[x216-y29=1]
C.[y29-x216=1] D.[x29-y216=1]
6. 若抛物线[y=x2]在点[（a，a2）]处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为16，则[a=] （ ）
A.4 B.±4 C.8 D.±8
7. 已知点[P]在抛物线[x2=4y]上，且点[P]到[x]轴的距离与点[P]到此抛物线的焦点的距离之比为1[∶]3，则点[P]到[x]轴的距离是 （ ）
A. [14] B. [12] C. 1 D. 2
8. 如图，设抛物线[y=-x2+1]的顶点为[A]，与[x]轴正半轴的交点为[B]，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为[M]，随机往[M内投一点P]，则点[P]落在[AOB]内的概率是 （ ）
A. [56] B. [45]
C. [34] D. [23]
9. 设抛物线[x2=12y]的焦点为[F]，经过点[P（2，1）]的直线l与抛物线相交于[A，B]两点，又知点[P]恰为[AB]的中点，则[AF+BF]等于 （ ）
A.6 B.8
C.9 D.10
10.点[P]是抛物线[y2=4x]上一动点，则点[P]到点[A（0，-1）]的距离与到直线[x=-1]的距离和的最小值是 （ ）
A. [5] B. [3]
C. [2] D. [2]
11. 已知抛物线[y2=2px（p>0）]上一点[M（1，m）]到其焦点[F]的距离为5，该抛物线的顶点到直线[MF]的距离为[d]，则[d]的值为_________.
12. 已知抛物线[y2=2px（p>0）]上一点[M（1，m）（m>0）]到其焦点[F]的距离为5，该抛物线的顶点在直线[MF]上的射影为点[P]，则点P的坐标为________.
13. 过抛物线[x2=2py（p>0）]的焦点[F]作倾斜角[30°]的直线，与抛物线交于[A，B]两点（点[A在y]轴左侧），则[AFBF]的值是___________.
14. 已知点[A]是抛物线[C1：y2=2px（p>0）]与双曲线[C2：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的一条渐近线的交点，若点[A]到抛物线[C1]的准线的距离为[p]，则双曲线的离心率等于_________
15. 己知抛物线[y2=4x]的焦点为[F]，若点[A，B]是该抛物线上的点，[∠AFB=π2]，线段[AB]的中点[M]在抛物线的准线上的射影为[N]，则[MNAB]的最大值.
16. 已知直线[l]与抛物线[x2=4y]相交于[A，B]两点，且与圆[（y-1）2+x2=1]相切.
（1）求直线[l]在[y]轴上截距的取值范围；
（2）设[F]是抛物线的焦点，且[FA・FB=0]，求直线[l]的方程.
17. 已知抛物线[C：x2=4y]，过点[A（0，a）]（其中[a]为正常数）任意作一条直线[l]交抛物线[C]于[M，N]两点，[O]为坐标原点.
（1）求[OM?ON]的值；
（2）过[M，N]分别作抛物线[C]的切线[l1，l2]，探求[l1]与[l2]的交点是否在定直线上，证明你的结论.
18. 已知抛物线[C：x2=2py（p>0）]，定点[M（0，5）]，直线[l：y=p2]与[y]轴交于点[F，O]为原点，若以[OM]为直径的圆恰好过[l]与抛物线[C]的交点.
抛物线及其标准方程范文4
关键词：高中；抛物线；教学；
中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2013）09-0167-01
2.高中抛物线教学的技巧
2.1正确地理解抛物线概念。对于抛物线概念的深入理解，才能够在日常的生活中巧妙地运用抛物线知识，这对于教学的"教"以及学生的"学"都有帮助。因此，在高中抛物线的教学中，我们应该恰当地、不适时地融入概念问题。例如我们已知圆的半径（r）和面积（A），尝试写出圆面积计算表达式。此外，在教学当中，我们为了让学生加深印象，也可以通过实际的案例教学。
2.2教学需要以提高学生学习兴趣为目标。高中数学材料对于学生来说是枯燥的，久而久之，学生就会厌烦这一种学习方式，而这却给教师的教学带来了重大的阻碍。所以，让学生对抛物线产生兴趣才是提高抛物线的学习效率。因此，在抛物线教学中可以结合现实情境、创设想象空间，配合多媒体教学，然后在课后布置适合学生难度的作业，这样不仅能够让学生感受到挑战，也不会对学生造成过重的压力，这对学生主动学习能力的培养也有帮助，学生才会不排斥对抛物线的学习[1]。
2.3抛物线教学中需要融入数形结合。对于学生掌握抛物线的性质以及学生观察能力的培养，也可以通过图像来学习抛物线的方式。在高中抛物线的教学中，我们应该让学生在触碰到每一个抛物线的时候都尽量的画出草图，以此来培养学生的观察能力，让学生了解到在平面直角坐标系当中他们的形状与位置。
3.高中抛物线教学的实践
3.1启发深入，引导探究。综合教学过程，要求学生对探究结论进行综合概括，形成知识之间的关系网络，使知识与知识之间、不同学科知识之间、数学知识与现实生活之间建立联系，将探究结论进行综合组织、并纳入自己的数学认知结构中。比如，在推导得到开口向右的抛物线标准方程后，由学生在导学案引导下完成如下两个问题：一是写出另外三种抛物线的标准方程，及焦点坐标和准线方程；二是寻求它们的内在联系，并总结记忆。这是数学探究课的中间层次，教师给出简要的过程提示和大致要求，对学生的结论可以不加限制，既做到理顺问题、尝试结论，又给学生留下一定的思维空间。互动方式是师生互动、人机互动、学生与教材互动[4]。
3.2规范要求，引控方向。探究式学习并不是完全放手让学生去研究，为了能完成有效教学目标，教师要在知识的形成阶段规范要求，引控方向。所以，探究的每一阶段均离不开教师的组织，教师为学生创设情境，调节控制学生的探究活动，教师的教学组织促进学生的探究深化；同时，学生的探究进程要求教师指导、提示、组织、引导。在引导学生归纳抛物线的定义和坐标法求抛物线的标准方程、及对四种标准方程进行规律分析的过程中，笔者一边提示学生去思考、讨论和表达，一方面对学生的结论进行剖析、评价和指正。比如在比较四种标准方程的规律分析中，首先提供线索指导学生进行发散式讨论，如从系数、坐标轴、正负值、对称性等入手思考，以明确问题的指向性，其次在学生讨论不完善的基础上，表明自己的看法与学生的思维发生碰撞，帮助学生修正自己的见解。互动方式是师生互动、生生互动。
3.3提供线索，引起讨论。为了使实际操作和对问题的数学讨论卓有成效，课堂教学氛围民主、和谐和开放，学生的思维始终处于活跃状态，在导学案和问题报告中附加了引导性的问题，如"在曲线的形成过程中，每一对重合的点关于相应的折线对称，那么此时生成的动点 M 有什么几何特征"、"抛物线是满足什么条件点的集合"、"怎样建立直角坐标系求抛物线的标准方程"、"四种标准方程内在联系是什么"等。在这样的教学模式下，学生各抒己见，合作学习，学会从数学的角度发现问题和提出问题，在与他人合作和交流的过程中，客观的理解他人的思考方法和结论，体验获得成功的乐趣，建立学好数学的自信心。互动方式是师生互动、生生互动、人机互动（数学探究过程的交互性）。在课堂学习过程中，教师是学习活动的组织者、探究情境的创设者、探究活动的引导者，既要对学生的讨论给予引导，又要对出现的问题进行点拨。
3.4培养能力，运用技术。高中阶段主要是学生思维能力以及逻辑思维判断能力的培养，因此，作为教师，就需要选择正确的教学方式。对于学生逻辑思维能力的培养，我们也可以运用抛物线的分析判断方式以及思维方式，抛物线对于发展学生思维有着重要作用。因此，我们就需要让抛物线能够展现在学生的眼前，让学生亲眼看到抛物线。而将多媒体技术运用到抛物线教学当中，就能够很好的解决这一问题。在学习当中的运用，不仅能够提升抛物线的教学效率，还能够调动学生对于抛物线学习的积极性[3]。在课前，教师可以将抛物线相关的PPT 制作完成，然后在课堂上通过图文并茂的方式，将抛物线最直观地展现在学生的面前。
4.总结
抛物线，它有丰富的内涵和外延，它贯穿高中和高中数学课程的一种很重要的函数，可见抛物线在中学学习中的重要地位，不管在代数中，解析几何中，利用抛物线的机会也特别多；以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，同时各种数学思想如函数的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想，等价转换的思想利用抛物线作为载体，展现的最为充分，培养学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
参考文献
[1]杨斗。 三元整合教学模式教学方案的实验研究--以《抛物线》教学为例[J]。 教育导刊，2013，（2）。
抛物线及其标准方程范文5
教育部于2001年启动了以“构建符合素质教育要求的基础教育课程体系”为目标的第八轮新课程改革，其核心理念是素质教育，强调体验、对话、交流，提倡自主、合作、探究的学习方式.导学稿正是在此背景下，针对素质教育的要求，面向全体学生，为大面积提高教学质量而提出的，是课堂教学改革、提高课堂教学质量和效益的有效载体.但在导学稿的设计与使用过程当中，经常可以在一线老师当中听到这样一些声音：
1. 导学稿为何要设置这些栏目，有何依据？
2. 导学稿中的问题为何这样设计，有何依据？
3. 别人设计的导学稿，自己在课堂上该如何使用，效果有保证吗？
有老师说，这就是自己几十年的教学经验，没什么依据，只知道这样设计效果不错；有老师说，看到一些好老师这样做，我就依葫芦画瓢，也不知道是否合理；也有老师说，别人设计的导学稿还真是不好把握，总感觉到被缚住手脚，课堂效果不尽人意……
对于以上问题的提出，笔者认为，这恰恰是一大批敬业的老师对教学负责、对学生负责、对教学有效性追求的体现；教学的境界也从感性追求慢慢过渡到了理性思考；教师的角色也从一个教书匠慢慢向一个研究者的身份靠拢……
对于上述问题，笔者也作了一些调查及文献检索，在此稍作叙述.导学稿的基本结构中，山东昌乐二中“271”模式的导学稿包括：学习目标、重点难点、使用说明、自学指导、相应练习、当堂检测七个部分；国佳（2009）在《数学新课程理念下的学案导学教学模式研究》中提出导学稿包括学习目标、学法指导、自学检测、问题讨论、基础训练、能力训练、学习小结、推荐作业等八个部分，但对于导学稿基本结构的设置，均没有作任何的设置说明，停留在经验层面；对于导学稿中的问题设计，山东杜郎口的“336”模式导学稿中问题设计的原则：目标性、导学性、探究性、层次性、提升性、衔接性、整合性、生活性、突破性、开放性；江苏洋思中学的“先学后练，当堂训练”模式导学稿贯彻：主导性、主体性、活动性、创新性、问题性、民主性、层次性原则，这些问题设计的原则看起来均有道理，但实践中不好操作，教师得不到有实际意义的指导，有一种“中听不中用”的感觉；甚至有一些学校或者老师在照搬一些名校的导学稿后，却发现使用效果不尽人意，依此可知，导学稿的设计并没有把学生的“学”与老师的“教”之间很好地统一起来.
以上这些问题，如何才能解决？
结合我校在“三元整合导学模式”课堂教学改革中的认识及经验，笔者以为：解决问题的关键在于导学稿的设计一定要科学，要符合现代学习理论以及建立在现代学习理论基础上的教学论和相应的教学设计原理.只有这样，课堂教学的有效性才有保障，才有了科学性基础.
2现代学习理论
2.1学习分类理论
2.1.1信息加工心理学关于知识的分类
以安德森为首的信息加工心理学家把人类习得的知识分为两大类：一类为陈述性知识，另一类为程序性知识.陈述性知识是用于回答“是什么”的问题，如“符号∈是什么意思”，“直线与平面的位置关系有哪几种”，“sin30°的值是多少”等问题，都需要有陈述性知识.程序性知识是用于回答“怎么办”的问题，如怎样运用直线与平面垂直的判定定理去证明线面垂直，怎样计算点到直线的距离等问题，需要程序性知识.掌握程序性知识不能满足于仅仅能陈述的状态，还必须明确办事的操作步骤.
2.1.2加涅的学习结果分类
美国著名学习与教学心理学家R.M.加涅认为，人类的学习有不同的类型，不同类型的学习结果需要不同类型的教学，不同类型知识的学习所需要的过程及条件也不相同.他将人类学习的结图1果分为五种类型：1.言语信息，分三个小类：符号记忆、事实性知识、有组织的整体知识.高中阶段学习的陈述性知识基本上都是有组织的整体知识. 2.智慧技能，分五个小类：辨别、具体概念、定义性概念、规则、高级规则.并且，加涅进一步提出五种智慧技能的习得存在着层次关系（图1）：高级规则学习以简单规则学习为先决条件；规则学习以定义性概念学习为先决条件；定义性概念学习以具体概念学习为先决条件；具体概念学习以知觉辨别为先决条件.3.认知策略. 4.动作技能.5.态度.上述五种学习结果中，前三种属于认知领域，是我们在学科教学中学习与研究的重点.
2.2广义知识学与教的一般模型
华东师范大学皮连生教授通过实证研究后认为，完整的教学过程必须符合“广义知识学与教的一般过程模型”（表1），又称“六步三阶段模型”，缺少任何一步，要么学习不能发生，或者学习虽然发生，但不能转化或持久保持.
依据“广义知识学与教的一般过程模型”，容易知道，“学”与“教”是一个整体，密不可分.故笔者以为，学习效果要保证，教学设计及课堂教学从框架上应依据“六步三阶段”模型来构建.其中，导学稿侧重于学与教的一般过程中“学”的文本设计，课堂教学侧重于学与教的一般过程中“教”的方案设计.只有这样，才能较好地保证学与教的一致性与有效性.
2.3基于现代学习理论的课型理论
课型即课的类型，是根据一定的标准对课的类别进行划分的结果.在一定的教学理论指导下，每一种课型都具有一定的课堂教学结构.根据学习分类理论及其基础上的教学论、教学设计原理，每一种学科基本课型的课堂教学结构实际上就是不同类型知识的学习过程和内、外部条件的综合反映，也是对学科特点主动适应的结果，最大限度地满足各种基本课型的学习过程和条件是确保学生学会学习的前提和基础.例如，高中数学科可划分为概念课、规则课、解题课、复习课等基本课型.
下面，仅对于学习分类理论指导下的高中数学基本课型中的概念课从基本任务、知识类型及学习的过程与条件三个方面进行概括：
数学概念课型
1.基本任务：（一）明确数学概念是什么，具体包括：（1）揭示概念所反映的一类事物的本质属性，给概念下定义；（2）辨别概念的正例和反例；（3）用不同的语言形式对概念加以解释，如将概念的定义由文字语言表述转换为用符号语言或图形语言表述；（4）分析所学概念的其它一些重要属性或特征.（二）辨明新概念与原有相关概念之间的关系，以及在概念形成过程中蕴含的数学思想方法与情感教育内容.（三）运用概念去办事，即通过变式练习和综合练习将习得的数学概念运用到各种具体情境中去解决相应的问题.
2.知识类型：高中数学概念课型中蕴含的主要知识类型是定义性概念，属于程序性知识中的智慧技能的学习.教学的重点是概念的理解问题.
3.学习的过程与条件：概念学习主要有两种方式，概念的形成与概念的同化，重点是解决概念的理解问题，可用奥苏贝尔的同化论来解释.
（一）概念形成：从辨别概念的例证出发，逐渐归纳概括出概念的本质属性的一种学习方式，其心理机制可用奥苏贝尔的上位学习模式来解释.
学习的基本过程为：辨别（辨别概念例证的特征）假设（对概念例证的共同本质特征作出假设）检验假设概括（给概念下定义）.
（1）学习的内部条件是：学生必须能够辨别正、反例证.
（2）学习的外部条件是：①必须为学生提供概念的正、反例.正例应有变化而且应有两个或两个以上，以帮助学生更好地辨别概念的本质属性和非本质属性；正例的呈现最好能让学生意识到，不至于看了一个正例却忘了另一个；②学生必须能够从外界获得反馈信息，以检验其所做的假设是否正确；③提供适当的练习，并给以矫正性反馈；④提供间隔练习以促进保持和迁移.
（二）概念同化：通过直接下定义来揭示一类事物的共同本质属性，从而习得概念的一种学习方式，其心理机制可用奥苏贝尔的下位学习模式来解释.
学习的基本过程为：理解概念的定义辨别概念的例证.
（1）学习的内部条件是：学生的原有认知结构中具有同化新概念的适当的上位概念（或结构），而且这一上位概念（或结构）越巩固、越清晰就越有利于新的下位概念的同化.如百分数这个定义性概念，如果学生头脑中已有“分数”这个上位概念，那么百分数可以用概念同化的形式学习.其学习过程是一个接受过程，即百分数的定义特征不必经过学生从例子中发现，可以直接以定义形式呈现.学生利用其原有上位概念“分数”同化“百分数”.在学习时，学生找出百分数与分数的相同点，新的百分数被纳入原有分数概念中；同时要找出新知识（百分数）与原有知识（分数）的相异点，这样新旧知识可以分化，不致混淆.
（2）学习的外部条件是：①言语指导，以帮助学生更好地理解概念的本质属性；②提供符合概念定义的正例和不符合概念定义的反例；③提供适当的练习，并给以矫正性反馈；④提供间隔练习以促进保持和迁移.
以概念形成和概念同化的形式习得的概念属于概念的理解，若要运用概念对外办事，则还需给学生提供一个重要的外部条件：变式（概念的正例的变化）练习，变式练习是知识向技能转化的重要途径.例如，2，3，5，7，11等都是“质数”的变式.
3现代学习理论的应用
3.1导学稿栏目的设计
导学稿侧重于“学”的文本设计，依据皮连生教授实证研究的成果，完整的教学过程必须符合“六步三阶段模型”，缺少任何一步，要么学习不能发生，或者学习虽然发生，但不能转化或持久保持.为此，笔者把“学”的六个步骤从模型中提取出来（图2）进行分析，在教学实践中科学、合理构建导学稿的栏目.
一、课题名称：
二、学习目标（包含重、难点）：
三、课时安排：
第2步，激活原有知识：激活学生原有的、与本节课内容相关的知识.构建栏目：复习回顾
第3步，选择性知觉；第4步，新知识编入原有命题网络；第5步，认知结构重建与改组/经变式练习，命题转化为产生式系统：3、4步合在一起，实质上就是新知识的理解过程，是学习的重点与难点；第5步实质上是知识的巩固和转化过程，此阶段要完成新知理解、知识向技能的转化问题、并进行反馈及补救，是学习效果的保障，与前两步密不可分.构建栏目：学习新知（在新知理解过程中，应根据相应课型理论进行教学设计）；第6步：根据线索提取知识/一旦条件满足，行动能自动激活，这实质上是知识的提取、迁移或应用阶段，强化知识的熟练程度.构建栏目：课后练习
综上所述，基于现代学习理论下的高中数学导学稿的栏目设计为以下6个：
一、课题名称：
二、学习目标（包含重、难点）：
三、课时安排：
四、复习回顾
五、学习新知（根据相应课型理论进行教学设计）
六、课后练习
3.2导学稿的具体设计案例
笔者以选修1-1中的抛物线为例进行导学稿设计及分析.具体如下：
一、课题：抛物线（人教A版数学新课标教材选修2-1，P64―P72）
二、学习目标：
1、能准确回忆抛物线文字表述的定义，并能用符号加以表示，以及能画出相应的图形；
2、能准确写出抛物线的标准方程，能用自己的话简要叙述教材中标准方程的推导过程，并能自行给出其它形式标准方程的推导；
3、能准确回忆并解释抛物线的几何性质；
4、能运用抛物线的概念解决简单的数学问题.
其中目标3、4是重点内容.
三、课时安排：2课时
四、复习回顾
（1）椭圆、双曲线标准方程中“标准”的含义：
.
（2）椭圆和双曲线上的点到定点（焦点）与到相应定直线（准线）的距离的比都等于常数（离心率），当时，是椭圆，当时，是双曲线.当时，是抛物线.
五、学习新知
指导语：我们可以类比研究圆锥曲线中椭圆或双曲线的方法来研究抛物线：（1）根据定义建系设点求方程；（2）根据方程、图像，利用数形结合的思想考察性质；（3）根据方程和性质研究与抛物线有关坐标及最值问题等.在自学别注意抛物线与椭圆、双曲线的不同之处：到焦点与到准线的距离相等，这是关键.
设计意图可看成是学习新知的一种先行组织者策略，引导大家明确学习的方法.本质上采用了奥苏贝尔在概念同化过程中的下位学习模式，学生已经懂得了研究圆锥曲线的一般方法，而抛物线也是圆锥曲线的一种，故抛物线的概念容易形成.并且，在此把研究圆锥曲线的一般方法写出来，意在强化学生原有知识结构.
请同学们自学教材的内容（例2，例5先不看），并完成以下任务.
1. 结合书本的表格完成下面表格序
号标准
方程y2=2px
（p>0）y2=-2px
（p>0）x2=2py
（p>0）x2=-2py
（p>0）1图形2范围3对称
轴4顶点
坐标5焦点
坐标6离心
率7准线
方程8p的几何意义：p恒为数（正 / 负）
问题：你能否由上表四种方程的特点归纳抛物线焦点所在的坐标轴以及开口方向和什么有关？
设计意图提出问题，给学生以指导，帮助学生更好地理解抛物线概念的本质属性.
2.抛物线y2=12x上一点M到焦点的距离等于9，则点M到准线距离是 ，点M的横坐标是.
3.求抛物线y-2x2=0的焦点坐标为，准线方程为 .
4.求抛物线y=ax2的焦点坐标为，准线方程为 .
设计意图提供多个正例2、3、4，以帮助形成对抛物线概念的理解.
5.若l不经过点F，则平面内与定点F和定直线l距离相等的点的轨迹是什么？
设计意图提供反例5，加强对抛物线概念的辨析理解.
强化训练
6.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并画图.
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，经过点P（-6，-3） ；
（2）顶点在原点，准线为y=2；
（3）顶点在原点，经过点P（-6，-3）.
7.抛物线y2=8x上一点P到顶点的距离等于它到准线的距离，这点坐标是（）.
A. （2，4）B.（2，±4）C. （1，22）D. （1，±22）
8.已知M为抛物线y2=4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P（3 ，1），则|MP|+|MF|的最小值为（）.
A. 3B. 4C. 5D. 6
9.过抛物线y2=2px（p>0）的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），则以|AB|为直径的圆与抛物线的准线的位置关系为（）.
A. 相交B. 相离C. 相切D. 不确定
设计意图提供适当练习，并进行矫正反馈，以形成利用概念对外办事的能力.
六、课后练习
请同学们在课后完成下列练习10―15，可以检验你对抛物线定义是否有深刻的理解、能否灵活运用抛物线的性质解决问题.
10.抛物线y2=2px（p>0）上一点M到焦点的距离是aa>p2，则点M到准线的距离是，点M的横坐标是.
11.求顶点在原点，焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程.
12.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）.若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）.
A. 22B. 23C. 4D. 25
13. 右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.
14.已知点P到点F（4，0）的距离比它到直线l：x=-6的距离短2，求点P的轨迹方程.
15.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P（m，-3）到焦点的距离为5，求抛物线方程.
抛物线及其标准方程范文6
一、培养学生的发散思维
1.运用变式教学
常用的变式模型有建立直观的图形，建立“距离公式模型”，建立“复数模型”，建立“集合模型”，建立“排列模型”等。
例1：判断方程sinxlgx=0的实根个数。
分析：学生的常规思路是：先解方程，进而知道实根的个数。但实际上此路行不通。这时引导学生根据函数y＝sinx和函数y＝lgx的有关性质建立直观的图形（见图1），则结论不言而喻。
2.强化一题多解和一题多变
例2：已知，的取值范围。
（1）方法一：(函数思想)由则由于根据二次函数的图象与性质知：当时，取最小值；当x时或1时，取最大值1。
（2）方法二：(三角换元思想)由于且则可设
于是，当时，取最小值，当取最大值1。
（3）方法三：(对称换元思想)由于则可设
所以，当取最小值取大值1。
（4）方法四：(运用基本不等式)由于x+y=1,且x、y≥0则
于是，所以，当时，取最大值1,当时，取最小值。
例3：过抛物线y2=2px焦点的一条直线和这条抛物线相交，设两个交点纵坐标为y1,y2，求证y1y2=-p2。
此题并不难，但结论却很有用，关键是运用结论。此题可变为：
（1）证明：过抛物线焦点弦两端点的切线与抛物线的准线三点共线。
（2）证明：过抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点的连线，平行于抛物线的对称轴。
（3）证明：过抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点的连结线段，等于焦点弦长的一半，并且被这条抛物线
平分。
（4）证明：过抛物线焦点弦两端点的切线互相垂直。
（5）证明：抛物线的准线是其焦点弦两端点的切线的交点的轨迹。
（6）证明：过抛物线焦点一端，作准线的垂线，那么垂足、原点以及弦的另一端点三点共线。
二、培养学生的聚合思维
例4：已知a＞o且a≠1，则在同一坐标系中，函数的图像有可能是（ ）
分析：本题需对a的取值情况、x的取值范围，以及函数的图像性质等信息进行综合分析，才能找出正确答案D。
三、培养学生的逆向思维
例5：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？
分析：这是排列的问题，由正面考虑符合题意的数字放入百位数，十位数，个位数的情况较复杂，有多种情形。但其反面较简单，即“奇数的个数”和“大于50000的偶数”两种情形，从没有重复数字的五位数全排列减去“奇数的个数”和“大于50000的偶数”这两种情形，即
四、培养学生的侧向思维
例6：请用6根火柴，将其组成4个正三角形。
分析：当你尝试了多次后，你或许发现这是一个“不可能”的事情，因为将6根火柴都摆在同一平面内，是怎么也不能组成4个正三角形的。但如果让我们的思维突破平面的限制，以6根火柴作为6条棱，就组成一个正三棱锥四面体，也就组成了4个正三角形。
五、培养学生冲破思维定势
例7：已知船上载有12只牛、46只羊，问船长几岁？
分析：由于习惯性思维定势，很多学生都认为船长的年龄和牛羊的数目有关，于是答案较多是58或34岁，实际上正确答案应是：不知道。
六、培养学生的直觉思维
例8：（2000年高考第11题）过抛物线(a＞0)的焦点心F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为分析1：首先抛物线方程化成标准形式为，其次当PQ为通径时可求得。由此可知，本题答案为(C)。