矩阵在数学建模中的应用范文1
关键词：矩阵 建模 应用
中图分类号：G642 文献标识码： A 文章编号：1672-1578（2012）11-0021-01
作为数学中基本概念的一种，矩阵一直以来都是人们对复杂事物本质进行把握的关键工具之一。在建模过程中，矩阵的应用十分广泛，例如进行层次分析、对投入产出的分析、数学规划过程以及数据拟合等过程均需要借助于矩阵对实际问题进行分析和解决。通常而言，建模过程中所涉及到的矩阵类型包括L矩阵、成对比较矩阵、一致阵、素阵以及随机矩阵等等多种类型。本文主要就矩阵在规划、线性代数、微分方程以及动态趋势预测等模型中的应用情况进行具体分析。
1 矩阵在规划模型中的应用分析
一直以来，规划方面的问题对于经管、科研以及工程技术等多个领域而言总是最为常见的问题之一。例如，设计人员在对材料的尺寸进行选择时，如何在符合强度等多方面条件要求的情况下，确保结构的总重量的最小化。采用建模方法对规划问题进行处理时，虽可能导致结果可行性不足或是实际情况达到最优，但其结合经验及试验数据来对客观规律及数据进行分析，因而还是能够得到较为满意的结果。以下对矩阵在规划模型中的应用情况进行实例说明。
例：n种食物中，每一种含营养m种，在第j种食物中，每单位下第i种营养成分是ij。设一个人每一天对第i种营养的最小需求为bi，而第j种食物单价为cj，则每人如何进行食物选购才能在满足其自身需求的同时花费最低？
解：假设选购食物时第j种食物其数量是xj（j=1，2，…，n）时，则可得到：■■x■≥b■（j=1，2…，m），x■≥0（j=1，2，…，n），minf=■c■x■此时，其矩阵形式如下：Ax≥b，x≥0，minf=cx所得矩阵可采用Matlab数学软件对其进行求解。
2 矩阵在线性代数模型中的应用分析
对于线性代数模型而言，其主要将矩阵及向量作为对象，并将实向量空间作为背景，对较为抽象复杂的问题进行解决的工具之一，作为一种可定性及定量的多准则评价手段，层次分析法可对多种方案在多目标及条件下进行评价，且简便有效。以下对矩阵在层次分析法中的应用进行实例分析。
例：对于大学生而言，其有3种工作选择，C1为国家机关，C2为国有企业，C3则为外资企业。而其考虑最多的因素如下：收入G、发展I及声誉S.以C1、C2、C3对G、I、S 的作用程度情况，及G、I、S对个人的重要程度情况，由此来决定C1、C2、C3三种选择的份额情况。
解：设G、I、S对大学生的重要程度的判断矩阵如下：
A（M）= 1 4 21/4 1 1/21/2 2 1，可求出A（M）权重向量如下：（0.571，0.143，0.286）T。
假设，C1、C2、C3对G、I、S重要程度的判断矩阵是A（G）、A（I）及A（S），得到A（G）、A（I）及A（S）三者的权重向量分别如下（0.333，0.167，0.500）T、（0.631，0.158，0.211）T及（0.588，0.294，0.118）T。
从而可得出C1、C2、C3三者权重分别如下：
C1=0.333×0.571+0.631×0.143+0.588×0.268=0.449
C2=0.167×0.571+0.158×0.143+0.294×0.268=0.202
C3=0.500×0.571+0.211×0.143+0.118×0.268=0.349。
也就是说，大学生对于此三种选择的份额情况如下：国家机关为44.9%，国有企业则为20.2%，而外资企业则为34.9%。
3 矩阵在微分方程模型中的应用分析
在对随时间变化，某对象某特征的变化规律的分析、未来发展情况的预测及其控制措施的研究过程中，构建微分方程模型的过程必不可少，而矩阵在此模型中的应用也较为广泛，以如下实例说明：
例：假设f（t）、i（t）（i=1，2，…，n-1）是纯量函数，而cj（j=1，2，…，n-1）是纯量，则令y=x1，y′=x2，…，y（n-1）=xn则可得到如下一阶方程组：
■=x■，■=x■，…，■=x■，■=-■（t）x■-…-■（t）x■+f（t）
将此一阶方程组进行转变后，所得到的矩阵形式如下所示：■=A（t）X（t）+F（t），X（0）=C。由上述一阶方程组和相应的矩阵形式可知，一阶方程组形式更为复杂，而矩阵形式更为简便，这表明矩阵可以简化所建立模型中的微分方程组形式，使得所建立模型更为简洁易懂。
4 矩阵在动态趋势预测模型中的应用分析
若矩阵形式是方阵，此时线性变换可持续进行，即线性代数中所谓的矩阵方幂问题，其涉及到了矩阵的乘法、对角化及其方程等多方面知识，此问题在生物领域的应用十分重要，以下举例说明。
例：假设农场某一种动物中的雌性的生存年龄最长是N年，则将其生长区间[0，n]进行n个年龄段的等分，第i年龄段是■N，■N，而第i年龄段生育率和存活率分别为i、bi，如果初始时刻此动物种群的年龄分布如下：
X■=（x■■，x■■，…，x■■）■，若取t■=■N，k=1，2…，则t■时刻时此动物种群的年龄分布为：X■=（x■■，x■■，…，x■■）■。表明在时刻t■时，首个年龄段中的雌性动物数量同t■，t■时间段内不同年龄段生育幼仔数量总和相同，则结合矩阵的乘积：X■=AX■，k=1，2，…，n-1，因此，可得到X■=A■X■，k=1，2，…，n-1。
若初始时刻此动物种群不同年龄数量分布情况已知，则可求出tk时刻此动物种群不同年龄段的数量分布情况X（k）。若想对多年后此动物种群的发展趋势进行预测，应考虑当k趋向于无穷大时所得的极限，以对动物数量的变化进行动态科学的预测。
参考文献：
[1]李明. 线性代数中矩阵的应用研究[J].常州工学院学报，2011（03）：59-62.
矩阵在数学建模中的应用范文2
【关键词】 并行计算 矩阵相乘 MPI
一、问题背景
矩阵是数学以及工程中的一个基本概念，许多科学计算问题往往归结为对矩阵的操作，如三维图像处理、神经网络等。由于矩阵的运算，特别是大规模矩阵相乘，矩阵的特征值求解等需要大量内存并且耗时的处理过程，单处理机已经无法承受，因此有效地实现大型的矩阵并行算法在实际应用中是非常重要的。
二、大规模矩阵向量相乘的串行算法描述
设A和B是两个n×n矩阵，将矩阵A和B的乘积记为C=B×A，那么C也是一个 n×n矩阵，乘积C的第i行第j列的元素等于A的第i行和B的第j列对应的元素乘积的和，可表示为C（i，j）=，特殊地，当考虑矩阵B为矩阵向量。采用串行算法在传统计算机上计算矩阵乘法时，需要使用比较多的工作单源和存储单元，计算A和B的乘积的结果矩阵C时，每计算出C的一个元素，需要做n 次乘法和n-1次加法， 逐项计算个共需执行（n-1）次加法和次乘法，计算效率将受到很大的影响。
串行算法：
三、 模型建立
3.1矩阵相乘按行计算
特殊地，考虑B矩阵为，矩阵向量相乘时，我们考虑nxn维矩阵A在n个进程间划分的情况。将计算机进程编号为，0，1，2…n-1 。则每一个进程都会存储1xn维矩阵。进程会存ai1，ai2，ai3…ain。并且负责计算。向量C的存储方法与B相同。考虑P（p
3.2 矩阵相乘按列计算
按列进行划分是对每一行进行划分然后发送到每个进程上。我们考虑0，1，2…n维矩阵A在n个进程间划分的情况。将计算机进程编号为0，1，2…n-1。对于矩阵的第一行，a11…a1n进行划分，进程pi接收到元素的为ai1，每一行划分后，进程pi接收到的元素为a1i…ani。进程pi做的计算为cj=aji×bi，j=1…n； 每一个进程都会得到一个向量，将每一个向量所对应的元素相加，即得到最终的向量c。
3.3 基于MPI的多核并行算法的设计
MPI是一种基于信息传递的并行编程技术。主进程按行划分矩阵及向量，记录自身计算所需矩阵分量并调MPI_Send将向量发给各个进程；其余进程调用 MPI_Recv接收主进程发送的矩阵分量及向量分量； 各个进程调用MPI_Scatter按行共享主进程中的矩阵；各个进程进行矩阵向量相乘；各进程调用MPI_Gather将所有向量各个分量聚集到主进程上得到最终结果。
四、数值实验和结论
MPI结果图表分析：
（1）随着矩阵规模的不断增大，程序的执行时间中，计算时间占主导因素，并行计算的优势得到了体现，运行时间随着进程数的增加而逐渐减少。
（2）两种分发方式中，随着维数的增高，按行划分是相对有效的方法。按列划分在分发时需要分发的次数为维数的倍数，分发的时间将大大增加。按列划分需要将矩阵进行块划分。然后再进行分发，相对来讲，增大了时间的消耗。
（3）随着矩阵规模的不断增大，使用并行计算的运算时间远小于串行算法的运算时间，在大规模矩阵的运算过程中，并行计算有很大的优势.
【参考文献】
[1] 多线程并行快速求解e 值的六种方法，朱建伟，刘荣.研究与开发.
矩阵在数学建模中的应用范文3
关键词：认知诊断；Q矩阵理论；测验蓝图的设计；基本矩阵；多级评分
中图分类号：B841.2 文献标识码：A 文章编号：1003-5184（2012）05-0417-06
正如Tatsuoka（2009）指出，认知诊断是一种模式识别。模式识别由特征提取及分类判别两部分构成。认知诊断中Q矩阵理论对应于特征提取，而认知诊断模型对应于分类判别。
1 Q矩阵理论进展的回顾
Tatsuoka建立Q矩阵理论（Tatsuoka，1995，2009），即根据欲诊断的内容，确定被试的知识状态，并且要用观察反应模式将知识状态表达出来（Tatsuoka，1995）。其实，Q矩阵理论离不开Q矩阵，Q矩阵是一种元素为0～1的矩阵，故是布尔矩阵，它实质上是诊断范围内的属性（attribute）和项目或知识状态的关系矩阵，若正确回答项目j必须掌握属性i（或第j种知识状态中包含属性i），则qij=1，否则qij=0。认知诊断中有一个概念—期望反应（又称为理想反应），即具有知识状态为α的被试i在不猜测也不失误的条件下对项目j的反应称为期望反应。期望反应又指期望反应得分。如果是采用0～1评分方式，则期望反应得分为0或1分；对于多级评分，则期望反应的得分是一个0分到该项目满分之间的一个非负整数。
规则空间模型的创始人Tatsuoka（1995，2009）认为Q矩阵可以从现存的试卷分析出来。Q矩阵的行代表属性，列代表项目，对Q的行进行逐对比较，比如第i行减去第k行，如果所得的差向量的每个分量均非负，则表示属性i是属性k的先决属性。由此可以找出属性之间的先决关系。然后Tatsuoka（1995，2009）认为Q矩阵的行进行布尔并与交运算可以构成一个属性空间（LA），列进行布尔并与交运算可以构成一个项目空间（LI），并且认为LA和LI是布尔代数，再通过布尔描述函数（BDF）可以导出期望反应模式。
Tatsuoka（2009，p.9）甚至认为“在规则空间模型中，知识状态，或者等价地（or，equivalently），理想反应模式，形成预先确定的分类组别的集合”；随后，在该书第99页又说，“每一个属性模式和它对应的理想反应模式一起称为知识状态；换言之，知识状态可以是属性模式，或者等价地，知识状态可以是它对应的理想反应模式”。可见Tatsuoka在某种意义上，认为知识状态集合至少是可以和期望反应模式集合对应的。但是下面的例1将指出，除非测验蓝图设计合理，否则不相同的期望反应模式的数目一般都少于不相同的知识状态的数目，所以很可能不同知识状态对应同一个期望反应模式。Tatsuoka为了更好地使期望反应模式与知识状态对应，进而达到观察反应模式与知识状态的对应，提出了充分Q阵的概念，即Q矩阵通过行的比较导出属性之间的先决关系，这个先决关系如果能蕴含出可达矩阵，则这种Q阵为充分Q阵（Tatsuoka，1995，2009）；一个题库的所有项目如果能够对应充分Q矩阵，则这个题库称为充分题库。Tatsuoka（1995，2009）认为充分Q矩阵和充分题库可以提高认知诊断测验的构念效度（construct validity），因此她说充分Q阵是知识结构的核心（Tatsuoka，2009）。
然而其他的研究人员对上述Q矩阵理论的内容进行了一些修正。Gierl，Leighton和Hunka（2000）认为Tatsuoka这种从实际数据中或者在试题命制以后提取Q阵的方法（称为事后分析的方法，用retrofitting表示）的逻辑有问题，因为许多现存的试卷或测验其目的不是做认知诊断，故相应的试卷的设计不适宜做认知诊断。Leighton，Gierl和Hunka（2004）提出先分析属性及其层级，然后再给出邻接阵、可达阵、Q矩阵，再设计测验的工作流程，并且创建了属性层级方法（AHM）。
在0～1评分方式下，Ding，Luo，Cai，Lin，Wang（2008）和丁树良，祝玉芳，林海菁，蔡艳（2009）指出LA、LI不一定可以构成布尔代数，从而使用BDF导出期望反应模式的理论基础不存在，同时给出了不使用BDF而由知识状态和测验蓝图（测验Q阵Qt）计算期望反应模式的简便算法。丁树良等人（2009）、杨淑群，蔡声镇，丁树良，林海菁，丁秋林（2008）发现知识状态集合或潜在项目集合均可以由可达阵的列“生成”出来，丁树良，杨淑群，汪文义（2010）和丁树良，汪文义，杨淑群（2011）给出如下的定理。
定理1 假设所讨论的认知属性对认知任务所起的作用是非补偿、连接的，并且采用0～1评分方式，则Qt中包含可达阵R是使知识状态与期望反应模式建立起一一对应关系的必要充分条件。
这里所说的“一一对应”的更加专业的说法是“双射”，即既是“入射”又是“满射”（左孝凌，李为鑑，刘永才，1982）。这个定理说明可达矩阵在认知诊断测验编制中的重要作用，由此丁树良等人（2010，2011）建议将可达阵作为测验蓝图Q阵的子矩阵，并且把将可达阵作为子矩阵的测验蓝图称为 “充要Q阵”。事实上由定义立即得知充要Q阵一定是充分Q阵，而且容易举例说明充分Q阵不一定是充要Q阵。特别地，下面的例子说明尽管充分Q阵可以提供属性层级结构，而根据属性层级结构可以去构造好的测验蓝图，但是使用充分Q阵本身作为测验蓝图并不一定可以提高认知诊断的效度，因此充要Q阵的概念比充分Q阵的概念更加重要。
例1三个独立属性，令Q1=110011101，Q2=100010101，显然Q1是充分Q阵，而由Q2知属性1是属性3的先决属性，故Q2不是充分Q阵，但Q2仅仅使知识状态
000与001的ERP相等， 010与011的ERP相等，而Q1使100，010，001与000的ERP相等，即Q2 对应了6个不同的ERP，而Q1只能对应5个不同的ERP。因此在认知诊断测验中，一般来说使用Q1比使用Q2的效果会差一些。至少应用AHM或者RSM的时候，分类的类中心缺少一个，从而增加了错误判别的可能性；其实像DINA模型，也存在同样的问题。这个例子表明，充分Q矩阵的概念不一定能够达到提高认知诊断的效度的效果。事实上Tatsuoka（2009）本人也意识到充分Q阵不一定能够将所有被试分类，更不一定能将被试都正确分类。她表示，充分Q阵不一定是合适（appropriate）Q矩阵。同时她称对应于同一个期望反应模式的知识状态的集合为一个知识状态等价类（equivalent class）。显然这个等价类是定义在Qs的列上，由测验Q阵（Qt）决定的。
不论测验蓝图是以何种方式得到的，Qt中元素有可能标注不合理，Tatsuoka并没有讨论如何应用Q矩阵理论对Q矩阵进行修正，也没有提出过根据实际数据对测验Q矩阵修正的方案。de la Torre（2008）提出了在DINA模型下Qt中元素修正的一个方案，涂冬波，蔡艳，戴海琦（2012）根据DINA模型中项目参数的意义，提出了Qt修正的γ（伽玛）方法。而Chen，Xin，Wang，Chang（2012）和汪文义，丁树良，游晓锋（2011）提出了项目属性在线辅助标定的方案，以及Cui和Leighton（2009）提出属性层级相合性指标（HCI）以评价被试反应是否符合测验Q矩阵规定的层级关系。这些都可以看成是Q矩阵理论的进一步拓展。
Tatsuoka（1995，2009）注意到有的测验Q阵（Qt）使得多个知识状态对应同一个期望反应模式，这容易引起诊断分类混乱。如果可以设计Qt使得不同的知识状态对应不同的期望反应模式，再加上已有的认知诊断模型可以将一个观察反应模式对应一个期望反应模式，这便可以完成Tatsuoka（1995，2009）规定的Q矩阵理论的任务，即用观察反应模式表示知识状态，并且不引起诊断分类的混乱。
因此，现在面临的两个关键问题：一是要制定评价Qt设计好坏的标准；二是在给定的标准下，如何构造一个好的Qt。在此首先给出认知诊断测验蓝图的设计好坏判断的一个标准：在已知属性及其层级关系条件下，对于一个好的Qt，它应该建立起期望反应模式与知识状态的双射关系（即入射和满射关系；双射关系有时又称为一一对应），即不同的知识状态对应不同的期望反应模式（入射），而且每一个期望反应模式都有知识状态与之对应（满射）。然后，在讨论如何构造一个好的Qt之前，为了明确测验编制和这种属性层级的对应关系，本文的第二部分先讨论在0～1评分模式下，对于两个属性之间存在几条路径的复杂属性层级结构，如何用Q矩阵进行描述，为此给出基本矩阵的概念。最后（第三部分）讨论在某种多级计分模式下，给出测验蓝图设计的建议，使得在这种测验蓝图之下知识状态集合和期望反应模式集合一一对应，并且指出这是一个充分条件。
2 如何理解收敛型结构
Leighton等人（2004）给出了4种基本的属性层级关系，即线性型、发散型、收敛型、无结构型。他们认为其他更复杂的层级关系可以由这4种基本类型复合出来，并且他们认为每一个层级都有一个公共的先辈属性，即这个属性是所有其他属性的先决属性。Tatsuoka（1995，2009）讨论了另一种层级结构—独立型，即任何两个属性之间都不存在先决关系。这里值得讨论的是收敛型结构（图1），这时，如果不能同时掌握属性A3和A4，则不能掌握属性A5，就好像不懂同分母相加和求两个数的公倍数，就不能掌握异分母相加一样。
但是命题专家可能遇到这样的问题：如果有好几种不同的途径，可以从属性A到属性D，比如已知属性A有几种策略可以由A到D，这时，对应的属性层级关系图如何画？为了使问题明确起见，我们只考虑一种最简单的情形，即K=4，并且A到D有两条路径A、B、D和A、C、D，属性层级关系由图2.a还是图2.b描述才是正确的？
根据Leighton等人（2004）的定义，图2.a是收敛型，即欲掌握属性D，必须同时掌握属性B、C（而掌握属性B或C，必须先掌握A），即如果不管电流流经路线的先后顺序，那么这时B和C的关系相当于电路中的串联关系；而图2.b是两个分开的由A到D的路径，它表示了既可经由B到D，又可以经由C到D，这时B和C的关系又相当于电路中的并联关系。对于图2.a，其邻接阵为
A=0000100010000110，可达阵为R=1000110010101111，而潜在Q阵Qp=10001100101011111110，学生Q阵Qs=000010001100101011111110，Qp是4×5矩阵；Qs是4×6阵，表示代表6类不同知识状态。
而图2.b对应两个邻接阵：
A1=0000100000000100，A2=0000000010000010，由图2.b和命题专家命制的项目，这四个属性之间有两条通道，相应的可达阵为
R1=1000110000101101，R2=1000010010101011。R1的第3列仅有一个元素为1，它是R1第3行第3列的元素，表示属性C为孤立结点；同理由R2可知属性B为孤立结点（注意属性A不是孤立结点，尽管第一列仅含一个非零元，但是它是B或者C的先决属性）。于是图2.b对应的两个可达阵删去各自的孤立结点对应的列，且相同的列仅保留1列以后，得到一个“基本矩阵”，记为B。称B为基本矩阵是因为根据B和扩张算法（Ding et al.，2008；丁树良等，2009；杨淑群等，2008），可以得到基于图2.b的所有不同的项目类Qp，且所有可能扩张出Qp的矩阵中B包含的列数最少，这里
B=10001100110110101011，Qp=1000110011011010101111101111
由扩张算法可知，可达阵是一个基本矩阵，而基本矩阵不一定是可达矩阵。因为众所周知，可达阵是一个方阵，而基本矩阵不一定是方阵。事实上，“基本矩阵”是可达矩阵这个概念的一个推广。
由图2.b也可以使用更简单的方法获得基本矩阵，由图2.b中两条通路，可以写出各个通路的路径（用列表示），然后删去相同的路径，便可以导出B，=B，基本矩阵每一列均十分重要，如果测验蓝图中缺少某一列会使某几个不同知识状态对应同一个期望反应模式，比如令Qt=10001100101011101111，它缺少B中1101和1011，这时若采用0～1评分模式，其期望得分模式的计算如下：
（1 1 0 1）Qt=（1 1 0 0）Qt=（1 1 0 0 0）
（1 0 1 1）Qt=（1 0 1 0）Qt=（1 0 1 0 0）
这时会使认知诊断的诊断分类准确率下降。
因此，我们建议对于0～1评分，在测验蓝图设计中，应该包含所有基本矩阵的列对应的项目。
3 多级评分认知诊断测验蓝图的设计
多级评分比0～1评分具有更多的诊断信息，研究多级评分方式下测验蓝图Qt的设计可以更好地诊断分类。但是多级评分比0～1评分更复杂，比如如何计分就值得仔细讨论，目前0～1评分的研究比多级评分的研究更加深入。我们这里只是限定在比较简单的评分方式下，讨论Qt的设计。
设每掌握项目中所包含的一个属性，则对该项目期望得分增加一分（田伟，辛涛，2012；Tatsuoka，1995；祝玉芳，丁树良，2009），即设α为知识状态，Qt是一个测验蓝图，其行表示属性，列表示项目。上述期望得分的计算方式实质上便是向量和矩阵的乘法，即αTQt，而且我们也假设属性之间不可以相互补偿。在这些假设之下，我们有如下结论：
结论1 如果矩阵Qt的秩（rank）等于属性的个数，则在上述记分方式之下，知识状态与期望得分模式是一一对应的。
结论1的证明要用到线性代数中齐次线性方程组有唯一解的充要条件的相关结论，由这个结论及所给出的Qt行满秩的条件，知道两个知识状态α、β不相等，则必有αTQt≠βTQt。又由于期望反应模式的数目不可能超过知识状态的数目，现在不同的知识状态对应不同的期望反应模式，故此时的期望反应模式个数等于知识状态个数，从而，这个Qt建立了这两个集合之间的双射。但是，这个结论仅仅是一个充分条件而不是必要条件。下例说明了这一点。
例2 设K=3，且属性层级为线性型。这时知识状态只有4种：
α0=000，α1=100，α2=110，α3=111，设Qt=100111100，这时Qt的秩等于2﹤K=3。但对于α0，α1，α2，α3，它们的期望反应模式分别为：E0=（0 0 0），E1=（1 1 1），E2=（1 2 1），E3=（1 3 1），显见E0，E1，E2，E3各不相同，即虽然Qt的秩不等于属性个数，知识状态{α0，α1，α2，α3}与{ E0，E1，E2，E3}也实现了一一对应，这就说明了矩阵Qt的秩（rank）等于属性的个数仅仅是知识状态与期望得分模式一一对应的一个充分条件而不是必要条件。
然而对于独立型属性结构（即任两属性之间均互不为先决关系），结论1是不是一个充分必要条件还有待进一步讨论。
4 讨论
本文概括了Tatsuoka（1995，2009）Q矩阵理论及其包含的主要内容，以及其他研究人员对Q矩阵理论的修正、补充和拓展。本文试图从两方面扩展Q矩阵理论。一方面，对于有多条路径由属性A到属性D，讨论了0～1评分方式下测验蓝图的设计，即包含“基本矩阵”。可达阵是基本矩阵的一种。然而这种测验蓝图的设计方式，还只是在例题的启发下的一个直观的想法，是否可以如同0～1评分方式下可达阵的重要作用那样予以证明（丁树良等人，2010），这也值得考虑。图2.a与图2.b的区分是重要的，命题专家如果要命制含属性A、D的项目，必须同时包含属性B和C，则这时层级关系图如图2.a所示，如果既可以命制含A、B、D，又可以命制含A、C、D的项目，则层级关系图如图2.b所示；另一方面，对于特殊计分模式的多级评分认知诊断，给出了一个好的测验蓝设计的充分条件，并且在线性结构条件下，指出这不是必要条件，然而对于离散型结构，这是否为必要条件还有待进一步讨论。对于多级评分方式，如果也有多条路径由属性A到属性D，测验蓝图应该如何设计，才能使得知识状态和期望反应模式一一对应，这个问题值得仔细讨论。另外如果有多条路径由属性A到属性D，这时Tatsuoka（1995，2009）给出的对Q矩阵进行逐行比较寻找属性之间的先决关系的做法失效，因为Tatsuoka（1995，2009）给出的这个方法的前提是一对属性之间最多只容许一条路径的连接。既然在命题当中出现一对属性之间有多条路径的连接的事实，就有必要研究在这种情况下如何从Q矩阵出发，寻找属性之间层级关系的方法。本文讨论的多级评分的方式有合理之处，比如选择合适的属性粒度，使得满足这种评分条件；但是这种评分方式的确有其局限性，至少它不是很灵活。至于在其他评分方式下，测验蓝图应该如何设计，值得仔细考虑。当然，如果像罗欢，丁树良，汪文义，喻晓锋，曹慧媛（2010）建议的属性分数加权以后再计算期望反应模式，测验蓝图设计的原理可以仿照上面的思路进行讨论。
有一种观点认为，使用DINA模型，可以不考虑属性层级，即任何情况下，都可以当成独立结构看待，因此不必花费精力去研究属性的层级关系。姑且不说认知诊断测验应该重视认知模型，而属性及其层级正好是认知模型的一种表现形式；如果仅仅论及数据分析，这种观点忽视了一个重要的问题，即认知诊断测验如果设计不好，其判准率必定受到影响。而要设计一份合理的认知诊断测验，则必须知道属性及其层级。清楚了属性及其层级关系，才能计算出潜在Q阵Qp，才能设计出好的Qt。只有好的Qt，才能使知识状态与期望反应模式一一对应，而不至于使多个知识状态对应同一个期望反应模式，才能提高诊断判准率。有了属性及其层级，有可能大大节省数据分析的时间。比如K=10，对于线性型结构，只能够获得11种知识状态；而对于独立型结构，则可以获得1024种知识状态，两者分析的时间显然大不相同。由此观之，讨论属性层级的意义绝对不可以小觑。认知诊断蓝图的设计表面上看是一个Q矩阵的元素的填写过程，这和成就测验中的双向细目表的填写似乎没有差异，但认知诊断要弄清楚被试认知的结构，从而清楚他们认知的长处与缺陷，如果没有一个科学细致的设计是不可能达到目的的。这个设计甚至贯穿在认知诊断的全过程，事实上，对Qt的修正也就是根据所获取的被试的观察反应模式对测验蓝图的再认识，这一做法和成就测验也不相同。总之，认知诊断测验还是一个比较新的研究领域（Leighton，Gierl，& Hunka，2004），发展不充分，许多问题有待进一步探讨、争论，以期在更深入的层次上达到新的统一。
参考文献
丁树良，汪文义，杨淑群.（2011）.认知诊断测验蓝图的设计.心理科学，34（2），258-265.
丁树良，杨淑群，汪文义.（2010）.可达矩阵在认知诊断测验编制中的重要作用.江西师范大学学报，34（5），490-495.
丁树良，祝玉芳，林海菁，蔡艳.（2009）.Tatsuoka Q矩阵理论的修正.心理学报，41（2），175-181.罗欢，丁树良，汪文义，喻晓锋，曹慧媛.（2010）.属性不等权重的多级评分属性层级方法.心理学报，42（4），528-538.
田伟，辛涛.（2012）.基于等级反应模型的规则空间方法.心理学报，（1），249-262.
涂冬波，蔡艳，戴海琦.（2012）.基于DINA模型的Q矩阵修正方法.心理学报，（4），558-568.汪文义，丁树良，游晓锋.（2011）.计算机化自适应诊断测验中原始题的属性标定.心理学报，43（8），964-976.
杨淑群，蔡声镇，丁树良，林海菁，丁秋林.（2008）.求解简化Q矩阵的扩张算法.兰州大学学报（自然科学版），（3），87-91，96.
左孝凌，李为鑑，刘永才.（1982）.离散数学.上海：上海科学技术文献出版社.
祝玉芳，丁树良.（2009）.基于等级反应模型的属性层级方法.心理学报，41（3），267-275.
Chen，P.，Xin，T.，Wang，C.，& Chang，H.H.（2012）.Online calibration methods for the DINA model with independent attributes in CD-CAT.Psychometrika，77，201-222.
Cui，Y.，& Leighton，J.P.（2009）.The Hierarchy Consistency Index：Evaluating Person Fit for Cognitive Diagnostic Assessment.Journal of Educational Measurement，46（4），429-449.
de la Torre，J.（2008）.An empirically based method of Q-matrix validation for the DINA model：development and applications.Journal of Educational Measurement，45，343-362.
Ding，S.L.，Luo，F.，Cai，Y.，Lin，H.J.，& Wang，X.B.（2008）.Complement to Tatsuoka’s Q matrix theory.In K.Shigemasu，A.Okada，T.Imaizumi，& T.Hoshino（Eds.），New Trends in Psychometrics（pp.417-424）.Universal Academy Press：Tokyo.
Gierl，M.J.，Leighton，J.P.，& Hunka，S.M.（2000）.Exploring the logic of Tatsuoka’s rule-space model for test development and analysis.Educational Measurement：Issues and Practice，19，34-44.
Leighton，J.P.，& Gierl，M.J.（2007）.Why cognitive diagnostic assessment？ In J.P.Leighton & M.J.Gierl （Eds.），Cognitive diagnostic assessment for education：Theory and applications（pp.3-18）.Cambridge，UK：Cambridge University Press.
Leighton，J.P.，Gierl，M.J.，& Hunka，S.M.（2004）.The attribute hierarchy method for cognitive assessment：a variation on Tatsuoka’s rule-space approach.Journal of Educational Measurement，41（3），205-237.
Tatsuoka，K.K.（1995）.Architecture of knowledge structures and cognitive diagnosis：a statistical pattern classification approach.In P.D.Nichols，S.F.Chipman，& R.L.Brennan（ Eds.），Cognitively Diagnostic Assessments（pp.327-359）.Erlbaum：Hillsdale.
Tatsuoka，K.K.（2009）.Cognitive assessment：an introduction to the rule space method（pp.9，79，99，107）.New York：Taylor & Francis Group.
Extension to Tatsuoka’s Q Matrix Theory
Ding Shuliang Luo Fen Wang Wenyi
（School of Computer and Information Engineering，Jiangxi Normal University，Nanchang 330022）
矩阵在数学建模中的应用范文4
关键词：矮塔斜拉桥；影响矩阵；索力优化
矮塔斜拉桥是近些年来在斜拉桥基础上发展起来的一种新型桥梁结构形式，就结构特性而言，矮塔斜拉桥是介于连续梁桥与斜拉桥之间的一种新桥型。矮塔斜拉桥的总体特点是：塔矮、梁刚、索集中[1][2]；主要通过主梁受弯承受大部分竖向荷载，斜拉索竖向分力承担剩余的竖向荷载，同时其水平分力对主梁起加劲作用，达到改善主梁性能的目的。斜拉索索力对矮塔斜拉桥的结构性能至关重要，因此进行斜拉索索力优化是必要的。
矮塔斜拉桥斜拉索初张力优化就是要找出一组初张力,使结构在确定性荷载作用下某种反应受力性能的目标函数达到最小。
1 优化模型的建立
1.1索力调整的影响矩阵
取斜拉索的初张拉力为变量，以各斜拉索的单位初张力分别作用于无应力状态的全桥模型，得到对主梁各单元内力的影响值而组成影响矩阵[3]。设：斜拉索初始张拉力列阵为 ；斜拉索索力列阵为 ；结构各单元杆端弯矩列阵为 ， 、 分别为第i号单元左、右端弯矩； ， 、 分别为第i号单元左、右端轴力；则：
（1）
式中： 、 、 为恒载作用下索力列阵和结构各单元杆端的弯矩、轴力列阵。
其中： ， 、 分别为第i号单元左、右端恒载弯矩； ， 、 分别为第i号单元左、右端恒载轴力； 、 、 索力影响矩阵和各单元杆端弯矩轴力影响矩阵。
1.2优化目标
有约束的最小能量法的优化目标可选结构的弯曲和拉压应变能，该函数为：
（2）
假定各梁塔单元均为等截面，单元的弹性模量不变，则上式简化为：
（3）
式中： 、 为单元左、右端弯矩； 、 为单元左、右端轴力； 、 、 、 、 分别为单元的弹性模量、截面惯性矩、截面积、单元的长度梁塔单元总数。
将（3）式用矩阵形式表示为：
（4）
； ；
式中：B、C分别为单元柔度对单元弯矩、单元轴力的加权系数组成的系数矩阵：
, ; ,,
1.3无约束索力优化的线性方程解
要使索力调整后结构应变能最小，令 （5）
式中：n为调整索数。
将式（4）代入式（5）并写成矩阵形式：（6）
至此，索力优化问题转化为求解（6）式的一阶线性方程的问题。
1.4.优化约束条件
（1）索力约束条件
斜拉索的索力在成桥状态及运营过程中，考虑到强度和疲劳的问题，应约束索力的上下极限值。另外，初张索力及正常使用过程中的索力应为大于0的拉力，以确保斜拉索的有效性。因此，索力的约束可表示为; （7）
其中： 、 为指定索力上、下极限值。
（2）位移约束条件
斜拉桥的梁部线性及索塔的水平位移由于在施工过程中可采用预设预拱度的方法以达到理想状态，但由于斜拉桥各部位的计算变形只能直观反映全桥的设计是否合理，所以仍然是设计者所关心的。位移约束可表示为： （8）
其中： 为节点位移影响矩阵； 为结构自重作用下的节点位移列阵； 、 为指定位移上、下极限值。
1.5.优化模型
索力优化数学模型可总结为：
（9）
以上优化数学模型为二次线性规划问题，本文应用MATLAB优化工具箱中的quadprog函数对优化模型进行求解。
2 算例
2.1工程概述
四川泸州茜草长江大桥（主桥）为128+248+128=504m双塔双索面矮塔斜拉桥，主梁梁体采用单箱四室截面，根部梁高9m，跨中梁高3.8m。桥塔为外张式曲杆门型结构，塔与梁固结。桥塔高31m。斜拉索按扇形布置，梁上水平间距8m，塔上竖直间距1m。
2.2计算结果
通过优化计算得出假定一次成桥状态下初张拉索力，以及在这组索力作用下的成桥斜拉桥索力，同时对结构内力分析，得出梁体弯矩及应力状况。
表1优化初张拉索力
斜拉索编号 C1 C2 C3 C4 C5
初拉力(KN) 8318 8347 8201 8144 8177
斜拉索编号 C6 C7 C8 C9 C10
初拉力(KN) 8284 8515 8658 8522 8396
表2 短期荷载组合下梁体应力
梁体应力（Mpa） 边跨跨中 塔梁固结处 中跨跨中 规范限值
上缘 最大 13.4 13.6 12.6 16.2
最小 4.6 5.4 4.5 0
下缘 最大 11.1 11.2 7.1 16.2
最小 5.8 8.8 2.6 0
图1成桥状态梁体弯矩图（midas）
可见在优化索力作用下，梁体弯矩比较均匀，只有塔梁结合处比较大，受力比较合理；梁体单元上、下缘应力均为压应力，其应力值满足规范对全预应力结构应力的要求，应力比较平均，受力合理。
3 结论
（1）以主梁的弯曲和拉压应变能为目标函数建立优化模型，通过MATLAB优化工具箱求解优化模型，可以的到比较合理的优化索力。
（2）将最优化理论应用到矮塔斜拉桥索力计算过程中是可行的，在优化索力作用下，结构内力比较合理，应力满足规范要求。
参考文献：
[1] 严国敏.再论部分斜拉桥论部分斜拉桥，兼论多塔斜拉桥[A].第十三届全国桥梁学术会议论文集[C].上海，1998
[2] 陈亨锦，王凯，李承根.浅谈部分斜拉桥.桥梁建设，2002(1)
矩阵在数学建模中的应用范文5
关键词：DEMATEL；ANP；MMOIP；绿色供应商；评估选择
引言
在供应链管理中，供应商评估选择是一个很重要的问题 [1]。选择一个最佳供应商不但能降低企业的采购成本，还能提高企业的竞争力[2]。绿色供应商选择对企业来说至关重要。所以，建立一套科学有效的绿色供应商评估选择系统非常具有理论和实践价值。
Dickson在1966年研究了供应商选择问题，列出23个准则，成为供应商评价选择后续研究基础。绿色供应链管理的提出，使绿色供应商评价选择成为研究重点。Noci[3]在绿色供应商选择中，加入绿色竞争力（green competence）、环境效率（environmental efficiency）、绿色形象（green image）、和生命周期成本（life cycle cost）指标，提出了基于供应商环境绩效的绿色伙伴评价系统。Wei-Chang Yeh，Mei-Chi Chuang[4]以生产能力、产量、生产成本等为定量指标，以产品平均质量、ISO14000认证通过等为定性指标构建多目标规划并使用两种不同的GA运算求解模型。本文从指标间相互关系出发，研究多采购来源绿色供应商评价选择问题，使用DEMATEL、ANP及MMOIP（混合多目标整数规划）综合方法对绿色供应商进行定性和定量的评价选择。
1.基于DEMATEL、ANP及MMOIP的供应商评价选择的综合方法
供应商选择评价是一个复杂多准则决策问题，评价中既有定性指标，也有定量指标，并且指标间存在相互关系。在绿色供应商评价选择中，运用ANP方法构建供应商选择的依存、反馈网络处理指标间的关系。但ANP方法也存缺陷。
DEMATEL方法是进行系统因素重要程度分析的方法，能够揭示重要影响因素以及内部构造。本文采用DEMATEL方法对ANP方法中内部依赖矩阵进行改进，可更加客观有效地确定评价指标权重。本文从多采购来源角度研究供应商选择，使用MOIP（多目标整数规划）方法，构建最优化模型对供应商进行评价选择。
1.1 DEMATEL方法
假设绿色供应商评价选择指标由m个一级指标和n个二级指标构成，DEMATEL的主要过程如下：
步骤一：计算初始平均矩阵，代表一个指标对另一个指标最初的直接影响。
步骤二：计算直接影响矩阵，将平均矩阵A规范化就可以得到规范化的初始直接关系矩阵D。
步骤三，计算总影响矩阵T，在ANP方法中需要将该矩阵加入未加权的超级矩阵中，计算加权的超级矩阵。
1.2 DEMATEL-ANP方法
由于ANP在处理指标相关关系时存在缺陷，本文使用DEMATEL方法来对ANP进行改进。具体步骤如下：
步骤一：对两指标之间的各子指标使用ANP方法构建两两比较矩阵
步骤二：关系权重的计算。
步骤三构建未加权的超级矩阵。在DEMATEL方法中，可以得到两类依赖关系矩阵，一类是子指标之间的内部依赖关系矩阵Tc， 一类是指标之间的依赖关系矩阵Td。将规范后的Tc与模糊ANP方法中的外部依赖关系矩阵相结合，形成未加权的超级矩阵WS；
步骤四规范为加权的超级矩阵
以规范后的Td乘以无权重超矩阵WS得到权重超矩阵。
最后，对加权的超级矩阵求极限。
得到候选绿色供应商的相对优先权重，该优先权重将会在MMOIP模型中使用。
1.3 供应商选择的混合多目标整数规划方法（MMOIP）
本文使用混合多目标整数规划方法在约束条件中加入环境约束来选择最佳绿色供应商。构建过程如下：
（1）决策变量：a从供应商采购产品的数量xi；
（2）参数：Wi 供应商i的权重，Ci 供应商i的生产能力，fi 从供应商i处采购产品的固定成本，B 采购商的总预算，D 产品需求量，Pi 供应商i提供的产品单价，qi 供应商i提供的产品的次品率，Ni 供应商i在提供单位产品的过程中总的能源消耗，Gi 供应商i在提供单位产品的过程中总的气体排放。构建如下的多目标规划模型：
2.结论与展望
本文提出了一个新颖的绿色供应商选择评价综合方法，通过一个算例验证了该方法的可行性，为企业在复杂的环境下提供了更贴近现实的决策支持。本文的不足在于：没有对已选择的绿色供应商进行跟踪管理，环境指标的构建不够深入。今后可以从指标的扩建优化研究不确定需求下绿色供应商的选择问题，并可以对供应商进行动态的跟踪管理方面进行研究。（作者单位：中南大学商学院）
参考文献
[1]Ho et al..Multi-criteria decision making approaches for supplier evaluation and selection： A literature review[J].European Journal of Operational Research，2010，202（1）：16–24.
[2]Choy， K.L.， Lee， W.B. and Lo， V. . An enterprise collaborative management system-a case study of supplier relationship management[J].Journal of Enterprise Information Management，2004，17（3）：191-207.
矩阵在数学建模中的应用范文6
[关键词] 模糊聚类分析 房地产 投资决策 评价
一、模糊聚类思想及步骤
聚类分析是根据研究对象特征对研究对象进行分类的一种多元分析技术, 依据“距离”或“相似系数”把性质相近的个体归为一类,使得同一类中的个体都具有高度的同质性,不同类之间的个体具有高度的异质性。
应用于模糊对象的聚类分析叫做模糊聚类分析。基本步骤如下:
1.选定对象
设对象集,指标集。对于被研究的对象,这些指标应有明确的实际意义、较强的可分辨性和代表性。并通过直接观测或采用统计资料,可以得到各个对象对应于这些指标所取数值的向量,即,其中是第i个对象的第k个指标值。得到n×m矩阵,称为原始资料矩阵。
2.数据标准化
把各指标的数据(矩阵各列)按指标标准化,即把各指标的数据变换到[-1,1]区间内,以便用模糊数学工具来处理,同时避免一些影响较小的指标作用被埋没掉。
3.建立相似关系矩阵
把标准化后的矩阵的每一行看作各对象在指标集上的模糊集合,各的表示指标隶属于集合Xi的隶属度。于是,各Xi就间接描述了各个对象xi的基本特征,我们可以适当确定xi与xj的相似程度,如,C为使得常数。
4.分析聚类
进行聚类分析通常有3种方法:编网聚类法、模糊等价关系聚类法和最大树法。前两者可用模糊相似矩阵直接求值,但要进行多次模糊关系的复合运算,工作量比较大。而最大树法直接利用相似关系作树形图。本文采用模糊等价关系聚类法。
二、模糊聚类分析法的应用
设房地产投资有n个方案,每一个方案有m个评价,用数据矩阵表示为:
利用模糊聚类分析方法进行房地产投资评价的基本步骤如下:
1.数据标准化:,其中,
2.模糊相似矩阵
模糊相似矩阵由各投资方案间的模糊相似系数构成,xi与xj的模糊相似系数,确定的方法有很多,这里采用欧氏距离来计算模糊相似系数,即:,在直接使用距离法构造模糊相似矩阵时,总是令:,其中:C为常数,它使得,我们取。
3.基于模糊聚类的综合排序
类似房地产投资评价的多目标决策问题,实际上是一个多指标综合排序问题,就是在已有的方案中,综合多个目标选择一个最优的方案。在投资评价中,每一个评价指标都有一个标准值或最优值。对于正向评价指标,其最优值是所有对象中该指标的最大值,而对于逆向指标,其最优值是所有对象中该指标的最小值。如果我们人为地构造一个新对象,并使其各指标的取值是其标准值或最优值(或最差值),然后对对象的全体进行聚类,这样与该构造对象聚为一类的就是待评价对象中的最好(或最差)的对象。重复这一过程,就可以得到所有对象从好到差(或从差到好)的排序。为了缩短排序过程,也可以构造两个新对象,一个存放各指标的最优值,另一个存放各指标的最差值,每一次聚类得到待评价对象的最好和最差的对象。这样,对评价对象的基于模糊聚类的综合排序步骤为:
(1)增加一个由各指标最优值构成的对象取各指标的最优值,用数组存储矩阵X,对于本文的各个指标,正向指标的最优值取该项指标中的最大值,最差值则取其最小值,逆向指标则相反取值。
这样分析对象的矩阵表示为:
(2)对X标准化,构造模糊相似矩阵:
(3)进行模糊聚类,找出与为一类的对象,记下序号,即矩阵里第n+1行中的最大值项,其列下标即为最优对象所在行的行号。
(4)从数组中删除与为一类的对象(即最优对象),n的值减1,记录最优对象的序号,对应的投资方案就是最优的投资方案。
(5)重复步骤2-4,直到全部对象排序完毕。
按上述步骤,由对象矩阵X建立的模糊相似矩阵R,对各投资风险指标进行聚类,最后得出各投资方案优劣的排序。
本文采用房地产投资风险评价相关数据进行实例验证,设有4个相互独立的房地产投资方案X=(X1,X2,X3,X4) 需要评价。表1中列出4个方案的由初始投资者推出的4项指标值:期望净现值、期望净现值指数、风险赢利值是正向指标,投资失败率为逆向指标。根据表中的数据,并增加一个对象用于存储每个评价指标中的最优值。这样得到的初始数据矩阵是:
由初始数据矩阵建立模糊相似矩阵,并进行聚类,得到投资方案优选排名结果见表2。
采用模糊聚类分析的综合排序方法,结合了数据挖掘中的聚类分析和模糊数学中的模糊相似矩阵的思想,建立了一种基于模糊聚类的房地产投资风险评价模型,该方法不需要确定评价指标的权重,减少了评价的主观性,并且计算方法容易掌握,因而较为可行。
参考文献:
[1]杨纶标:模糊数学原理及其应用第四版[M].广州:华南理工大学 ,2005
[2]欧阳建涛 刘晓君:灰色预测理论在房地产投资决策中的应用经济师[J],2005,(12)