一、《点集拓扑学》课程的分析
(一)课程的核心内容
什么是《点集拓扑学》?其核心内容是什么?这是在该课程开学第一课的开始，必须给学生解释清楚的两个问题。所以在教材原有内容基础上，应该给学生补充相关数学史的知识，如介绍该课程及相关学科的起源、发展，介绍一些当前拓扑学研究的最新成果。这样可以使学生对该课程的内容有一个整体的理解和把握，同时也可以激发学生对课程的学习兴趣。《点集拓扑学》是《拓扑学》的一个分支，是其较早期的研究成果。《点集拓扑学》中的一些概念如可数性，分离性，连通性和紧致性等等，虽然也可以形象的描述为:经过任意拉伸、压缩、弯曲等弹性形变后，几何图形保持不变的性质。但是它是用集合的理论、方法研究几何图形的拓扑不变性质，它的研究对象和方法都与学生熟悉的《数学分析》和《高等代数》等课程不同，是高度抽象的研究现实世界空间形式的学科。《点集拓扑学》也是后续专业课程如《概率论》、《泛函分析》、《微分几何》、《拓扑学》等课程的重要理论基础。近年来它的许多理论与方法也在计算机科学、生物学、化学，特别是与分子结构有关的理论方面有应用。因此这门课程是学生学习现代数学知识的基础，可推动他们数学思维的发展。
(二)学生学习特点
随着大规模的扩招，有相当一部分大学生在不同程度上存在着缺乏学习兴趣的问题，而多数人会归结为所讲授的内容不能引起他们的听课兴趣。另外《点集拓扑学》课程也不是考研必考的课程，故不被学生重视。因此如何在有限的教学时间内，最大限度地调动学生的学习积极性，使他们既掌握该课程的理论与方法，又了解相关知识在其他领域的应用。这就要求教师要合理组织和安排该课程的课堂教学，因此就必须要进行教学方法的改革且势在必行。
(三)课程的“学习难”
由于教学内容的抽象性程度很高，大部分学生认为难以理解和接受!而且有一部分教师也认为该课程难以教授。除了前述的学生方面的学习特点造成的原因外，该课程本身也存在许多特殊的原因:
1．《点集拓扑学》课程中每一节都会有许多新的概念出现，而且这些概念间都是环环相扣，紧密联系的。如果对其中的基础性概念没有掌握或没有理解透彻，就会影响到后续所有的概念。比如:开集和邻域、拓扑和拓扑空间、连续映射等基础概念，如果没有重视这些基本的概念，就会导致后续内容的学习如同听天书。因此该课程中许多概念在教学过程中的详略及所使用的教学方法就变得尤为重要了。
2．《点集拓扑学》课程是从一个新的角度对几何图形加以研究，又因其高度抽象性，因此初学的本科生需要适应期来逐步接受。
3．大部分关于点集拓扑学的教材总是注重理论讲授，而缺少实例，同时也缺乏与各专业课程的横向联系，这就使学生感到空洞、乏味且没有任何实际意义，同时与已有的知识体系也不能流畅的同化与融入。这就会让学生对这门课程感到十分迷惑，不知道知识的实际落脚点在哪。
二、对教材及教学内容的处理
相对于教学内容来说，大部分高校该课程的教学课时数是较少的，再加上前述的学生的原因，教师是不可能将全部经典内容都进行教学的，只能讲授该课程涉及的主要内容和方法，使学生理解《点集拓扑学》的核心内容，掌握核心的思想和方法。
(一)教材的处理
内蒙古财经大学也选用该课程的权威教材，即由高等教育出版社出版的熊金城编著的《点集拓扑讲义》(第四版)。但在教学过程中，对该教材的内容进行了分类和选择，主要分为精讲、精练内容、概述内容和自主学习内容三部分，采用不同的方法针对不同的内容进行教学。对精讲、精练内容进行详细、全面、严密的论述和证明，并精选、精做和精讲练习题和作业题，一般采用传统的讲授练习法。对概述内容只讲解主要的概念、定理、相关结论及其应用，主要是用例子进行辅助解释，而将复杂且重复的证明过程略去。对自主学习内容比如一些非重点且容易理解的内容，就要求学生自主学习，同时完成相关的作业，从而达到提高教学质量的目的。
(二)习题的处理
对于《点集拓扑学》课程中的高度抽象和概括的概念，是很难找到实际模型进行具体且形象地解释的。而且在教材中，给出概念后就是冗长抽象的定理及其复杂的证明，实例很少而且仍然是比较抽象和复杂的。如果单纯地进行照本宣科，必然会打消学生的学习热情，导致他们厌学，甚至教师也会产生厌烦情绪，产生厌教。所以可以在进行概念性教学时，辅以习题的教学。比如编写两三个点的简单集合所构成的简单拓扑空间上的习题，将所有的概念、结论都特殊化等等，来帮助他们理解后，再进行抽象和概括。另外在教学过程中，还要引导学生在做习题过程中不但要达到练习的目的，还要将教材内容和习题内容进行整合，不断地完善自己的知识体系。只有这样才能使学生加深对教材中定义、定理的理解程度，帮助学生有效的记忆。
三、课程教学中有关教法的建议与对策
针对主要的主客观影响因素，以及《点集拓扑学》课程的特殊性，要想构建更加高效的课堂效率，达到提高教学质量的目的，需采取不同于其他数学类课程的教学法，将其中五个重点方法总结如下:
(一)与已学课程进行整合
注重与已学课程概念间的比较与相互同化，使《点集拓扑学》的概念能尽快且顺畅地融入学生已有的知识体系。《点集拓扑学》中的基本概念，如:集合、映射、连续等，学生在数学分析和实变函数中已经有了清晰明确的认识，而这些概念在《点集拓扑学》中就是推广和延伸，如果在讲解的过程中加以比较，学生可更好地理解和记忆，从而认可《点集拓扑学》这门抽象课程的实用性。
(二)加强直观图形教学，突出点集拓扑的几何性
为了解释或直观地表达教学内容，在教学过程中可以把知识点与图形建立联系，让学生把对数学问题的思考转化为对图形的思考，在一定程度上也增加了学生的学习信心，激发了学习兴趣。比如可以画各分离性公理间的关系图、可数性公理间的关系图等。
(三)由已知内容到抽象内容
教材中的新概念基本都是直接给出，没有说明新概念的抽象过程，这就会使学生认为《点集拓扑学》空洞、乏味，难以接受。因此要把推广和抽象过程讲清楚，分析已知内容与抽象内容间的联系和区别。比如把学生们熟悉的绝对值的三个性质推广到集合上度量，把实数集上定义函数推广到集合上定义映射等。
(四)注重类比教学法的使用
类比分析是该课程教学中的一种很重要的方法。一是细致的对比这门课程中的概念，例如各分离性公理间的对比，各种紧致空间之间的对比;二是对比其他课程的知识点，例如在《数学分析》中定义了数列的敛散性和连续性，而《点集拓扑学》中的序列也具有这些性质，通过对比讨论，可以使学生注意到同一知识在不同学科中的异同。
(五)引导学生讨论实践
为了提高学生自觉学习的兴趣，需要充分调动他们的主动性和积极性，引导他们参与到教学的过程中。所以在讲完主要内容后，可以组织课堂讨论、相互提问，让学生不但要尽快理解、熟练教材上的概念和定理，而且还要对证明的思路进行梳理和完善，抽象出一套新的证明方法。
四、考试题型及考核方式的改变
鉴于前述的《点集拓扑学》课程的难度，大部分高校都是根据主要内容，以六至七道大题进行闭卷考试的。根据自己的教学实践，作者发现了这样考试的很多弊端，它不能正确地体现出学生的真实学习水平。于是将考试题型进行了如下调整，试卷共有四个题型:不定项选择题、填空题、判断题和证明题，并且题量较大，覆盖面较广，但采用开卷考试。这样出题会使大多数学生在理解内容且认真复习的基础上达到及格，其中一小部分学生可以得到高分，这样学生的考试成绩将呈正态分布，避免了出几道题而导致大部分学生考试不及格的现象。另外《点集拓扑学》一般都是大三下学期或大四上学期开课，此时正是学生考研的复习或冲刺阶段，会使大部分考研学生对该课程不够重视，这也会影响到教学的效果。因此结合实际进行这样的考试，既达到了考查学生学习效果的目的，督促了他们的学习，又不会打消下届学生学习该课程的热情。相对来说《点集拓扑学》是一门较为抽象和困难的学科，但其实它的一些概念、理论和方法是度量空间、连续函数等概念的推广，只是研究内容和方法发生了根本的变化，因此教师只要能够把这些抽象的概念通俗易懂地讲明白，并对教材进行合理的调整和取舍，灵活多变地采用不同的考核方式，就一定能取得良好的、预期的教学效果。
五、结语
总之，《点集拓扑学》的教学是极其复杂的过程，需要进行的教学改革之路还很漫长。本文只是教学过程中作者自己的一些观点、看法和经验结论。因此要想构建更加高效地课堂效率，充分提高《点集拓扑学》的教学质量，这就需要学校、教师和学生三者共同努力配合，才能达到更好的效果。
作者：高菲菲 单位：内蒙古财经大学统计与数学学院