摘要：微积分课程的数学理论性较强，德州学院的部分大学生对这门课程有很大的畏难情绪。OBE理念关注学生对知识的掌握、能力的提升和素养的培养，启发式教学方法的出发点是以学生为本，以OBE理念为导向，强调互动式教学、合作学习、混合式学习等任务型教学活动，注重设计启发式问题情境教学案例，有助于提高地方性本科院校微积分及相关课程的教学效果。
关键词：微积分；启发式教学方法；OBE理念；教学案例
微积分是德州学院本、专科各个专业的一门基础课程，是一门数学理论性较强的课程。德州学院作为一所省属地方性普通本科院校，招收的本专科学生的数学水平一般。针对这类大学生，如何提升他们的数学素养、较好地完成数学教育任务，是任课教师们在后疫情时代进行信息化教学改革首要考虑的问题。在对微积分等课程多年的教学实践中，我们以OBE理念为导向，以优化学生的知识结构和提升学生的逻辑能力为目标，开展了启发式教学探索。
一、教学背景和现状介绍
教育的本质是以学生为本，以立德树人和培养人的全面发展为目标。成果导向教育（Outcome-basededucation，OBE）理念关注学生的能力和素养的培养[1]，OBE要求教学过程围绕预期的学习成果来开展，迎合了后疫情时期信息化教学改革的方向。[2]微积分是文、理、工科各院系最基础的一门公共课，是研究生入学考试的必考课目。在微积分的教学实践中，作者发现德州学院的部分大学生对这门课程有很大的畏难情绪，学习积极性和信心不足，本课程及数值分析等后续课程的学习效果较差。有的学生不适应大学的教学节奏，课下不能自觉预习复习；有的学生知识结构不够系统，运用理论知识解决实际应用问题的能力较差；有的学生以期末及格为目的，学习不求甚解；还有的学生听课云里雾里，跟不上老师的进度。如何让这些学生学好微积分及相关课程，值得教学深思。在微积分课程中，定积分沟通函数、极限、导数、不定积分、定积分、反常积分、级数、曲线积分、曲面积分和重积分之间的内在联系，是微积分学中的重要知识点。定积分的概念和性质通过与其他知识点建立紧密的联系，贯穿于整个微积分学理论。部分大学生对定积分的理解不够透彻，不擅长建立各知识点之间的联系，对解决拓展提高类综合问题的方法、技巧掌握不够灵活，不能正确恰当地运用定积分。另外数值分析、微分方程数值解等后续课程与定积分关系密切。在OBE理念下，为了提高学生们对微积分的熟练掌握程度，提高学生利用微积分解决实际问题的应用能力和创新能力，提高学生对后续课程的学习热情，微积分的启发式教学方法值得深入探讨。
二、以OBE理念为导向的启发式教学方法
子曰：“不愤不启，不悱不发。”启发式教学是“授之以渔”而非“授之以鱼”。在启发式教学过程中，教师以OBE理念为导向，侧重于学生的理解能力及实际应用能力的培养，根据学生的认知规律和心理特点，贯彻教师为主导、学生为主体的教学理念，通过师生之间的交流，让学生经历知识的形成过程，通过学生的自主探究，帮助学生深入理解知识，完善知识结构，提升认知水平，达到教学目标。[3]教师在启发式教学实践过程中注重引导，及时捕捉学生情感和思维的兴奋点，启发学生主动探索问题，获取新知识，充分发挥学生的主观能动性，与教师在学习的过程中达成相互交流、默契配合的融洽学习气氛，提高主动发现问题的能力和数学素质。[4]启发式教学方法，以OBE理念为导向，注重培养学生的创造性思维，面向知识形成过程，让学生尝试数学研究的过程，体会事物间的相互转化、相互联系的辩证关系，有助于提高学生的理性思维能力。[5]启发式教学方法引导学生自主学习，激发学生的求知欲和探索欲，有助于培养学生积极动手、发散思考、协作学习、探究性学习、系统性学习的能力，让学生体会到严谨、普遍联系、迂回处理的哲学思想。[6]启发式教学方法有如下教学技巧：（1）课堂提问是启发式教学方法采用的最常用的主要形式。（2）设置问题情境，进行课件演示，吸引学生的注意力，使学生尽可能多地参与教学活动。突出教学重点，分散教学难点。（3）在探索、发现和解决问题的过程中，让学生体会到快乐；注重师生之间的合作和交流，给学生提供展现思维的舞台。（4）采用比较、联系并采用逆向思维的方式，启发学生通过主动思考，得出结论，进而完成对知识的内化。（5）采用层层设问的方法，引导学生去探究，活跃课堂气氛，使学生保持良好、积极的情感体验。
三、以OBE理念为导向开展任务型教学活动
在大数据背景下，各行各业急需具有较高数学素养的专门人才，因此，德州学院微积分课程的目标定位是“强实践”和“高素养”。“强实践”把培养学生解决问题的实践能力作为首要的教学目标和教学任务，注重发展学生运用数学的应用能力，进一步增强其学术能力和创新能力。“高素养”强调课程蕴含的数学思想和文化，帮助学生加强逻辑推理训练、提升理性思维和科学精神。在OBE理念下，教师带着任务开展教育教学，学生带着任务学习，不再迷失。以OBE理念为导向设计互动式教学、合作学习、混合式学习等任务型教学活动，有助于提高教学效果，达成课程目标。[7]
1.任务型教学活动
互动式教学模式适合开展任务型教学活动，注重调动学生的学习积极性，旨在通过学生的积极参与提高教学效果。翻转课堂是其中一种互动式教学模式，充分体现了以学生为中心的教学思想。对于相对简单的知识点，比如极限和导数的四则运算、简单函数的积分、平面图形的面积等，学生通过自学很容易领会要点，适合开展翻转课堂，有利于激发学生的学习潜力，提升个人成就感，符合OBE理念。小组合作学习是开展任务型教学活动的有效途径。为了巩固学过的知识点，教师设计合理的实验题目，比如定积分的应用实验和近似计算实验，将学生分组，要求小组成员积极思考、深入讨论，研究解决方案，不断试错纠错，最终给出正确的实验结果。通过实验教学活动，教师不断调整优化实验资源库，总结学生实验中出现的问题，及时进行相关知识的查漏补缺、复习巩固。线上线下混合式多元化教学模式有助于开展任务型教学活动，将面对面的课堂教学与在线讲座、精品课程、智慧课堂等开放式自主学习模式相结合。对于曲面积分、曲线积分和多重积分等教学内容，确定积分区域是个教学难点。在OBE理念下，为了化解积分问题中选取积分区域的难点，教师可以结合多媒体课件和动画，展示相关的曲线、曲面和立体图形，引导学生数形结合，通过投影、取截面等直观地找出积分区域。任务型教学活动的开展，离不开精心设计启发式教学案例，将知识点与问题情境有机结合起来，基于问题解决的知识引入符合OBE理念。定积分的概念和性质是微积分课程的重要知识点。在OBE理念下，为了让学生明确定积分的性质，理解其可以干什么，需要具备什么条件才可以用，掌握定积分性质的应用类型，掌握定积分的性质与其他知识点之间的联系，引导学生将知识结构系统化整体化，教师需要精心设计一组启发式教学案例。
2.任务型教学活动的一个案例
级数理论是高等数学的一个重要内容和组成部分，级数是表示函数、研究函数的性质及进行数值计算的一种工具。很多工程领域实际问题需要用到级数模型，微积分方程、概率统计等学科领域也需要用到级数。级数的概念是高等数学级数理论的基础知识点，只有掌握了级数的概念，才能更好地学习级数理论。学生对有限项和的定义和运算律（交换律、结合律、分配律）等理论比较熟悉。那么如何理解无限个数相加呢？无限个数的和与有限个数的和有本质区别吗？如何理解学习级数理论的必要性和重要性呢？基于这些背景问题，教师精心录制十五分钟的微课展开级数的概念引入。错例是学好高等数学的重要手段和工具。教师通过介绍荒谬的阿基里斯运动悖论吸引学生的注意力，引入无限项和即级数的形式定义，通过一个错例引出对级数和的含义的思考，利用数列极限的思想，阐述级数收敛、级数发散和级数和的概念，反过来利用级数的敛散性概念回看分析运动悖论和错例，说明级数敛散性概念的重要性。通过让学生参与反驳运动悖论的探究分析过程，激发了学生的求知欲和创造力，实践表明，这堂微课能很好地完成预设的教学目标，学生可以很好地理解级数的概念。
四、以OBE理念为导向进行定积分的启发式教学思考
定积分的思想的理解和灵活应用对学生们掌握积分学理论至关重要，因此OBE理念注重引导学生透彻理解定积分的思想，并建立各知识点之间的联系。教师如何深入浅出并自然而然地把定积分的思想和联系介绍给学生？如何引导学生将前后章节的知识点系统地连贯起来？如何帮助学生将定积分的思想融会贯通？这些问题值得教师深思和探究，应贯穿渗透于整个微积分的启发式教学过程中，教学案例的选取、教师适时的引导、重难点的分解、核心的点播都十分关键。
1.关于定积分概念的教学思考
定积分的概念本质上是一种有限积分和的极限，体现了极限的思想。基于此，教师很自然地抛给学生们一系列的思考问题：当积分区间的长度由有限变为无限会怎样？当被积函数的取值范围由有限变为无限会怎样？当积分和的项数由有限变为无限会怎样？当被积函数的自变量由一个变为两个、三个又会怎样？关于前三个问题的回答，很自然地将学生的学习兴趣引导到无穷积分、瑕积分和级数这三部分内容上。而要搞清楚最后一个大问题，学生还要学习函数项级数、曲线积分、曲面积分和重积分这四部分内容。这样的启发式提问，将积分学的各知识点系统地整合在一起，学生们不仅优化了关于积分理论的知识结构，而且深入透彻地理解了定积分概念中所体现的极限思想。看似纷繁复杂的积分学知识点，通过极限思想系统地串联起来。
2.关于定积分计算的教学思考
定积分的应用广泛，因此定积分的计算是一个重要的研究课题。牛顿莱布尼兹公式揭示了积分区间边界点上的被积函数值与定积分值之间的关系。针对来源于工程领域实际问题中的定积分模型，牛顿莱布尼兹公式很难有用武之地。面临的困难是，要么被积函数的原函数无法用初等积分法求解，要么原函数的表达式很复杂，其函数值很难计算，要么被积函数没有解析表达式，仅仅给出了一组离散的实验采样数据。因此定积分的近似计算值得研究。由于定积分是积分和的极限，教师引导学生可以利用特殊的积分和进行定积分的近似。很自然地，教师可以提问学生，积分和中的项数怎么选，小区间如何打点呢？这样的启发式提问，能够使学生们积极进行发散思维的训练，当积分和只有一项可得各种矩形公式，两项和三项时分别对应梯形公式和辛普生公式。要提高近似程度，学生自然想到提高积分和的项数，从而自然地进入复化求积公式的构造。这样的教学过程能够启发学生积极思考，也提高了学生对后续数值分析课程的学习兴趣。学生也体会了数学知识点之间的联系和区别，了解到系统化学习的优势，从而在数学课程的学习训练中做到既会化整为零，又能化零为整。
五、结语
OBE理念注重学生自主、合作和探究学习，倡导提高学生的学习能力和成果意识。德州学院很多大学生对微积分的知识点的掌握不牢固，甚至是一知半解，面对综合类高数题尤其是复杂的应用题和考研题更是无从下手，对数值分析类后续课程的学习积极性也不高。在OBE理念下，提高学生们对微积分课程的掌握牢固程度和对后续相关课程的学习热情，进一步培养学生的发散思维、创新思维、解决问题的能力和系统化学习的能力，教师的启发式教学探索至关重要。
作者:尹秀玲 周小双 赵琳琳 单位:德州学院