垂直与平行教学设计范文1
关键词：线线垂直；线面垂直；定理建构
本节课是苏教版必修2教材第一章《直线与平面垂直》的第一节课，主要包括以下三个方面：（1）直线与平面垂直的定义；（2）直线与平面垂直的判定定理；（3）直线与平面垂直的判定定理的应用. 学生在本节课之前学习了平面的基本性质、两直线的位置关系以及直线与平面的位置关系，又刚刚学习了直线与平面平行的判定定理与性质定理，这些都为本节课提供了必要的教学基础. 但是，要想上好这节课，还有一些需要解决的难点.
难点1：问题的引入
众所周知，立体几何是抽象的，不易理解的. 要想上好立体几何课，不但要求学生有良好的空间想象力，还要求教师会合理地、恰如其分地利用生活中的情景. 那么，如何设计一个既是学生非常熟悉的，又含有我们今天要研究内容的生活情境，并使其在知识上起到承上启下的作用，成为最初本节课设计的困扰.
难点2：直线与平面垂直定义的生成
线面垂直的定义是证明线面垂直最基本的判定方法，它是线面垂直判定定理的基础. 这里是直接将定义告诉学生，然后做一些辨析题以增强学生对定义的理解，还是设计一些情景，让学生通过自己的观察、分析、归纳总结出定义？前者好处是开门见山，直奔主题，但没有培养学生观察、归纳的能力；后者以学生为主，培养了他们的观察、分析的能力，但是课堂不好控制，弄不好，会花很多时间，影响这堂课的教学安排.
难点3：直线与平面垂直的判定定理的建构
直线与平面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转换. 它既是后面学习面面垂直的基础，也是连结线线垂直、面面垂直的纽带，在教材中起着承上启下的作用. 直线与平面垂直的判定定理在新的苏教版教材中不再要求证明，只要了解定理，掌握定理内容即可. 在这个前提下，如何引导学生通过已有知识，以及合适的生活情境发现、建构定理，培养学生的自主探究的能力、合情推理的能力、一定的推理论证能力和运用图形语言进行交流的能力，也成为本节课的一个设计难点.
为了解决以上难点，让学生在轻松愉快中自己发现问题，解决问题，学到知识，笔者对这节课做了以下教学设计.
[?] 教学过程设计
一、问题引入
背景：学校刚刚举行了运动会.
教师：同学们，我们班这次运动会成绩怎么样呀？
学生十分兴奋，热情回想起运动会上的热烈场面.此时笔者用投影仪投射出三张照片，分别是：百米赛跑、篮球场投篮、足球场射门.
教师：同学们，你能从上面图片中找到哪些直线与平面的位置关系吗？
学生甲：百米赛跑图片中将白色跑道看做直线，操场看做平面，这里体现了直线在平面内.
学生乙：足球的球门里，我看到了直线与平面平行，还有直线与平面相交.
学生丙：篮球架的支柱与地面垂直.
小结：直线与平面的位置关系――直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交（如图1）
教师：直线与平面的两个特殊关系之一――“平行”我们已经研究过了，这一节我们就来研究直线与平面的垂直.
设计意图：兴趣是学生最好的老师，应用学生感兴趣的情境去展开这节课的学习，既有利于提高学生的积极性，也起到了复习旧知、引导新知的目的.
二、直线与平面垂直定义生成
（1）创设情境
首先在投影仪上投影宾馆酒店大堂的旋转门，然后应用几何画板演示，旋转门的本质就是一个旋转的圆柱体，旋转门的主轴记为L，主轴与地面交于一点O.
（2）观察归纳
①在旋转门旋转的过程中，L与地面有什么关系？
②主轴L与经过O点的直线有什么关系？
③归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念.
设计意图：对直线与平面垂直的定义的研究，遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程，通过生活中熟悉的情景，可以使学生更容易接受、理解.再配以几何画板的动画演示，可以形象、生动地将我们所要研究的问题展现在学生面前，帮助他们建立空间想象和立体感觉，从而为归纳总结直线与平面垂直的定义做好充足的准备，学生在不知不觉中找到了直线与平面垂直的定义.最后的辨析可以帮助学生更好地理解直线与平面垂直的定义.
三、直线与平面垂直判定定理的建构
视频：画面上希望小学的学生们在操场上有的用铁锨挖土，有的用铁镐在刨坑，有的在扶旗杆，他们想亲手将旗杆笔直地立在操场上，可是怎么立都觉得旗杆与地面不垂直，怎么办呢？（视频时间2分钟）
教师：同学们，你能应用所学知识帮他们解决这个问题吗？
学生甲：可以应用刚才所学的直线与平面垂直的定义解决，让旗杆与地面内的所有直线都垂直.
学生乙：我不同意他的说法，原因是怎样才能找到地面上的所有直线呢？
教师：通常定义可以作为判定依据，但若利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直，需要考查平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这显然比较困难，因为平面内有无数多条直线，我们无法一一判断，那么是否有更加简便易行的方法判定直线与平面垂直呢？
问题1：直线与平面垂直，一定要垂直面内所有直线吗？可不可以少一些呢？
垂直与平行教学设计范文2
关键词：人教版 四年级 数学 平行 相交 互相平行
一、探究新知：
1、画图感知，研究两条直线的位置关系
1.1使学生猜想在同一个平面上两条直线的位置关系，在一个平面上任意画两条直线有什么特点？这两条直线的位置关系是怎么样的？会有哪几种不同的情况？
1.2使学生画出同一平面内两条直线的各种位置关系。
2、观察分类，了解平行与垂直的特征
2.1展示各种情况
2.2进行分类
①小组汇报分类情况。
②引导学生分类。
二、场景设计：
1.揭示平行的概念
这几组直线就真的不相交了吗？怎样验证？
在数学上，像这样的两条直线就叫做平行线。（板书：平行线）谁能用自己的话说说什么是平行线？
将这两根小棒想象成两条直线，（摆在同一个平面上），它们平行吗？（摆在不同的平面上）现在呢？为什么？
这两根小棒不在同一个平面上，难怪它们既不相交，也不平行。所以，我们还要给互相平行加上一个条件：“在同一平面内”。
现在，谁能完整地说说，什么是平行线呢？
要判断一组直线是不是平行线，要具备什么条件？我们还可以说，这两条直线互相平行。
小结：在同一平面内，两条直线会出现相交和不相交两种情况。其中，不相交的两条直线叫做平行线。
2.揭示垂直的概念
咱们再来看看两条直线相交的情况。你发现了什么？
这几组两条直线相交有的成直角，有的是锐角，还有的是钝角。
你认为在这几组相交的直线中哪种最特殊？
有一个角是直角的。
怎么证明这几个是直角呢？
像这样的两条直线，我们就说这两条直线互相垂直，谁能用自己的语言说说怎么样才互相垂直？（出示互相垂直的概念）
如图：我们可以说直线a和直线b互相垂直。它们的交点叫做“垂足”。
还可以怎么说？
直线b和直线a互相垂直；直线a是直线b的垂线；也可以说直线b是直线a的垂线。
小结：我们已经探讨了在同一个平面上两条直线的位置关系――平行与垂直。
3.本课小结：
你学会了什么？说给同学们听听。
小结：刚才，我们通过分类活动，认识了在同一个平面内，两条直线不同的位置关系，其中两种比较特殊的是平行与垂直。
三、板书设计：
平行与垂直
两条直线的 不相交---平行
（在同一个平面内）
位置关系 相 交---垂直
四、总结：
本课教材是在学生学习了直线及角的认识的基础上教学的，是认识平行四边形和梯形的基础。垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，在生活中有着广泛的应用。如何唤起学生的生活经验，感知生活中的垂直与平行的现象？如何进一步发展学生的空间想象能力，让学生发现在同一平面内两条直线的位置关系并得出结论？本课主要通过预习观察、合作讨论、交流等活动让学生去感知、理解、发现和认识。感知生活中的垂直与平行的现象，初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的位置关系，发现同一平面内两条直线的位置关系的不同情况，初步认识垂线和平行线；并且通过一系列的数学活动使学生的空间想象能力得到进一步的发展，如对看似不相交而实际相交情况的想象，对两条直线永远不相交的想象等等。围绕这些目标，我在设计教案时努力体现了以下几个特点。
1.创设预习的情境，感受两条直线的位置关系。
本课在设计导入时，从游戏入手，把学生课堂上将要学习的知识延伸到课前，让学生课前仍两支小棒的位置关系，其实学生在生活中把小棒碰掉在地上的现象是经常发生的，让学生根据两支小棒的位置关系来想象两条直线的位置关系也是可能的，但真正去扔小棒得出两条直线的位置关系，发生平行和垂直的机率很小，于是我让学生在桌子上任意画出两支筷子的位置关系，课上根据所画出的两条直线的位置关系来引入。这样设计的原因有两个：一是为了体现数学知识来源于生活的理念，另外也是为了让学生养成操作的习惯。在学生自己确定了想法之后，再在小组中交流。充分利用学生自己的学习能力，在小组中进行整理，选出不同关系的直线进行展示。
2.以分类为主线，通过学生自主学习，合作探究，体会同一平面内两条直线间的位置关系。
在设计教案时我们大胆地让学生以分类为主线，通过小组分类，汇报，再根据学生分类的不同情况，让学生把思维局限在两个种类中，这样学生会出现找不到家的或找错家的情况，抓住这一时机进行梳理分类，通过班级争论、教师点拨等活动，帮助学生在复杂多样的情况中逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况。相交中有成直角和不成直角两种情况。通过两次分类、分层理解，培养学生初步的问题研究意识。这样学生们也经历了一个从个人──小组──全班的逐层递进的过程。学生把在同一平面内两条直线的位置关系进行分类，具有一定不可预料性，大致设想有三种。
在学生与教师共同参与、积极讨论下达成分类的共识，即相交一类、不相交一类。这样就顺其自然地引出，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说它们互相平行。在这里进一步提出“在同一平面内”，教师利用自制教具进行演示，让学生有一个明确的认识，培养学生的空间想象能力。
从相交后形成的角度来看，让学生找到一种最特殊的情况――相交中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，从而引出互相垂直的概念。
引导学生用工具验证相交后成直角的现象。培养学生科学严谨的学习态度。
使数学生活化，从学生的身边发现数学知识。找到垂直与平行的现象。
培养学生观察的能力，进一步在生活中发现垂直与平行。
3.在知识探究的过程中完成自主学习、合作探究意识与空间想象能力的培养。
3.1学生根据所画的情况找出两种直线的位置关系，体现了自主学习能力的培养。
垂直与平行教学设计范文3
人教版实验教材四年级上册P66垂直与平行例2画垂线。
教学目标：
（1）知识与技能：
1.掌握垂线的画法，会正确地过一点画出已知直线的垂线。
2.理解什么是距离。
（2）过程与方法
经历画垂线，培养学生的动手操作能力。
（3）情感态度与价值观
在理解垂直线段最短的过程中，感受到学画垂线的重要和数学在生活中的
应用，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：掌握画垂线的方法。
教学难点：理解距离的概念。利用三角板正确、规范地画出已知直线的垂线。
教学准备：课前小研究、三角板、课件等
教学方法：小组合作、自主探索
课前小研究：
预习课本P66，完成以下练习。
1.过点P画已知直线的垂线。
我发现：在同一平面内，过一点只能画（ ）条直线与已知直线垂直。
2.通过预习我还知道：
从直线外一点到这条直线可以画（ ）条线段。在所画的线段中，垂直线段（ ），它的长度叫做这点到直线的（ ）。
教学过程：
1.复习比较，导入新课：
1.1 下面哪组直线是互相垂直的？
1.2 （出示一条直线）怎样画这条直线的垂线呢？
要使两条直线互相垂直只要做到让这两条直线（ ）。
1.3 你认为画垂线需要什么工具呢？为什么？用量角器画垂线与用三角尺画
垂线，谁更方便？
1.4 今天这节课我们共同来研究用三角尺来画垂线。（板书课题）
[设计意图：通过复习，使学生进一步掌握判断两条直线是否垂直的方法，明确要使两条直线互相垂直的本质就是让这两条直线相交成直角，为学生画垂线指明方向。引出可使用不同的作图工具来画垂线，优选出用三角尺画垂线较方便，借此引入课题并明确学习目标。]
2.交流讨论，探究新知
1.小组内交流、讨论课前小研究。
2.全班交流、反馈。
（1） 请一组同学与全班分享课前小研究的第1题。
其它组学生及老师适当启发、补充。
画垂线，我的步骤：
①抓住三角尺中的直角。
②让三角尺的这条直角边与已知直线重合。
③沿直线向点的方向移动三角尺，使三角尺的另一条直角边与已知点重合。
④沿着这条直角边画一条直线。
⑤标注上垂直符号。
（2）请一组学生与全班分享课前小研究的第2题。
（1）引导学生归纳画垂线的步骤：一抓、二合、三移、四画、五标。
①老师在黑板上示范画一条已知直线的垂线。
②学生与同桌叙述步骤并画出一条直线的垂线。
（2）课件动画演示：从直线外一点到这条直线可以画出很多条线段，垂直线段最短。认识距离。
[设计意图：课前小研究的运用，引导学生先进行预习，对所学内容有了一定的认识，再通过课堂上的小组交流、全班交流、教师的适当点拔及课件的辅助几个环节，突破本节课的重点和难点。]
3.巩固应用，实践拓展
1. 过A点画已知直线的垂线（P68第四题第1小题）。
同桌互相验证并与交流画垂线的步骤。
2.垂线的知识在日常生活和学习中应用广泛。
（1）道路修建中……
（2）体育课中……
测定跳远成绩时，怎样测量比较准确？为什么？
① 尝试在练习本上画一个长5厘米、宽3厘米的长方形。
学生自己尝试，同桌能互相检查。
全班交流画长方形的方法。
②用同样的方法再画一个你喜欢的正方形。
[设计意图：练习的设计主要针对画垂线及垂直线段最短两个知识点进行，既巩固了基础知识，又体现了数学与学习、生活的紧密联系。]
4.课堂小结，畅谈收获
1.教师提问：今天你有什么收获？要想使两条直线互相垂直的关键是什么？
2.小结：这节课我们一起进一步学习了垂直，垂直在我们的生活和生产中应用是非常广泛的，希望同学们以后也会灵活的运用知识去解决实际问题。
[设计意图：通过学生畅谈收获，使学生对本节课的内容进行回顾和梳理。让学生既谈到所获得的知识，又引导学生谈到解决问题的方法，使学生的认知得到升华。]
教学反思：
《画垂线》一课中，用直角三角尺画已知直线的垂线，是小学数学中重要的几何作图技能。这节课的主要教学任务有4点：一是过直线画垂线，二是过直线上一点画垂线，三是过直线外一点画垂线，四是通过画垂线，能发现直线外一点到这条直线的垂直线段最短。在以往的教学中，我就感觉学生在学此内容时有困难，特别是过指定点作已知直线的垂线时，学生翻来翻去地摆弄三角尺，就是摆不到正确的位置，作不出规范的垂线。再者在个人课题研究中，对学生调查问卷分析发现48.9%的学生认为操作题是最难的。鉴于以上两方面原因，所以本学期将《画垂线》一课作为研究课内容，与同事们研究、探讨。
本节课成功之处：
1.课前小研究的布置，使学生通过自学，动手画一画等，初步形成"距离"的概念，探索画垂线的方法。画垂线分三种方法，一种是画已知直线的垂线、一种是过直线上一点做已知直线的垂线，一种是过直线外一点画已知直线的垂线。教材只具体给出了过直线上一点画已知直线的垂线的画法，用连续的三幅图表明画的步骤，没有文字说明。而上面提到的三种方法大同小异，因此，我只引导学生用一种方法来概括，以免方法多，学生不易掌握。这样设计既减缓了学习的坡度，同时也能使课的目的更明确，也大大地激发了学生的学习积极性。
2.通过复习设计使学生认识到：要使两条直线互相垂直只要做到让这两条直线相交成直角这一本质，学生很自然地就想到了用三角尺、量角器甚至直尺来画垂线，只要作图工具中有直角。同时使学生感知操作题解题策略之一，是要明确操作将要达到的目的。
3.在本节课的教学中，无论是教师的示范画图，还是学生动手操作，我都要求规范操作。在学生归纳的画垂线步骤的基础上，我补充了"抓住三角尺的直角"这一步骤，学生很好地掌握了作图工具的使用，使学生明确操作题解题的策略之二在于正确的使用作图工具。在课后的练习检测中，学生作图的正确率达到了95.7%。
4.课用的最多的是同桌合作交流与自由探索，自由探索与合作交流是《数学新课标》中提出的学生学习数学的重要方式。教学实践也证明，在自由探索与合作交流的学习方式中，学生认识活动的强度和力度要比单纯接受知识大得多。本节课在四人小组内课前小研究的交流、讨论；全班对课前小研究的交流、补充；在学习画垂线时，学生与同桌叙述步骤并画出一条直线的垂线，允许同桌两个人可以互相看、互相说、互相指导。在巩固练习环节，学生画完垂线后，量给同桌看，让同桌明白是怎样操作的及是否正确，让自己的操作过程也更熟练。这样安排，目的是有意识的通过学习，培养学生合作、分享精神。
不足之处：
1.复习环节虽能为本节课的重点作铺垫，但趣味性不够、与生活的联系不足。
垂直与平行教学设计范文4
关键词：有效教学；高三复习；反思；总结
波思纳（G.J.Posner，1989）曾提出过一个教师成长的简要公式：经验+反思=成长，并指出，没有反思的经验是狭隘的经验，至多只能形成肤浅的知识. 笔者觉得，作为教师的我们可以从两方面来反思：第一方面，从自己课堂上学生的反应，课后作业的反馈来反思自己的教学设计是否合理，教学方法是否得当等；第二方面，从他人课堂上教师的教学理念、教学设计等来反思自己的教学理念是否与时俱进，教学设计是否符合学生的心理发展特点等等. 下面结合自己的教学实践，就这两点谈谈如何通过反思以期达到高三数学复习的“有效教学”的目的.
■反思自己的教学设计
要提高课堂的教学有效性，可以从教学设计、教学过程、教学反馈等环节来进行反思总结，总结好的方面，反思不足之处. 笔者在给文科班上《线面角复习课》这一节内容时，因为文科对用向量法解决立体几何问题不作要求，所以只能用几何法，通过作、证、算三步完成.
教学片断一：教学形式采用了直接传授法，教师直接指出两种常用方法.
方法一：指出通过过斜线的上点A作面α的垂线找到线面角，关键是作面的垂线，接着指出作面垂线的方法：找过A点垂直α的面β，然后在β面内作两面交线的垂线找到垂足. 用这种方法找垂线使得学生目标比较明确，至于证明可通过线线垂直或面面垂直得到线面垂直.
方法二：若作不出垂线，只须求出点A到α的距离（求距离可借助构造三棱锥采用等积变换来处理），然后利用sinα=■得到. 最后配以对应练习，从课堂上的反馈来看，学生对方法二掌握得不错，方法一后续还有待加强，总体感觉这节课教学效率较高.
但在2010年高考中，部分学生做当年浙江文科卷的立体几何试题的第2问的效果依然不够理想.
如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°，E为线段AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A′DE，使平面A′DE平面BCD，F为线段A′C的中点. （2）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.
而做不出的原因是过点F与平面A′DE的垂面找不到因此作不出面的垂线，而用体积法直接等积变换也不行，因此学生就束手无策.
后来笔者对这节课进行了认真反思，体会到上复习课就是要解决问题的课，所选的例题不仅要具有针对性和典型性，同时也要想到学生会在哪些地方可能有障碍，要尽可能应用各种方法清除障碍. 所以笔者在下一届教授这节课的时候，做了教学形式的调整，改为教师主导、学生主体的合作探究型的模式教学.
教学片断二：先直接指导学生求线面角的方法
例1 如图2，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BMPD于点M.
（1）求证：AMPD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值.
■
图2
教师：过D与平面ACM垂直的平面有吗？
学生1：平面PCD.
教师：过D作平面ACM的垂线的垂足落在什么位置？找到后作出垂线.
通过这一例题使学生体会到用方法一的关键之处，同时学生体会到方法一目标明确，可创造性强.
例2 如图3，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°，E为线段AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A′DE，使平面A′DE平面BCD，F为线段A′C的中点. （2）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.
■
图3
先让学生思考五分钟，学生思考后依然找不到过F垂直平面A′DE的平面，作不出面A′DE的垂线. （前面方法行不通，思路受阻，期待老师引导）
教师：过F垂直平面A′DE的平面作不出，图中不过F与平面A′DE垂直的面有吗？
学生2：有，底面ABCD垂直平面A′DE.
教师：不过点F作面A′DE的垂线可作吗，请作出，可以相互讨论.
（学生通过讨论得出CE平面A′DE）
教师：则要过F点作面A′DE垂线可如何完成？
学生3：只需作CE的平行线FN，得到FN平面A′DE（如图4）.
■
图4
教师：非常好，这个方法相当于是租借垂线. 依据是：如果一条直线和一个平面垂直则和这条直线平行的直线也垂直这个平面. 最后请同学来归纳一下例1和例2的解题体会.
学生4：求线面角的方法：过斜线上的点A作面α的垂线. 作面的垂线的方法有两种：找过点A且垂直α的面β，然后在β面内作两面交线的垂线；找现有的（或容易作的）面的垂线l，然后过斜线的点A作l的平行线得到垂线.
例3 如图5，四棱锥P-ABCD，PA底面ABCD，AB∥CD，ABAD，
AB=AD=■CD=2，PA=2，E，F分别是PC，PD的中点，求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值.
学生解决此题的思路障碍是按照前面方法过F点作面ABEF垂线的垂足落在四边形ABEF外，垂足位置难确定.
笔者在教学中逐步引导学生探索思路得出几种解决办法：
（1）可以在斜线上另外选合理点；
（2）利用一个平面的平行的斜线与平面所成的角大小相同，即可以把AC移到EM（图6）；
■
图6
（3）作不出面垂线可用体积法（或利用与面平行的直线上的点到面的距离相等）求点到面的距离，利用sinα=■得到线面角的正弦值. 此题可用体积法求C到平面ABEF距离d，也可以求D到面ABEF的距离.
由以上例题可以让学生在探索中得到一系列解决线面角的通法，同时提高对所学知识灵活应用的能力.
这节课虽然只讲了三道题，但却能很好地兼顾到求线面角的常用方法，发挥了一题多解的作用，同时使不同层次的学生都能学到适合自己的方法.
当然，不同的教学内容应采取不同的教学方法，上复习课与概念新课不同，每次听的老师上概念课后自己总会对课的引入和课堂组织认真关注，然后自己在教学过程中去反复尝试，反思总结出好的地方. 例如在上抛物线标准方程这节课时就让学生自己探索，去发现问题，抛物线标准方程如何建系，让他们自己去探究，通过不同的尝试去比较得出最简单的抛物线方程. 这样比以前直接给学生推导出来更使学生感兴趣.有效教学不仅仅看学生新的知识和技能的获得，还包括思维能力、创新意识的培养. 作为教师在教学的过程中不能一味地灌输新知识，要注重培养学生发现和研究的能力及勇于探索的精神.
■反思他人的教学设计
要提高课堂教学有效性，就得多去聆听名师的先进教学理念和丰富的专业知识，反思自己的不足之处，通过学习可以不断提升自己的专业素质，提高自己分析、解决问题的能力，使得自己在课堂教学中能对各类型的题目进行融会贯通，使得复杂问题简单化，从而提高课堂效率. 笔者有机会听了一节镇海中学沈虎跃老师的关于立体几何动态问题的探究课.
虽然许多学生空间想象能力不强，但是沈老师通过以线段AB两端点分别在x，y轴上运动时，中点M与O点距离不变这个结论为模型，抓住立体几何动态中的不变量，就把复杂的立体几何动态问题变得简单化且学生听起来易懂，做起来目标又明确.
其中有一题：如图7，直线l平面α，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为2，C在平面α内，A是直线l上的动点，则O到BD中点N的距离的最大值为_________.
■
图7
听了这一节课后，不仅体会到自己在平时教学中对问题挖掘和对知识研究还须进一步深入，同时也解决了自己在上立体几何动态问题时教学效果不好的困惑. 后来在学习的基础上也进行了反思实践并在课堂上有效地解决了下面两问题.
如图7，直线l平面α，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为4，C在平面α内，A是直线l上的动点，则当O到AD的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为（ ）？摇
A. 4+2■ B. 2+2■
C. 4 D. 4■
如图8所示，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动， M和N是小圆的一条固定直径的两个端点. 那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（ ）
这一题学生很难想象，老师也难讲清楚，但是反过来想在滚动过程中MN中点P也就是小圆的圆心与大圆圆心O距离不变，因此MN中点P轨迹为圆，M，N就相当于分别在x，y轴上运动. 因此利用上面这一方法讲解后教学效果就大不一样，学生就会有柳暗花明又一村的感觉.
垂直与平行教学设计范文5
一、教学内容解析
向量兼具“数”和“形”的双重形态，是沟通代数和几何的桥梁.空间向量为处理立体几何问题提供了一个新的视角，是解决三维空间中图形位置关系与度量问题的有效工具.
空间向量的数量积运算，是人教社A版《数学2-1》中继空间向量的加减运算、数乘运算之后的又一种运算，是平面向量运算向空间推广的一个实例.在平面向 量的夹角、长度概念和数量积定义的基础上，通过类比的方式，得出空间向量数量积的相关概念、运算律，并举例说明了空间向量数量积运算在处理立体几何中垂直 关系中的重要作用，充分体现了数学的应用价值.
做好“类比”、抓住“本质”、学会“方法”、奠定“基础”是本节课的教学主线.通过类比 发现“任意两个空间向量都是共面的”，抓住本质确定“空间任意两个向量的数量积本质上就是平面向量的数量积”；基于空间向量的数量积运算，学会用数量积解 决垂直问题的方法，体会化归转化与数形结合思想另外，本节课内容为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定了重要基础.
二、教学目标设置
教学指导意见对本节内容的要求是：理解空间向量的长度和夹角的意义；理解空间向量的数量积的意义及其运算律；能利用空间向量的运算解决直线和直线垂直、直线和平面垂直、两点间距离或线段长度等相关问题结合教学实际，制定教学目标如下：
（1）通过小组合作、自主探究、交流分享，在类比中归纳得出明确的认识：空间任意两个向量都是共面的，空间任意两个向量的数量积就是平面向量的数量积；学生能进一步理解和掌握空间向量数量积的相关概念及运算.
（2）经历例1、2的分析、求解过程，学生能初步体验空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值，能基本掌握用数量积处理空间中线线、线面垂直问题.
（3）在解决具体问题的过程中，学生能强化数学应用意识，感悟数学思想（数形结合、化归转化等）的魅力.
三、学生学情分析
学生在经历空间向量的概念及线性运算之后，已感受空间向量与平面向量之间的内在联系，体会并运用类比的方法学习空间向量及其运算由于空间任意两个向量必 共面，因此空间向量在本质上与平面向量是一致的.同时学生在平面向量的学习中，已经认识到平面向量的数量积在判定位置关系（垂直）、角与距离的计算中的应 用价值，这为研究空间位置关系及相关度量提供了类比前提，即在平面向量的夹角和向量长度概念的基础上，类比引入空间向量的夹角、长度的概念和表示方法，类 比平面向量的数量积的运算得到空间两个向量的数量积的概念和计算方法、运算律.
空间向量的投影以及数量积的分配律，代数形式上与平面向量中完全一样，但是在几何直观上又有些许不同.这是学生在类比归纳中的一个难点，需要适时铺垫引导，逐个突破.
数量积在解决立体几何中直线和平面垂直、直线和直线垂直等问题的过程中，学生对几何元素与空间向量之间的对应及如何用空间向量表示所涉及的几何元素可能困难较大，这是将立体几何问题转化为空间向量问题的关键.
基于教学内容和学情分析，本节课的重点和难点确定如下：
重点：通过类比归纳得出空间向量数量积的概念及运算，能利用数量积运算解决空间垂直问题.
难点：理解空间向量的投影以及数量积的分配律；用空间向量表示线线、线面垂直，并深刻体会“没有运算的向量只能起到路标作用，有了向量的运算力量无穷”.
四、教学策略分析
（一）本节课的框架设计
为了实现教学目标，我按照以下框架安排本节课的教学：
环节1：问题引入，提出概念；
环节2：自主探究，交流分享；
环节3：例题赏析，感悟“运算”；
环节4：归纳总结，作业巩固.
（二）对教学方法和手段的分析
本节课的教学主线是：做好“类比”、抓住“本质”、学会“方法”、奠定“基础”教学过程中，充分发挥学生的主体作用，践行“学生先行，交流呈现，教师断 后”的教学理念，凸显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式.通过问题引入、阅读理解、表格填写、交流分享等途径，让学生“动起来”，让课堂 “活起来”.在概念、运算律的建构中，始终坚持让学生主动进行类比与归纳；在例题赏析中，注重引导学生建立“已知”与“待求”间的“关联”.借助向量工具 适时转化难点，设置问题串适时突破难点，注重渗透数形结合、化归转化的数学思想通过课堂小结与感悟，让学生能对课堂所学有持续的思考，激发学习的热情，进 一步增强教师引领的辐射作用.
另外，根据教学需要，对教材内容和呈现方式作了如下设计：
（1）设置“自主探究，交流分享”环节，并以表格的形式呈现空间与平面向量数量积的对比，增强对比的效果，突出两者的共性，有利于空间向量数量积的知识构建.
（2）以表格形式呈现课本第90页思考题中的3个问题，概括为“可约、可除、可结合”三个问题，增强学生对三种运算的直观理解.
（3）以例1、例2为载体，强化学生对“数量积运算”价值的认识.通过“课堂感悟”，引导学生去体会“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”.
（4）制作实用的多媒体课件，设计合理的板书，辅助课堂教学的有效开展.
五、教学过程
（一）问题引入，提出概念
之前刚刚学习了空间向量的加减、数乘运算，通过学习发现：空间向量的加减、数乘运算与平面向量的加减、数乘运算是完全一样的.必修4中已经学习了平面向量的数量积运算，从定义、几何意义、运算律等方面认识了数量积运算，那么空间向量的数量积运算会是怎么样的呢？
设计意图：通过回顾加减、数乘运算学习经验，让学生体会空间向量与平面向量的内在联系，暗示学生运用类比的方法学习空间向量的数量积运算等借此，提出“空间向量的数量积”的概念，为后续自主探究、交流分享环节作好铺垫.
（二）自主探究，交流分享
1.小组合作，自主探究
分组：4人小组，确定1名组长.组长负责组织讨论、记录、汇报讨论结果.
引导：呈现研究平面向量数量积运算的几个维度，暗示学生探究的方向.
巡视、点拨：确认组长，对讨论过程中个别疑难处进行指导.
提醒：对照表格进行填写，梳理空间向量数量积运算的相关知识.
设计意图：充分发挥学生的主体作用，践行“学生先行，交流呈现，教师断后”的教学理念，凸显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式，让学生“动起来”，让课堂“活起来”.
2.概念辨析，交流分享
（1）空间向量的投影.
设计意图：学生通过类比平面向量中的向量投影的概念、作法，在猜想、论证后得到空间向量的投影概念及作法.在此过程中，进一步体会空间向量和平面向量的 内在联系，领悟“空间任意两个向量都是共面的，空间向量的投影可以转化为平面向量的投影”，同时还学会了空间向量投影的直观作法.
（2）空间向量数量积运算的分配律.
a·（b+c）=a·b+a·c
（b+c）在a方向上投影=b在a方向上投影+c在a方向上投影
设计意图：学生在理解了“空间向量的投影”的概念之后，对投影的认识有进一步提升的需要.另外，从定义出发论证分配律也需要借助投影来实现.以长方体为背景的空间向量图示，能直观呈现空间位置和向量投影，达到“此时无声胜有声”的奇效，是本节课的一处亮点.
（3）课本第90页思考题辨析.
设计意图：通过回答表格的问题，学生进一步理解了空间向量数量积的概念及相关运算律，有效地完善了空间向量数量积运算的知识建构，为后续使用空间向量工具解决立体几何问题提供了运算支持.
3.例题赏析，感悟“运算”
例1 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
设计意图：将文字叙述转译为数学语言表达是例1的难点，将几何问题转化为向量问题是又一个难点，解决问题的核心是数量积运算.因此设置如下步骤来突破难点：
第一步，用数学语言表示；（已知：PO⊥平面α，l在平面α内，OA是斜线PA在α内的射影，且l⊥OA.求证：l⊥PA）
第二步，构建“已知”与“求证”的关联，引导学生将问题转化为向量问题；
第三步，选择合适的向量表示，利用数量积运算计算证明；
第四步，根据计算结果解释几何结论（三垂线定理）；
第五步，体验数量积运算的价值：数量积运算可以刻画空间线线垂直的位置关系.
例2 如图，m，n是平面α内的两条相交直线.如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α
设计意图：例2呈现了数量积运算刻画空间线面垂直关系的价值.证明l与α内任意一条直线g是关键，运用空间向量共面定理表示g=xm+yn是本题的难点.通过与例1的对比，促使学生深刻体会数量积运算在刻画空间垂直关系中的应用价值.为此设置问题串来突破难点：
问题1如何判断直线l⊥平面α？
问题2如何判断l⊥g（g为平面α内任意一条直线）？
问题3如何判断l⊥g？
问题4如何用m，n表示g？
4.归纳总结，作业巩固
（1）空间向量数量积的定义、几何意义、运算律.
（2）用数量积运算来刻画空间中的垂直关系：线线垂直、线面垂直.
类比与归纳右图
（1）数形结合思想；（2）化归转化思想.
·学习感悟
没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷！
·课后作业
必做作业：书本第92页练习1，书本第99页B组第1题；
选做作业：试证明三垂线定理的逆定理.
六、教学反思
从实际的教学反馈来看，本节课的总体架构是切实可行的，收效也非常好.本节课的亮点主要体现在以下三个方面：
1.教学思路的独创性
教学设计中突出了“构建向量的代数系统”的思路，寻求达成“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”的共识，是本节课的第一大亮点.
教学设计合理地解读了人教版教材的编写意图，为空间向量章节内容的教学提供了一个很好的范式.本节课介绍了又一种新的空间向量运算（数量积运算），从定 义、几何意义、运算律、应用等维度对这种运算进行研究.本节课的重心是数量积运算的认知以及价值体验的过程，而不是解题应用.
2.教学定位的适切性
教学重、难点的确定是否适切，直接影响教学是否有效.本节课的定位和预设，符合学生认知水平.
高二学生在经历空间向量的概念及线性运算之后，已初步感受空间向量与平面向量之间的内在联系（空间任意两个向量必共面），能体会运用类比的方法学习空间 向量及其运算.基于平面向量数量积的学习经验，学生已经认识到平面向量数量积在判定垂直关系中的应用价值，这为研究空间位置关系提供了类比前提，自然地确 定了教学重点——通过类比归纳得出空间向量数量积的概念及运算，并能利用数量积运算解决空间垂直问题.
空间向量的投影以及数量积的分配律，代数形式上与平面向量中完全一样，但是在几何直观上又有些许不同.这是学生在类比归纳中的一个难点，需要适时铺垫引 导，逐个突破.教学过程中，充分利用直观的几何图示，帮助学生建立对空间向量投影和分配律的几何内涵的认知，这是本节课的又一亮点.
3.教学过程的探索性
教学过程中，充分发挥学生的主体作用，践行“学生先行，交流呈现，教师断后”的教学理念，突显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式.这是本节课的第三个亮点.
通过问题引入、阅读理解、表格填写、交流分享等途径，让学生“动起来”，让课堂“活起来”，使课堂教学成为在教师指导下的探索学习过程.在概念、运算律 的建构中，始终坚持让学生主动进行类比与归纳，在探究中发现、理解数学概念；设置问题（串）引导学生主动发现“已知”与“待求”间的“关联”，体验数形结 合、化归转化等数学思想.
当然，本节课也存在许多不足之处，需要在后续的教学中加以改进.
垂直与平行教学设计范文6
平面与平面垂直关系是线线垂直、线面垂直、面面垂直关系中的最高层次.通过线面垂直转化为面面垂直，是一种判定两平面垂直的重要方法；利用平面与平面垂直的性质可以证明线面垂直，也是做平面垂线的重要方法，因此，线线垂直、线面垂直、面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以相互转化，本节的学习在高中数学学习中有着极其重要的地位.
二、设计思路
本课为新授课，积极践行新课程理念，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.学生的学习过程要成为在教师引导下的“再创造”过程，教师应充当指导者、合作者、组织者、促进者和助手的角色，与学生共同经历知识探究的过程，使学生以探索者、研究者的身份，动脑思、动手做、动眼看、动口议、动笔写、动耳听、动情读，全身心地参与学习活动.
根据本节课的特点，教师挖掘教材中的探究点，创设恰当的问题情境，形成师生、生生之间多向的讨论、交流与合作，以设疑、激疑、导疑、释疑来激发学生学习的情意.
遵循“探索―研究―运用”即“观察―思维―迁移”的三个层次要素，教师“诱”在点上，学生动脑思，动手做.由文字语言到图形语言再到符号语言，使学生由感性认识上升到理性认识，整个教学过程遵循“直观感知―操作确认―归纳总结”的认知规律，注重发展学生的合情推理能力，降低几何证明的难度.
三、教学目标
（一）知识技能
1.能归纳出平面与平面垂直的判定定理及性质定理，并证明定理；
2.通过对两个平面垂直的判定定理和性质定理的作用的挖掘，进一步体会线线垂直与线面垂直的密切关系，从而从更高的角度把握空间直线与平面的位置关系.
（二）情感、态度与价值观
通过本节学习，培养学生观察、归纳、猜想、证明的科学思维方式及辩证思维能力，体验成功的愉悦感受，增强数学应用意识，增强积极主动的探究意识，培养创新精神.
四、重点、难点
教学重点：平面c平面垂直判定定理及性质定理的理解及推导.
教学难点：平面与平面垂直的判定定理及性质定理的掌握及应用.
五、教学流程
（一）情境导入，直观感知
1.创设情境，温故求新.
【课件投影】
请回忆平面与平面垂直的定义.
如果两个平面所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直.
2.实践经验，直观感知
通过教师引导学生观察门总是与地面垂直的事实，学生能发现面面垂直的判定定理，能用文字语言叙述判定定理，但不够严谨，默读面面垂直的判定定理.
（二）归纳研究，深化定理
1.实践确认面面垂直的判定定理.
（1）形成定理.
两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
（2）定理证明.
已知：ABβ，ABα（图1）.求证：αβ.
证明：设α∩β=CD，则由ABα知，AB、CD共面.
ABβ，CDβ，ABCD，垂足为点B.
在平面β内过点B作直线BECD，则∠ABE是二面角α-CD-β是直二面角.
αβ.
（3）应用举例.
例1如图2，已知AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，求证：平面PAC平面PBC.
证明AB是圆O的直径，ACBC，
又PA垂直于O所在的平面，PABC，
BC平面PAC，又BC在平面PBC内，
所以，平面PAC平面PBC.
说明：由于平面PAC与平面PBC相交于PC，所以如果平面PAC平面PBC，则在平面PBC中，垂直于PC的直线一定垂直于平面PAC，这是寻找两个平面的垂线的常用方法.
2.实践确认两个平面垂直的性质.
（1）形成定理.
由线面垂直可以得到面面垂直，那反之由面面垂直可否得到线面垂直，通过引导学生动手操作，学生能发现面面垂直的性质定理，能用文字语言叙述性质定理.
（2）定理证明.
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
已知：如图3，αβ，ABα，ABCD，α∩β=CD，求证：ABβ.
分析：在β内作BECD.
要证ABβ，只需证AB垂直于β内的两条相交直线就行，而我们已经有ABCD，只需寻求另一条就够了，而我们还有αβ这个条件没使用，由αβ定义，则∠ABE为直角，即有ABBE，也就有ABβ，问题也就得到解决.可由学生写出证明过程.
图3
图4
（3）应用举例.
例2如图4，已知AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，求证：
（1）平面PAC平面PBC.
（2）若PA=AC=BC，求AB和平面PBC所成的角.
解过A作ADPC于D，连接BD.
由（1）平面PAC平面PBC，AD平面PBC，
∠ABC即为线AB与平面PBC所成线面角.
设PA=AC=BC=a.
在RtPAC中，AD=22a，
在RtABC中，AB=2a，
∠ABC=30°.
（三）学以致用，应用定理
练习已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足.求证：平面PAC
Symbol^A@ 平面PBD.
（证明过程略）
（四）总结反思，升华提高
1.面面垂直的判定和性质.
2.证明面面垂直的方法.
（1）证明二面角为直角；
（2）用面面垂直的判定定理.
3.面面垂直线面垂直.
（五）布置作业