正数和负数教案范文1
一、在教学内容的挖掘时提高“研究”的含量
数是整个数学里的主要研究对象之一.虽然在中学有理数这部分教学中,对于有理数的知识,重点只是让学生理解有理数的意义、学会有理数的比较和运算,但作为数学教师来说,至少得初步了解一些数的理论,这样才能更深入地理解教材内容的精神实质,对教材进行分析研究,正确地进行教学.[1]
案例1:关于“负负得正”是否可以证明的数学理解
田载今先生对上述问题做出过非常明确的解释,“负负得正”的乘法法则是数学中的一种规定(定义),它不能通过逻辑证明得出.然而,对这个法则的规定既有客观世界中的实际背景,又有数学内部需要和谐发展的思想背景.教学中适当地介绍这些背景材料,可以帮助学生认识乘法法则的由来与合理性,但是不能将这样做误认为证明这个法则,[2]张广祥先生认为:数学的许多规则,包括初中阶段负负得正以及数与式的大量符号运算法则,是人类几千年来计算经验的总结.是人类追求“和谐体系”的结果.这些规则后来被数学家作为设立数系公理的依据,以便可以从数系的公理系统推出这些行之有效的规则.“美学观念”在理解符号及其运算的学习过程中发挥了重要作用.在实际教学中,我们不必也不可能在学生的初学阶段作这样的形式化证明.但是,我们能够通过模式直观,用“美学的”、“和谐的”、“合理的”思考方式,帮助学生理解这些规则.[3]
我们非常同意上述看法,由于有理数是在学生学习过整数、分数的基础上,对于数集的又一次扩充,对于教师而言,应该了解数集扩充的原则.如果在数集扩充时,我们认定运算律和零的性质是自然成立的,也就能够解决学生产生的为什么“负负得正”这样一个困惑.其实学生困惑主要在于经常会觉得(-1)+(-1)=-2,同类数相加,类型不变,量相加.为什么这样的直观原则用在乘法时不再成立?在认定了数集扩充原则以后,利用形式符号运算能够圆满地解决这一困惑:0=-1×[1+(-1)]=(-1×1)+[-1×(-1)]=-1+[-1×(-1)],所以(-1)×(-1)=1.其实,作为教师应当明确负数的运算实际上已经是一种形式符号的运算,它与具有实体形象的正数虽然有相同的运算性质和运算法则,但是形式符号的特点是与实体分离.当然有人还会问,数集扩充后,为什么运算律和零的性质是自然成立的.这仅仅是因为在自然数中有此运算律,扩充以后这种要求与我们的生活事实没有矛盾,没有别的理由.正如W. H. Auden所说Minus times minus is plus. The reason for this we need not discuss(负负得正,理由不需要讨论).至此,我们可以认为从数学的本质出发,对“负负得正”的理解显得更加自然、恰当.
二、在教学建议的提出时提高“研究”的含量
1.“研究教材”——从品读课本的角度挖掘教学内容
新课程背景下,教师作为课程的实施者,同时也是课程研究、建设和资源开发的重要力量.教师对于课本提供的基本素材和线索,可以调整、重组,可以超越甚至颠覆,但这似乎并不能认为应当降低课本的地位,教师应学会创造性地运用课本——也就是“用课本教,而不是教课本”.我们认为,课本是实现课程目标、实施教学的重要资源,同时它为学生的学习活动提供了基本线索.因此,教师首要的事情是“研究”课本.以人教版数学“有理数”一章为例,我们虽然只是从一些具体的内容和一些细节入手,但是品读后就会发现大有收获.
(1)品读插图
案例2:浓缩的三幅图画——“承前启后”的开篇
正数和负数这一节的三幅图画——古代人们结绳而治(即用自然数计数)、0的产生、分数的应用表明了人们认识数的发展过程.虽然只有很少的文字介绍,通过负数一节开头图的呈现,却将小学所学过的数以及它们的扩充的过程做了一种总结概括.放在这里有种“承前启后,继往开来”的气势.
(2)品读句子
案例3:“数的产生和发展离不开生活和生产的需要.”——精彩的导入语
课本的第1节“正数和负数”第一句话是:“数的产生和发展离不开生活和生产的需要.”它与我们通常的说法似乎有点不同.为什么不说:“由于生产和生活的需要,产生和发展了数.”如果这样换一下,就有些逊色了.因为从数学的发现和创造过程来看,数的产生和发展不只是实际需求的结果,也是数学内部矛盾作用的结果.对初一学生来讲,认识到这一点,当然是后话,课本却由此留下了空间.三个字“离不开”,境界就出来了,有种“微言大义”之感.
(3)品读结构
案例4:数轴的概念——定义中体现非常“数学化”的结构
数轴的定义是初中阶段非常数学化的定义方式,书上说的是通常用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴,它满足以下要求,即原点、正方向、单位长度.这种定义方式,刚开始学习时学生极容易漏掉“满足以下要求”后面的部分.但是如果教师仔细看数学书就会发现,在以后复杂数学定义和高等数学中很多定义都是这样表述的,比如定义代数中的群、环、域的概念,都是一个集合满足几个条件等等类似定义方式.
案例5:“有理数的加减法”和“有理数的乘除法”——内容上体现非常“数学化”的结构
“有理数的加减法”首先从加法的几何意义出发,用数轴表示两次运动及其结果,引导学生从不同类型的七个算式中发现加法的运算法则,验证其合理性的,运算律是通过实验得到的,减法法则是根据“减法是与加法相反的运算”推演出来的.既有观察、实验,也有验证、推理,根据具体内容的特征选用不同的活动.再看“有理数的乘除法”,由于它与“有理数的加减法”内容结构是平行的,因此采用了同样的处理方式.应该如何处理教学内容——“具体问题具体分析”,课本不是给出很好的范例吗?
(4)品读遗憾
案例6:负负得正的课本解释
当然,教材也有值得商榷的地方.在上文中,我们谈到对“负负得正”的数学理解.课本上对“负负得正”的解释,用向东、向西,某时刻之前、之后作为正负取向的标志,然后采用直观方法验证负负得正的运算规律.这是上述操作性的模式直观.但是,由于借喻“向东、向西”,“时刻前、时刻后”这种实际情景,我们实际上已经在算术演算中加进了“向量”的更为复杂的概念,这对初学正负数四则运算的学生来说,新概念过分集中,为学生的接受能力所不容许.实际上,物质世界并不存在一个抽象的“负负得正”的算术实例.因此,如上文所述从“运算和谐”的角度寻求能够支撑“负负得正”的模式直观也许在教学中存在更合理的价值.[3]巩子坤老师在研究使用不同模型教授“负负得正”对学生的理解产生的影响时发现,教师使用不同的模型对学生的理解并没有产生显着性的差异.[4]这也有理由支持我们从更数学的角度让学生理解“负负得正”的运算法则.
2.“研究教法”——处理教学内容的三个维度
(1)从几何直观的角度呈现教学内容
数和形是数学的两个方面.数学中的数较形而言,具有更加抽象的特点,这也是学生在数集扩充的时候的理解更加困难的原因之一.但是借助几何上的直观感觉可以帮助我们理解数的某些相关的概念和运算法则,甚至理解数量之间的关系,这在国外有很多人研究,叫做Proof without Words(无字证明).
案例7:“去括号法则”无字证明的讲授
在进行有理数混合运算时,我们应该补充有理数的去括号法则.老师常让学生记住去括号的法则:括号前面有负数,负数的绝对值与括号中数分别相乘,再改变每个数前面符号.这个法则常常让学生出错,如:(-1)×(2-1+5)=-2+1-5,特别是在多项式运算中常出错.这种让学生当做规则不加以任何解释的应用,这当然不是学习数学的态度.在教学上,虽然由上面的讨论可以看出,负负得正这个法则是由于运算需要而人为规定出来的,只好让学生记忆,再通过例子强化,但涉及多个数的运算需要运用分配律时,我们建议不要让学生背诵太多的法则,不如让学生应用运算律:加乘分配律和(-a)(-b)=ab.那么有(-1)×(2-1+5)=(-1)×2+(-1)×(-1)+(-1)×5=-2+1-5.
在教学中,我们也可以运用几何直观的方式把去括号的规则讲的清楚一点,用极其简单的几何直觉就能说明去括号法则正确的可能.无字证明的习惯是只需要把图画出来,说一声“请看”就足够解释这种法则了.
如图,给出a>b及c>a,其中a、b、c皆为正数,那么a-b为一正数,小于c,即c-(a-b)必作为正数存在.现在用横坐标把数字表示出来,表明点a和点b之间的线段具有长度a-b.看一下图示就可以明白,如果从c段中取走a-b,结果同我们先取走整个线段a,再放回b段一样.这样就直观的说明了去括号法则的合理性.[5]
(2)从难点分析的角度把握教学内容
把学习过程中的难点分散,使学生在学习过程中多次接触、反复体会、螺旋上升,逐步加深理解,并注意明确相关内容在不同时间段中的要求及前后联系,这是提高教学效果的重要方法.
正数和负数教案范文2
关键词：有效教学；案例；一次函数；口诀记忆法
在全面贯彻落实“减负提质”教育政策的背景下，实施有效课堂教学就显得非常重要。要想开展有效数学课堂教学，教师必须想方设法使自己的教学能够最大限度地吸引学生，其中的关键点就是教师要对所授数学知识加以整合以提高课堂效率。在知识整合过程中起重要作用的是对所学知识结构的概括。只有经过概括的知识结构，才能准确地辨别出新旧知识间本质上的差异或相似程度。也只有经过概括的知识结构，才具有稳定的、清晰的概念。在初中数学中有很多的知识点都是在原有知识点上构建的，那就需要教师充分地把握教材，对相关数学知识加以概括总结。下面我就对一次函数性质的教学做法进行总结以供大家参考。
一次函数是初中数学的重要内容，在多年的教学当中我发现学生在理解和运用这个知识点时经常混淆，甚至有的同学觉得无从下手。纵观近几年中考试题可知，考察一次函数的题目形式多种多样，有选择、有填空，有的渗透在解答题中，有的出现在压轴题中。为了让同学们不再对一次函数性质觉得迷茫，我对一次函数的性质进行归纳，编成口诀，便于理解记忆。
一次函数的一般式y=kx+b(k≠0)，它的图像所经过的象限由系数k和b的符号决定，而它的增减性也由k的符号决定，所以不用取点画图，直接根据k和b的符号就可以知道它的所有性质。
在表达式y=kx+b(k≠0)中，k在前，b在后，故分类是先将k分类，分k＞0和k＜0两类，在这两类条件下再将b分类，有b＞0、b=0和b＜0三类，而当b=0时，一次函数成了特殊的正比例函数，另当别论，所以共有以下四类。如下表：
在记忆时，只需记口诀“k为正时渐变大，k为负时渐变小。同正不经四象限，同负不经一象限；先正后负不经二，先负后正不经三”即可。
例1：函数y=7x-4经过的象限是 。
分析：不需要取点画图，根据它的k=7＞0为正，b=-4＜0为负，“有先正后负不经二”，即该函数不经过第二象限，所以它只经过第一、三、四象限。
例2：有这样一道开放性题目：写出一个经过二、三、四象限的一次函数。
分析：只经过二、三、四象限的，就不经过第一象限，有口诀“同负不经一象限”，只要k和b都取负数即可，答案不唯一。
例3：已知一次函数y=kx-k，若y随x的增大而减小，则该函数经过 象限。
分析：根据口诀“k为负时渐变小”，得知k为负，则-k为正。有“先负后正不经三”，即该函数不经过第三象限，所以它只经过第一、二、四象限。
例4：已知直线y=(1-2m)x+(4m-1)，分别根据下列条件求m的值或m的取值范围：（1）这条直线经过原点；（2）这条直线经过第一、二、三象限。
分析：（1）直线经过原点的，b是0，即4m-1=0，解得m=0.25；（2）直线经过一、二、三象限的，就不经过四象限，有“同正不经四”，得1-2m＞0和4m-1＞0。解得m＜0.5和m＞0.25。
正数和负数教案范文3
一、课前探讨，培养学生直觉思维
课堂教学是数学教学中最为直接的一种培养学生思维的方式，所以，初中数学老师要高效利用数学教学的课堂时间，在一堂课的不同阶段设计一些开放型的题目，引导学生展开思考，提升思考能力。
1.精心设计，引导学生思考
在一堂课开始之前，可以针对本堂课需要学习的知识设计一些开放型的题目，以培养学生的发散思维。在初中数学七年级上册第一单元《有理数》的第一节《正数和负数》的课堂教学中，在上课一开始，本人不急着将本节课要讲授的内容告诉学生，而是先打开多媒体，用幻灯片展示两个图片——珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地，在两幅图片下面提出一个开放型的问题：请仔细观察这两幅图片，说出你认为它们之间存在的最大差别?很显然，这是一个仁者见仁智者见智的开放型问题，学生可以从不同的角度进行考虑。
2.适时“指路”，鼓励学生探索
经过了5分钟的简短思考后，本人对学生进行提问，不同的学生有不同的看法，有些学生从温度的角度考虑，认为二者之间最大的差别是温度，珠穆朗玛峰温度很低，而吐鲁番盆地温度很高；有些学生从植物的角度考虑，认为二者之间最大的差别是植物的多少，珠穆朗玛峰常年严寒，植被稀少，而吐鲁番盆地光照充足，有丰富的植物和特产；还有同学从海拔的角度考虑，认为珠穆朗玛峰拥有世界最高的海拔，而吐鲁番盆地海拔很低，二者之间海拔相差很大。本人在询问了部分同学之后，得到了以上三种基本的答案，因此，我首先赞赏每一个学生的观点，因为每一个学生的观点都是思考的结果，都应该予以肯定，接着，我就海拔差这一个观点引入本堂课的主要内容——正数和负数。
通过这样的开放型问题的思考，一方面可以训练学生的直觉思维，提升了学生的思考能力，另一方面，可以很好的引入课本内容，让学生对所学内容更加深刻。
二、课中思考，培养学生发散思维
在初中数学的课堂上，在讲述了本课的重点知识之后，教师一般会给出几道题目，让学生进行思考作答，以检测课堂学习的效果。在选择题目的过程中，教师应该多采用开放型的题目，以培训学生的发散思维，将所学知识进行拓展，教会学生举一反三的思维方式。
1.围绕知识，设计迁移题型
在初中数学七年级上册第一单元《有理数》的第一节《正数和负数》的课堂教学进行到一半的时候，我已经将正数和负数的基本概念、表示方法教授完毕，为了进一步的巩固这个知识，我围绕着正数和负数的基本概念、表示方法设计了一个开放型题目：想一想在我们的生活中，有哪些是属于具有相反意义的量，找出几对，并分别用正、负数表示。在课堂教授的时候，已经涉及到了温度、海拔、汽车行驶距离等等具体的量，在这个基础上，提出这个开放型的题目，旨在进一步的迁移正数和负数的知识，培养学生举一反三的能力和发散性思维。
2.针对回答，梳理知识脉络
5分钟的讨论时间结束后，我让学生自由站起来回答这个问题。有些学生提出了电梯“上升”和“下降”这两个相反的量可以用正数和负数表示；有些学生提出“前”和“后”这两个相反的量可以用正数和负数表示；还有些学生认为钱的“收入”和“支出”这两个相反的量可以用正数和负数表示……
学生们都很活跃，针对这个问题进行了深入的思考，举出了平时生活中很多很常见的例子。学生回答完毕后，我针对学生的回答进行了总结，和学生一起梳理了本节课主要学习的知识有：①什么是正数和负数；②正数和负数怎么表示。通过这样的总结，学生由发散的思维转变到总结简化的思维，真正的将知识进行精简，达到了删繁就简的学习效果。
三、课后练习，培养学生延伸思维
在每一节初中数学课的结尾，很多教师喜欢布置一些题目留给学生课后思考。教师应该注重设计这些题目，尽量留给学生一些开放型的题目，这样才能够培养学生的延伸思维。
在初中数学七年级上册第一单元《有理数》的第二节《有理数》的课堂上，我教授了学生有理数的概念、有理数的分类、建立了有理数的基本框架。在课堂结尾，针对本堂课教授的关于有理数的分类的知识，我设计了一道开放型的题目：请你在下图的每一个圈内填上适合的数，使得圈内的数依次为整数集、有理数集、正数集、分数集、负数集。这个题目没有特定的答案，并非一道只有一个正确答案的题目，学生无需苦思冥想就可以作答。但是这个题目很好的延伸了本堂课的基本知识，有利于学生在总结本堂课知识的基础上进行思维的延伸，在思考之后填入正确的答案。在第二天的课堂上，很多学生都填入了自己认为正确的数字，在提问上节课所学知识的时候，学生回答得非常很准确，也很有条理，显而易见，在课堂结尾布置开放型的题目远比封闭性题目要好，更有利于学生全面的总结知识，而非训练知识的某一点。
正数和负数教案范文4
关键词：探究、实验、猜想、开放题、问题情景、归纳、类比
探究性学习是在教师的组织和引导下，学生通过发现问题、调查研究、动手操作、表达与交流等活动来获取知识、技能的学习活动。同时能充分展示和发展学生的思维过程，让学生主动参与知识的形成过程，有利于培养学生独立探究的能力。现有教学经验表明，学生通过自己的努力和智慧，在充分尝试历经困难之后获取数学知识，比起教师的详细讲解所获得知识，留下的印象更加深刻，应用起来更加得心应手，因他们获得的理解经历了一个合情合理的观察、思考、推导的过程。因此，在课堂教学中教师要依据教材设计探究性问题。
一、 实验探究
数学教学中重视逻辑论证是完全必要的，但在实际学习过程中，许多定理（公式、法则）是靠实验、观察、操作、猜想得出结论，然后再论证，这是符合学生认识规律和心理发展特点。
在《轴对称》教学中，教师让学生在一张白纸上任意滴一滴墨水，接着按任意方向对折纸，然后启发学生观察两滴墨水印的形状与折纸的位置关系。通过让学生进行实验与观察，既落实教学内容，有活跃课堂气氛。
在三角形三边关系一节中，教师在上课前要求学生事先准备五根长短不一的小棒，长度分别是 ，取其中的三根小棒塔成一个三角形，由实践操作回答：你所取的三根小棒的长度分别是多少？任意两边之和一定大于第三边吗？学生通过动手实验，直观比较，趣味盎然的进行学习。
从另一方面说，数学概念的本身大部分通过实践、猜想而发现、发展。如学习完全平方，学习勾股定理进行拼图，可强化知识形成，培养学生科学实践能力。
二、 猜想探究
猜想探究凭借直觉获得感性认识，它常以观察、联想、延伸等思维为基础，根据以有的知识、经验和方法，对数学问题广泛联想，积极探索、大胆猜想、寻找规律、合理论证，是创造性活动的重要途径。
用《字母表示数》一节中，教师出这样问题：在下面由火柴拼出的一列图形中
……
） 第个图形中，火柴棒的根数是
） 第个图形中，火柴棒的根数是
） 第个图形中，火柴棒的根数是
） 第n个图形中，火柴棒的根数是
这样设计，通过不同图形，不同方法的计算，猜想、寻找规律，认识字母表示数的意义。
在《有理数加减》复习课中，提出：“钟面数字问题”，钟面上所有的数的代数和为零。通过教师提出问题学生动手解答——讨论研究、师生合作交流——师生提出变式问题，深化研究——教师总结或提出更一般化的问题的教学活动。由问题所反映的各种教学规律：（）若干个正数和负数相加时，只有当这些的正数的绝对值等于负数和的绝对值时，这些正数和负数的代数和为零；
（）若干个正数和负数相加时，如果把某数变号，那么和的绝对值就减少这个数的两倍。
（）答案的对偶性，由（），若干个正数和负数相加其代数和为零时，将所有的数变号，这些数的代数和仍为零。
由问题所反映的数学方法：
（） 列举答案是穷举法。要求答案既不重复，又不遗漏。
（） 由具体答案归纳为数学数学过滤的抽象方法；
（） 将具体问题推到一般的方法。
三、 开放题探究
正数和负数教案范文5
关键词探究、实验、猜想、开放题、问题情景、归纳、类比
探究性学习是在教师的组织和引导下，学生通过发现问题、调查研究、动手操作、表达与交流等活动来获取知识、技能的学习活动。同时能充分展示和发展学生的思维过程，让学生主动参与知识的形成过程，有利于培养学生独立探究的能力。现有教学经验表明，学生通过自己的努力和智慧，在充分尝试历经困难之后获取数学知识，比起教师的详细讲解所获得知识，留下的印象更加深刻，应用起来更加得心应手，因他们获得的理解经历了一个合情合理的观察、思考、推导的过程。因此，在课堂教学中教师要依据教材设计探究性问题。
一、实验探究
数学教学中重视逻辑论证是完全必要的，但在实际学习过程中，许多定理（公式、法则）是靠实验、观察、操作、猜想得出结论，然后再论证，这是符合学生认识规律和心理发展特点。
在《轴对称》教学中，教师让学生在一张白纸上任意滴一滴墨水，接着按任意方向对折纸，然后启发学生观察两滴墨水印的形状与折纸的位置关系。通过让学生进行实验与观察，既落实教学内容，有活跃课堂气氛。
在三角形三边关系一节中，教师在上课前要求学生事先准备五根长短不一的小棒，长度分别是57101215，取其中的三根小棒塔成一个三角形，由实践操作回答：你所取的三根小棒的长度分别是多少？任意两边之和一定大于第三边吗？学生通过动手实验，直观比较，趣味盎然的进行学习。
从另一方面说，数学概念的本身大部分通过实践、猜想而发现、发展。如学习完全平方，学习勾股定理进行拼图，可强化知识形成，培养学生科学实践能力。
二、猜想探究
猜想探究凭借直觉获得感性认识，它常以观察、联想、延伸等思维为基础，根据以有的知识、经验和方法，对数学问题广泛联想，积极探索、大胆猜想、寻找规律、合理论证，是创造性活动的重要途径。
用《字母表示数》一节中，教师出这样问题：在下面由火柴拼出的一列图形中
……
1）第2个图形中，火柴棒的根数是
2）第5个图形中，火柴棒的根数是
3）第10个图形中，火柴棒的根数是
4）第n个图形中，火柴棒的根数是
这样设计，通过不同图形，不同方法的计算，猜想、寻找规律，认识字母表示数的意义。
在《有理数加减》复习课中，提出：“钟面数字问题”，钟面上所有的数的代数和为零。通过教师提出问题学生动手解答——讨论研究、师生合作交流——师生提出变式问题，深化研究——教师总结或提出更一般化的问题的教学活动。由问题所反映的各种教学规律：（1）若干个正数和负数相加时，只有当这些的正数的绝对值等于负数和的绝对值时，这些正数和负数的代数和为零；
（2）若干个正数和负数相加时，如果把某数变号，那么和的绝对值就减少这个数的两倍。
（3）答案的对偶性，由（1），若干个正数和负数相加其代数和为零时，将所有的数变号，这些数的代数和仍为零。
由问题所反映的数学方法：
（1）列举答案是穷举法。要求答案既不重复，又不遗漏。
（2）由具体答案归纳为数学数学过滤的抽象方法；
（3）将具体问题推到一般的方法。
三、开放题探究
发散思维在创造性思维中占主导地位，所以为了发展学生的创造性就应培养学生的发散思维。教学内容开放性，所提出的问题常常是不确定和一般性的。主体必须收集其他必要的信息，才能着手解决。有些问题答案常常是不确定的，存在着多样的答案，但这样的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答的过程中主体的认识结构的重建。
正数和负数教案范文6
关健词：问题系统高中数学实验
问题系统引导教学法实验，是从教学思想、教材、教法及课堂结构等方面进行的一次综合性的改革实验，它从目标与检测、自学、情感这四个因素来全面落实数学问题系统，将教材中的数学习题进行了扩展。从主体上说，就是将传统的教材向具有科学性、生动性、启发性和导向性的问题系统进行转化，在编排上根据中学生的认知水平和心理水平进行安排，将死板的教学变成了生动活泼的乐学，实现了当前倡导的“面向全体学生，负担轻，速度快，容量大，效果好”的教学目标。
我校编写了一套高一的《代数》和《立体几何》教案本。在两年的教改实验中，我们进行了多次的研究教学和观摩教学活动，收到了良好的教学效果。
一、教案本与问题系统引导教学法实验课例
目前高考的知识点大部分来自于教材，但是所遇到的题型和解题方法都是没有见过的。也就是说，即使学生熟练地掌握了教材，也不一定能在高考中取得好成绩。针对这一问题，提出了问题系统引导教学法。我们将教材的每一节知识编成了相应的教案本，教案本将每节课都问题化，目的是让学生主动去思考，教师只是引导，通过这样的方式来培养学生的自学能力。此教案本是为了高考而特制的，在课堂教学中，课前能当预习辅导材料，课后又能作为习题本。
下面就问题系统引导教学法具体的课堂实例进行介绍，以等差数列的前n项的和公式一节课为例。
课题：“等差数列的前n项的和公式”。
研讨课题：如何使用实验教材引导学生进行系统的自我学习、探索、发现和概括？
教学过程：
教师：今天，我们学习实验教材《数列》第一章的第五课“等差数列前n项的和公式”，同学们先看教案本中的学习提要和问题1的两个问题。
学习提要：等差数列的前n项的和公式有哪两个形式？如何导出的？如何应用等差数列前n项的和公式解题？
评述：实验教学每节课开始，都是以几个小问题的形式呈现，提出本节课的教学目标、学习任务，教学知识的重点，这样有利于教与学的顺利开展。
问题一：
1.在等差数列{an}中，若自然数n，m，p有关系q，n+m=p+q，则an，am，ap，aq有关系an+am=ap+aq。
2.如何计算1+2+3+…+100？
评述：问题一迁移性问题，为引出以下的新知识起到了铺垫作用，如第1题是为了解释a1+an=a2+an-1=…，第2题则是推导等差数列Sn的方法原型。
教师：同学们看问题二与问题三中部分公式的推导。
问题二：
1.如何计算5+6+7+8+9+10+11？
2.在等差数列{an}中，如果记Sn=a1+a2+…an，称Sn为等差数列{an}的前n项的和，问Sn具有怎样的表达式？
问题三：
1.试用下面竖式计算题1中七个数的和：
S7=5+6+7+8+9+10+11，①
S7=11 + 10 +9+ 8 + 7 + 6 + 5。②
①+②得：
2S7=（5+11）+（）+（）+（）+（）+（）+（）
=7×16。
S7=7×8=56。
2.一般地，设有等差数列a1，a2，…，an，它的前n项的和为Sn=a1+a2+…+an。
仿上题列竖式：
Sn=a1+a2+…+an-1+an，③
Sn=an+an-1+…+a2+a1。④
③+④得：
2Sn=（）+（） +…+（）+（）。
a1+an=a2+ （）=……
2Sn=n・（a1+an）。
由此得到等差数列{an}的前n 项和公式。
公式（1）Sn=n（a1+an）12，求Sn需知三个条件，再由等差数列的通项公式an=a1+代入上式，得到等差数列Sn的另一形式。
公式（2）Sn=na1+n（n-1）12d，这里求Sn要知道的三个条件是：。
教师叫学生写出公式（1）、（2），然后用语言表达推导公式的方法，应用公式求Sn的方法需要知道的三个条件。
评述：这两个问题从浅到深来安排，主要是希望让学生根据规律逐渐掌握数列的求和公式，由学生自已动笔去推导这些公式，印象深刻，对知识理解到掌握。
现通过两个例题组织学生进行讨论。
例1一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和.
（1）若这个数列前n项和最大，求n的值.
（2）求该数列前14项的和.
分析：（1）s3=s11，说明第4项到第11项之和为0，因数列首项为正，故必然有一项为正且其后面一项为负，找到这一正、负分界项，便得到n的值.
（2）s3=s11，显然不能求出a1和d的具体值，为此，只有设法探求s14与它们的关系.
解：（1）由已知s3=s11，得
a4+a5+a6+…+a10+a11=0，
a4+a11=a5+a10=…=a7+a8=0.
因数列首项为正，故公差d0，a8
（2）设{an}首项为a1，公差为d，s3=s11，
则3a1+3（3-1）12s=11a1+11（11-1）12d，
整理得2a1+13d=0.
故s14=14a1+14（14-1）12d=7（2a1+13d）=0.
例2设数列an是等差数列，Sn是它的前n项的和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{|Sn1n|}的前n项的和，求Tn。
解：设数列{an}的公差为d，则
7a1+21d=7，
15a1+105d=75，解得a1=-2，
d=1。
所以Sn=n（n-5）12.
设bn=Sn1n=n-512，则{bn}是等差数列，故S′n=b1+b2+…+bn
=n2-9n14.
令bn=n-512≥0，解得n≥5.
所以b1，b2，b3，b40.
所以当n≤5时，
Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|
=-（b1+b2+…+bn）
=9n-n214.
当n≥6时，
Tn=|b1|+|b2|+…+|b5|+…+|bn|
=-（b1+b2+…+b5）+b6+…+bn
=-S′5+（S′n-S′5）
=S′n-2S′5
=n2-9n+4014.
所以Tn=9n-n214（n≤5），
n2-9n+4014（n≥6）。
评述：对所学知识进行及时的反馈，通过练习，帮助学生开发自己的思维。教师不需要对习题进行讲解，完全由学生自己直接解答，由师生共同讨论完成解答步骤。
由此可以看出，实验教材不仅是教师的教案，还是学生的练习册。在课堂上，既节省了教师的板书、提问，学生的抄笔记等活动，在一定程度上减轻了学生的课业负担，使课堂高速、高效。
二、实验总结
实验取得了相当满意的效果，这当然取决于我校学生有良好的素质和刻苦学习的精神，效果体现在以下两方面.
1.减轻了教师的负担
从学生方面来说，问题系统引导教学法的实验培养了学生自觉学习的习惯，学生只有在每节课之前做好预习，才能正确地完成教案本上的内容，这就等于完成了课本中的一些容易的练习题了，这样，学生就可以不必去做课本上的习题了。针对学习差的学生则需要加强对教材习题的训练。从教师方面来说，有了教案本，备课的工作量大大减少，作业批改量也很少，甚至是没有，从而减轻了教师的负担。
2.学生的学习能力大幅度提高
经过这一年的实验教学法的实施，在每次的测试中，有的学生能得满分，这在以前的教学中是没有的，学生学习成绩的提升，激发了学生学习数学的热情，学生的学习能力也得到了提高。
总之，运用问题系统引导教学法实验在实际的教学中取得了很好的教学效果，为此，在高三年级也应该进行此种方法教学，现在已经相应编好了高三教学用的数学专题讲座。希望在以后的教学中，问题系统引导教学法实验更加完善。
参考文献
王岳庭。数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集。北京：海洋出版社。 1998年。
