幂的乘方范文1
一、幂运算法则的结构特征
1、同底数幂相乘：am.an=am+n；（m，n都是正整数）
2、幂的乘方：（am）n=amn；（m，n都是正整数）
3、积的乘方：（ab）n=anbn；（n是正整数）
4、同底数幂相除：am÷an=amn；（a≠0，m>n，m，n都是正整数）
5、商的乘方：（ba ）n=bnan ；（a≠0，n为正整数）
6、零次幂：a0=1；（a≠0）
二、理解幂的运算法则的内涵与外延
1、对于整数 m， n，幂的运算有如下法则： ① am# an= am+ n，② （ am）n= amn，
③ （ ab）m= ambm，④ am÷an= am- n（ a X ） ， 学习时， 要能熟练地将每条法则翻译成文字语言， 如法则①可叙述为/ 同底数的幂相乘， 底数不变，指数相加0，进而弄清/ 同底数0幂的内涵与外延（即不仅仅是指底数同为“a”的幂，也可以是底数同为“b， ”“x ”，“x + y”， “ x2- y2” ，的幂） ，几个幂相乘， 只要底数相同（不管底数是单项式或多项式）都可以利用这个法则进行计算.
2、明确运算法则的异同
法则的相同点：
①幂的运算法则的运算都是底数不变，只是对指数进行运算；
②法则中作为公式的底数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（ 单项式或多项式） ；
③指数都是正整数.
法则的不同点：
①同底数的幂相乘（除），底数不变，指数相加（减） ；
②幂的乘方是指数相乘；
③积（商） 的乘方是每个因式各自乘方.
三、正确理解幂的各个法则的条件和结论
1、同底数幂相乘的首要条件是“同底”即相乘的几个幂的底数不论是有理数还是整式的形式，都必须相同才行.
例1、计算（-a ） 3.a.（-a）4
分析 应先把底数分别是a.-a的幂统一成同底的幂
解，原式=（-a3）.a.a4=-（a3.a.a4）=a8
值得注意的是 对于（1）34.23，（2）（2p+3q）2.（3p+2q）2
2、积的乘方要抓住结论中“每个因式分别乘方 ”这个要点
例2.计算（an+1bnc2）3
错解：原式=am+1bnc6，其错误原因是“因式”am+1及bn没有分别乘方。
正确解法：（am+1bnc2）3=a3m+3b3nc6
四、弄清幂的运算之间， 以及它们与合并同类项之间的区别
同底数幂相乘与幂的乘方法则容易混淆. 因此， 应通过比较加以区分.
例 3 下列计算是否有错， 如果有错， 指出错误原因.（ 1） 92×93= 96； （ 2） x8+ x8= x16
；（ 3） （ a2）3= a5； （ 4） 5m3- 2m3= 3.
解： 都是错误的.理由： （ 1） 、（ 3） 是把同底数幂相乘与幂的乘方混淆了； （2）、（4） 是把同底数幂相乘与合并同类项混淆了.错误的因都是概念不清 .
上例各题的正确结果是：（1） 92×93= 95； （2） x8+ x8= 2x8；（ 3） （ a2）3= a6； （4） 5m3- 2m3= 3m3
.为了防止出错， 在解题时应首先搞清楚运算是“加”、“乘”， 还是“乘方”， 然后根据相应的运算法则计算.通过（2）、（ 4） 的分析，搞清合并同类项不仅要求底数相同，而且指数也必须相同，才能应用法则“幂不变，系数相加”来计算.而幂的乘法只要“同底”就可以应用法则“底不变，指数相加”来计算. 由此可见，这两个法则中的“不变”与“相加”是截然不同的.
五、课后总结，归纳挂理，
幂的乘方范文2
【关键词】同底数；幂；乘法
一、教学目标
1.知识与能力：理解同底数幂的乘法法则，会应用法则进行计算.
2.过程与方法：在进一步体会幂的意义的过程中，发展学生的推理能力和有条理的表达能力，提高学生观察、归纳、类比、概括等能力.
3.情感与态度：通过边做边学和合作学习，使学生轻松掌握学习的内容.
二、教学重点：同底数幂的乘法法则
三、教学难点：正确灵活使用法则
四、教学方法：边做边学
五、教学过程设计
活动一：做中学
师：引入课题（这节课我们边做、边想、边学，请同学们看下面的问题）
你还记得吗？an表示的意义是什么？a，n，an各表示什么？
请生答.
1.（师：回答得很好！你能用这个知识解决下面的问题吗？请看屏幕）
活动一：解答实际问题
一种电子计算机每秒可进行1014次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
生口述：
解 1014×103=（10×…×10）×（10×10×10）（14个10）……（3个10）=10×10×…×10（共17个10）=1017.
活动二：（师：你还能用这道题的计算方法计算下列各题吗？）（师：请把解答过程写在题单上，做完的举手示意.学生做，师巡视）
2.利用上面的方法计算下面的题（要求：先独立解决，再小组互帮，然后抽个别同学展示）
1）22×24=2）a2·a3=
3）am·a2=4）am·an=
师：（接下来请同学们在小组里议一议针对这组题提出的问题，看哪个小组先解决问题.）
（师：这组算式有什么共同的特点.）
活动三：发现同底数幂的乘法法则
提出问题：
（1）仔细观察上面每个算式都有什么共同的特点.（生答：各式幂的底数相同，是乘法.）
（师：这组算式有什么共同的特点？）
师：我们把具有这种共同特点的运算叫同底数幂的乘法.板书课题：同底数幂的乘法
（2）同底数幂的乘法结果有什么规律？你是怎样发现的？（生答：底数不变，指数相加.）
（3）同底数的幂相乘的方法是什么？（归纳同底数幂的乘法法则）分别用数学符号和文字语言表达.
师：大家能用一个简洁的式子表达吗？这个式子怎样推导？
（通过推导证实了同学们发现的规律是正确的，由此形成法则，同学们再读一遍.）
（师：你们真了不起，发现了这么重要的法则，回过头我们用法则再计算活动一的问题1014×103=1017你会觉得解答过程就更简便了.接下来我们应用法则计算下列各题看谁又准又快.）
活动四：1.抢答下列各题：（屏幕展示）
（1）73×75=（2）（-5）3×（-5）4=
（3）-13×-132=
（4）b5·b6=
（5）x·x6=（6）（a+b）2·（a+b）4=
（7）22×24×23=（8）y2·y4·y3=
（9）（x-y）（x-y）2（x-y）3=
（师：同学们运用法则很熟练，在学习中我们不仅会运用法则，还要注意观察，善于归纳总结你还会有新的发现，请同学们再观察并在小组议一议看哪个小组最先有较多的发现.）
2.问题：1）仔细观察底数可以是什么.
2）发现多个同底数幂的乘法法则：am·an·…·ap=？（m，n，…，p都是整数）
（师：同学们很聪明，把法则扩展到多个同底数幂的乘法法则，所以我们在练习中注意观察，善于归纳总结，发现更普遍的规律.）
3.方法指导：练习中要注意观察，善于归纳总结，发现更普遍
的规律.
师：（接下来我们解决下面的问题.）
活动五：法则应用一（师：试一试，你能用上面学到的知识计算下列各题吗？）
例1计算：（生试一试做）
（1） -122×-123×-12 （2）x·x6·x4
（3） -x2m+1·xm-1 （4）103×100+1000×102
（师：通过上面的计算要注意什么？生说一说）
评（1）直接用法则，注意结果底数的符号要转化为幂的符号.
（2） 同底数幂的乘法的混合运算.
（3）先确定积的符号，再用法则.注意指数是多项式时要化简.
（师：从同底数幂的乘法法则的探究到应用同学们表现得都很优秀，接下来看看法则还能怎样应用？）
活动六：
同底数幂的乘法法则：am·an=am+n，（m，n都是整数）.
反之亦成立： am+n=am·an，（m，n都是整数）.
（师：请应用这个知识解答下列各题.）
例2试一试，解答下列各题：
（1）若ax=2，ay=3，求ax+y的值.
（2）若42n+1=64，求n的值.（学生尽可能地表演，师总结：观察这三种解法都有一个共同的思路是什么？）（转化为同底数的幂相等）
师：很好！让我们一起回顾这一节课你学到了什么？
活动七：课堂小结
这节课你学到了什么？
一、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
二、同底数幂法则的应用
师：这节课我们经历了同底数幂的乘法法则的探究，其探究规律的一般步骤是什么？
幂的乘方范文3
一、 转化思想
例1 已知am=2，an=3，ap=6，求a2m+n-p的值.
【分析】本题的关键是利用同底数幂乘除的性质，把所求的式子转化为与已知条件有关的式子，再代入求值. 我们可以用两种方法思考：
解：解法1：a2m+n-p=a2m×an÷ap=（am）2×an÷ap=22×3÷6=2.
解法2：由am=2，得（am）2=22=4，
a2m+n-p=（am）2×an÷ap=4×3÷6=2.
【点评】解法1是逆用幂的乘方性质和同底数幂的乘法、除法性质，直接将a2m+n-p转化为同底数幂的乘除混合运算，基本思路是从目标出发，回归已知条件；解法2是从已知条件出发，构造出求值式中有关的a2m，再根据同底数幂的乘法、除法性质转化，化求值式a2m+n-p为（am）2×an÷ap，基本思路是由已知条件向目标转化.
例2 已知a=348，b=436，c=724，则它们的大小关系为（ ）.
A. b>a>c B. a>c>b
C. a>b>c D. c>b>a
【分析】本题不能通过直接计算结果再比较大小，可以通过逆用幂的乘方的性质，把不同指数的幂化成相同指数的幂，再比较底数的大小.
解：因为a=348=（34）12=8112，b=436=（43）12
=6412，c=724=（72）12=4912，且81>64>49，所以a>b>c，故选C.
【点评】对于无法计算结果的幂的运算大小比较，如果指数有相同的公约数，可考虑转化为相同指数的幂.
二、 方程思想
例3 已知32・9x=729，求x的值.
【分析】已知等式的两边不是同底数的幂，所以先考虑将它们转化为同底数的幂，再构建方程求出未知数的值.
解：解法1：因为32・9x=729，所以32・32x=
36，则2x+2=6，解得x=2.
解法2：因为32・9x=729，所以9・32x=729，则32x=81=34，则2x=4，解得x=2.
【点评】求指数中的未知数时，通常情况下运用“同底数幂相等，则指数相等”来构建方程解未知数.
三、 整体思想
例4 已知2m-3n+1=0，求9m ÷27n的值.
【分析】所求式子中的9m与27n并不是同底数幂，但可逆用幂的乘方法则转化为以3为底的幂相乘的形式，然后整体代入求值.
解：由已知2m-3n+1=0，得2m-3n=-1，
所以9m÷27n=（32）m÷（33）n=32m÷33n=
32m-3n=3-1=.
【点评】解决不同底数的代数式的求值问题，关键是将所求值的代数式化为同底数幂的形式，有时需把某个代数式变形后看作整体代入求值.
四、 分类讨论思想
例5 已知（2x-3）x+1=1，求x的值.
【分析】本题应对底数和指数的各种情况进行分类讨论：一是指数为0且底数不为0，二是底数为1时指数为任意数，三是底数为-1时指数为偶数.
解：本题分三种情况进行分类讨论：
（1） 因为任何非0数的0次幂都是1，所以有x+1=0且2x-3不为0，解得x=-1；
（2） 因为1的任何次幂都是1，所以有2x-
3=1，解得x=2；
（3） 因为-1的偶次幂都是1，所以有2x-
3=-1且x+1为偶数，解得x=1.
综上讨论，x的值为-1、2、1.
幂的乘方范文4
Yang Gaoxiang
（Ankang University，Ankang 725000，China）
摘要：主要讨论了当被积函数为幂函数与三角函数的乘积、被积函数是幂函数与反三角函数乘积、被积函数是幂函数与对数函数、被积函数是幂函数与指数函数乘积、被积函数是指数函数与三角函数乘积时四种情况下，如何具体的应用分部积分法，使学生更好的接受分部积分法的思想。
Abstract: When integrand was the following five cases: product of prower function and trigonometric function,product of prower function and inverse trigonometric function, product of prower function and logarithmic function, product of prower function and exponential function, product of exponential function and trigonometric function, how to apply the integration by parts was discussed such that student would better accept the integration by parts.
关键词：分部积分法 函数分类 分类教学
Key words: integration by parts；category of functions；category teaching
中图分类号：G42 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）29-0193-01
0引言
对于《高等数学》的初学者而言对该课程的基本概念、定理的理解以及相关公式的应用往往有一定的难度，所以在实际的教学过程就需要教师对教学内容进行梳理，这样让才能使学生对所学的内容有比较清晰的认识和了解。对于不定积分的分部积分法[1]这部分知识已有许多从事高等数学教学的教师[2]对其教学方法进行了研究，笔者结合自己的教学经验认为就被积函数采取分类形式的教学能够使学生能够比较容易的接受和掌握计算要领。我们都知道分部积分法的公式为：?蘩f（x）dx=?蘩udv=u・v-?蘩vdu，其中要求?蘩vdu更容易求解。学生在利用这个公式求解不定积分题目时往往不知道如何选择恰当的函数u和v，使得?蘩vdu的计算比原不定分?蘩f（x）dx的计算更简单。下面我们主要从如下四个方面就被积函数的类型展开讨论。
1被积函数是幂函数与三角函数乘积
当被积函数是幂函数与三角函数的乘积时，三角函数优先。具体的讲是指当被积函数是幂函数与三角函数的乘积时，我们借助被积表达式中的微分运算，通过局部凑微分把三角形式的函数放到被积表达式中“d”的后面，从而确定出合适的函数u和v，然后再利用分部积分法公式进行求解。
例1. 计算不定积分?蘩x2cosxdx。分析：因为被积函数是x2cosx为幂函数与三角函数乘积的形式，我们只需要对函数cosx借助微分运算放到被积表达式中“d”的后面，即把原不定积分转化为?蘩x2d（sinx），然后再借助分部积分法公式进行求解。
解：?蘩x2dcosxdx=?蘩x2d（sinx）=x2sinx-?蘩sinxdx2=x2sinx-2?蘩xsinxdx=x2sinx-2?蘩xd（-cosx）=x2sinx+2xcosx-2?蘩cosxdx=x2sinx+2xcosx-2sinx+c
2被积函数是幂函数与反三角函数或对数函数乘积
当被积函数是幂函数与反三角函数或对数函数的乘积时，幂函数优先。具体的讲是指当被积函数是幂函数与反三角函数或对数函数的乘积时，我们借助被积表达式中的微分运算，通过局部凑微分把幂函数形式的函数放到被积表达式中“d”的后面，从而确定出合适的函数u和v，然后再利用分部积分法公式进行求解。
例 2. 计算不定积分?蘩xarttanxdx[3]。分析：因为被积函数是xarttanx为幂函数与反三角函数乘积的形式，我们只需要对幂函数x借助微分运算放到被积表达式中“d”的后面，即把原不定积分转化为?蘩arttanxd（■x2），然后再借助分部积分法公式进行求解。
解：?蘩xarttanxdx=?蘩arttanxd（■x2）=■x2arttanx-■?蘩x2d（arttanx）=■x2arttanx-■?蘩■dx=■x2arttanx-■x-■arttanx+c
（其中c为任意常数）
例 3. 计算不定积分?蘩x2lnxdx。分析：因为被积函数是x2lnx为幂函数与对数函数乘积的形式，我们只需要对函数幂函数x2借助微分运算放到被积表达式中“d”的后面，即把原不定积分转化为?蘩lnxd（■x3），然后再借助分部积分法公式进行求解。
解：?蘩x2lnxdx=?蘩lnxd（■x3）=■x3lnx-■?蘩x3d（lnx）=■x3lnx-■?蘩x2dx=■x3lnx-■x3+c
3被积函数是幂函数与指数函数乘积
当被积函数是幂函数与指数函数乘积时，指数函数优先。具体的讲是指当被积函数是幂函数与指数函数的乘积时，我们借助被积表达式中的微分运算，通过局部凑微分把指数函数形式的函数放到被积表达式中“d”的后面，从而确定出合适的函数u和v，然后再利用分部积分法公式进行求解。
例 4. 计算不定积分?蘩x2exdx。分析：因为被积函数是x2ex为幂函数与指数函数乘积的形式，我们只需要对指数函数ex借助微分运算放到被积表达式中“d”的后面，即把原不定积分转化为?蘩x2d（ex），然后再借助分部积分法公式进行求解。
解：?蘩x2exdx=?蘩x2d（ex）=x2ex-?蘩x2d（x2）=x2ex-2?蘩exxdx=x2ex-2?蘩xd（ex）=x2ex-2xex+2?蘩exdx=x2ex-2xex+2ex+c（其中c为任意常数）。
4被积函数是指数函数与三角函数乘积
当被积函数是指数函数与三角函数的乘积时，无论是先把指数形式的函数放到被积表达式中“d”的后面还是先把三角函数形式的函数放到“d”的后面无所谓，不过要使用两次分部积分法，并出现一次循环。
例 5. 计算不定积分?蘩exsinxdx。分析：因为被积函数是exsinx为指数函数与三角函数乘积的形式，我们只需要对函数cosx借助微分运算放到被积表达式中“d”的后面，即把原不定积分转化为?蘩x2d（sinx），然后再借助分部积分法公式进行求解。
解：方法一：先把指数形式的函数放到被积表达式中“d”的后面。?蘩exsinxdx=?蘩sinxdex=exsinx-?蘩exd（sinx）=exsinx-?蘩excosxdx=exsinx-?蘩cosxd（ex）=exsinx-excosx+?蘩exd（cosx）=exsinx-excosx-?蘩exsinxdx
故?蘩exsinxdx=■ex（sinx-cosx）+c（其中c为任意常数）。
方法二：先把三角形式的函数放到被积表达式中“d”的后面。
?蘩exsinxdx=?蘩exd（-cosx）=-excosx+?蘩cosxd（ex）=-excosx+?蘩cosxexdx=-excosx+?蘩exd（sinx）=-excosx+exsinx-?蘩sinxd（ex）=-excosx+exsinx-?蘩exsinxdx
故?蘩exsinxdx=■ex（sinx-cosx）+c（其中c为任意常数）。
参考文献：
[1]同济大学数学系.高等数学( 第六版上册) [M].北京: 高等教育出版社, 2007:208-212.
幂的乘方范文5
技巧一：变底数
例1 若2x+5y=3，求4x・32y的值.
解：4x・32y=22x・25y=22x+5y=23=8.
例2 设x=3m，y=27m+2，用含x的代数式表示y，则y=________.
解：y=（33）m+2=33m+6=33m・36=（3m）3・36=x3・729=729x3.
【点评】例1将底数4和32换成2为底，再利用幂的乘方和同底数幂乘法法则得到22x+5y，利用整体代换的方法求出结果为8.例2将27换成33，将幂的乘方法则和同底数幂乘法法则顺向和逆向使用，从而得到y=729x3.
技巧二：变指数
例3 若a=2555，b=3444，c=6222，请比较a，b，c的大小，用“>”连接.
解：a=2555=25×111=（25）111=32111，
b=3444=34×111=（34）111=81111，
c=6222=62×111=（62）111=36111.
因为81>36>32，所以b>c>a.
例4 3-108与2-144的大小关系是_______.
解：3-108=（3-3）36=■36，2-144=（2-4）36=■36，
因为■
【点评】例3，例4都是先将指数化为相同的数，再比较底数的大小，找到指数的最大公约数，熟练地正向和反向使用幂的乘方法则是关键.
技巧三：凑出“1”
例5 计算■2012×（1.5）2013×（-1）2013.
解：原式=■2012×■2013×（-1）=-■×■2012×■=-■.
例6 计算-■2011×2■2012的值.
解：原式=-■2011×■2011×■
=-■×■2011×■=-■.
【点评】例5逆用积的乘方法则以及幂的乘方公式凑出“1”，例6先定积的符号为负，再用例5的方法凑出“1”使运算变得简便.
技巧四：凑整体
例7 已知10m=20，10n=■，求9m÷32n的值.
解：因为9m÷32n=32m÷32n=32m-2n=32（m-n），
而10m=20，10n=■，所以10m÷10n=20×5=100，
所以10m-n=102，所以m-n=2，所以9m÷32n=32（m-n）=32×2=34=81.
例8 已知a2+a=1，求2 013a3+4 025a2-a的值.
解：原式=2 013a3+2 013a2+2 012a2-a
=2 013a（a2+a）+2 012a2-a
=2 013a+2 012a2-a
=2 012a2+2 012a
=2 012（a2+a）
幂的乘方范文6
首先，导入环节，从学生原有认知结构提出问题，拉紧注意之弦，上课铃响后，可能还有一些学生仍沉浸在课间愉快的玩耍中，个别对数学不感兴趣的学生则以比较慵懒的状态来迎接老师，还有的昏昏然不知道要上什么课，这时教师以矫健的步伐走进教室，并迅速走到学生中间。以迅雷不及掩耳之势对学生进行提问：“在小学我们已经学习过a・a，记作a2，读作a的平方(或a的二次方)；a・a・a记作a3，读作a的立方(或a的三次方)；那么，a・a……a(n个a，n是正整数)呢?在小学对于字母a我们只能取正数，进入中学后，我们学习了有理数。那么a还可以取哪些数呢?请举例说明。”连续两个快节奏的问题下来，教室里已站立了好几名学生，其余的学生向站着的学生行注目礼，而只有少数充分准备好的同学回答对了问题，大大舒了一口气坐下去，一下子就像秋风扫落叶似的，大家心底起了一丝凉意，肌肉、精神都紧张起来，全都打起精神迎接老师的提问，并暗下决心。以后上数学课前要认真预习，就这样，两三分钟下来，学生的注意力被调动起来，以充沛的精力、饱满的情绪进入新课的学习。
接下来，我们知道，再好的二胡拉久了也要换弦，上了十几分钟课，乘方的概念讲完了，部分学生的注意力也开始涣散，这时教师要与学生进行语言、表情、肢体等方面的交流，提高学生注意力，使他们保持良好的学习状态，教师走到学生中，不经意又有目的地迅速点一名成绩比较差的学生提问：“请你复述一下老师刚才提的问题。”这时他肯定答不出，教师再迅速提问另一个开小差的学生：“请你将例4的题目念一下。”(事实上这节课的知识根本就没有例4)他手忙脚乱地找了一阵之后就会发现没有，于是在大家的笑声中，学生马上意识到刚才是不是走神了呢?很快地，全班学生又开始收紧注意之弦来认真学习，然后，教师迅速给出三组计算题(题略)让学生计算，并引导学生观察、比较、分析这三组计算题中底数、指数和幂之间有什么关系。
1 横向观察：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数i零的任何次幂都是零。
2 纵向观察：互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等。
3 任何一个数的偶次幂是什么数?任何一个数的偶次幂都是非负数。
你能把上述结论用数学符号语言表示并板书吗?其间，教师十分亲切、自然地对四五名学生进行提问，听取他们的想法，并给予适当的鼓励和表扬，这样既有效调动了学生思考问题的积极性，也有效提高了学生的注意力。
然后学生自行完成以下练习：(1)(-3)2，(-3)3，[-(-3)]5；(2)-32，-33，-(-3)5。
教师先要求3名学生上台做，再进行点评，这样反复强调，可加深学生对乘方知识的理解，也能拉长学生的有意注意时间。